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3.3.2 两点间的距离


§3.3.2 两点间的距离

两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y y
P1 P2 P2 P1

o

x

o

x

|P 1P 2 |?| x2 ? x1 |

|P 1P 2 |?| y2 ? y1 |

两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y P
(x1,y1) 1 Q (x2,y1) P2(x2,y2)

o

x

|P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 |?
2

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP |? x ? y
2 2

练习
1、求下列两点间的距离:
(1)、A(6,0),B(-2,0)
(3)、P(6,0),Q(0,-2)

(2)、C(0,-4),D(0,-1)
(4)、M(2,1),N(5,-1)

例题分析
例3 已知点A(?1,2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA |?| PB |, 并求 | PA | 的值.
解:设所求点为P(x,0),于是有
2 2 |PA|? (x ? 1) ?(0 ? 2) ? x2 ? 2x ? 5 2 |PB|? (x ? 2) ?(0 ? 7 )2 ? x2 ? 4x ? 11

由|PA|?|PB|得 x ? 2x ? 5 ? x ? 4x ? 11
2 2

解得x=1,所以所求点P(1,0)
2 2 |PA|? (1 ? 1) ?(0 ? 2) ?2 2

练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标; 3、已知点P的横坐标是7,点P与点N(-1,5)间的 距离等于10,求点P的纵坐标。

例题分析
解:如图,以顶点A为坐标原 点,AB所在直线为x轴,建立 直角坐标系,则有A(0,0) 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形 的性质可得C(a+b,c)

例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和。 y
D (b,c) C(a+b,c)

|AB|2 ?a 2 , |CD|2 ? a 2 |AD|2 ?b2 ?c2 , |BC|2 ? b2 ? c 2 2 2 2 2 2 2 |AC| ?(a ? b) ?c , |BD| ?(b - a) ? c
2 2 2 2 2

o A(0,0)

B (a,0) x

所以,|AB| ?|CD| ?|AD| ?|BC| ? |AC| ?|BD|

2

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和

第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量; 第二步:进行有关的代数运算; 第三步:把代数运算结果“翻译”所几何关系.

练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点 的距离相等。
y
B (0,b)

a b M( , ) 2 2

o C (0,0)

x A(a,0)

小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

|P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 |?
2

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP |? x ? y
2 2


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