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二次函数与方程


22.2.2二次函数与一元二次方程

引言
在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数 及其图象有关的问题。 如:被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行; 抛物线形拱桥的跨度、拱高的计算等. 利用二次函数的有关知识研究和解决这些问 题,具有很现实的意义。 本节课,我将和同学们共同研究解决这些问 题的方法,探寻其中的奥秘。

复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
> 0 = 0 < 0

有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根


2、在式子h=50-20t2中,如果h=15,那么 50-20t2= 15 ,如果h=20,那50-20t2= 20
如果h=0,那50-20t2= 0

。如果要想求t的值,那么我

们可以求

方程

的解。

问题1:如图,以

40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单 位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2 2 考虑下列问题:

20= 20 t 20 –20 5ttt 20.5= –– 55 t2t2 15=

(1)球的飞行高度能否达到 15 m ? 若能,需要多少时间? (2) 球的飞行高度能否达到 20 m ? 若能,需要多少时间? 0= 20 t – 5 t2 h=0 (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m ? 若能,需要多少时间?

(4)球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
h t

解:(1)解方程15=20t-5t2

即: t2-4t+3=0

h
20 10 o

t1=1,t2=3
∴当球飞行1s和3s时,它的高度为15m。

(2)解方程20=20t-5t2
1 2 3 4

即: t2-4t+4=0

h ? 20t ? 5t

∴当球飞行2s时,它的高度为20m。 (3)解方程20.5=20t-5t2 即: t2-4t+4.1=0
2

t

t1=t2=2

2-4×4.1<0,所以方程无解, 因为 (-4) 那么为什么 你能结合图 那么为什么 从上面我们看出, 对于二次函数 只在一个时 形指出为什 ∴球的飞行高度达不到 20.5m。 2 两个时间球 h= 20 t – 5 t 中,已知h 的值,求时间 间求得高度 么在两个时 2 2-4t=0 ( 4 )解方程 0=20t-5t 即: t 的高度为零 为20m呢?t?其实就是把函数值h换成常数,求 间球的高度 呢? t1=0,t2=4 为15m吗?一元二次方程的解。

∴球的飞行0s和4s时,它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s 。

为一个常数 (定值)

那么从上面,二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何? 一般地,当y取定值时,二次函数为一元 二次方程。
如:y=5时,则5=ax2+bx+c就 是一个一元二次方程。

想一想,这一个旋转喷水 练习一: 头,水流落地覆盖的最大 如图设水管AB的高出地面2.5m,在B处有一自动旋 面积为多少呢?
转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数 y=-0.5x2+2x+2.5描述,在所有的直角坐标系中,求 水流的落地点D到A的距离是多少?
分析:根据图象可知,水流的 落地点D的纵坐标为0,横坐 标即为落地点D到A的距离。
即:y=0 。
-1 A 0

y B

解:根据题意得 -0.5x2+2x+2.5 = 0,

D x

解得x1=5,x2=-1(不合题意舍去)
答:水流的落地点D到A的距离是5m。

边观察边思考
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 2 的图象如图所示。 y ? x ? x ?1 2 y ? x ? 6 x ? 9 y ? x2 ? x ? 2

(1).每个图象与x轴有几个交点? 答:2个,1个,0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?

2个根, 2个相等的根, 无实数根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点,则b2-4ac的情况如何。
b2 – 4ac <0

Y

b2 – 4ac =0

b2 – 4ac >0

.
O X

二次函数与一元二次方程 的关系
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共 点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函 数值为0,因此x=x0就是方程y=ax2+bx+c的 一个根

(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 情况如何?(b2-4ac如何) (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点
b2-4ac ≥0
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac= 0 b2 – 4ac< 0 (方程没有实数根)

(方程有两个不相等的实数根)

(方程有两个相等的实数根)

思考:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
.

例:利用函数图象求方 程x2-2x-2=0的实数根 (精确到0.1)
解:作的 y ? x ? 2x ? 2 图象(右 图),它与x轴的公共点的横坐标 大约是 ?0.7, 2.7 .
2

y ? x2 ? 2 x ? 2
(-0.7,0) 1
(2.7,0)

2 3

2 所以方程x ? 2 x ? 2 ? 0的实数根为

x1 ? ?0.7, x2 ? 2.7

我们还可以通过不断缩 小根所在的范围估计一 元二次方程的根。仔细 阅读课本P19内容。

x=2时,y<0 x=3时,y>0 ∴根在2到3之间

1

2

3

已知x=3,y>0 x=2.5时,y<0 ∴根在2.5到3之间
2.5

1

2

3

已知x=2.5时,y<0
x=2.75时,y>0 ∴根在2.5到2.75之间 2.75
2.5

1

2

3

小结
重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在 2.625,2.75之间,在2.6875,2.75之间……可以得到:

根所在的范围越来越小,根所在的范围的两端的值
越来越接近根的值,因而可以作为根的近似值,例如, 当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1时,由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们可以将 2.6875作为根的近似值。

练习1.已知抛物线y=x2- m x+m-1. (1)若抛物线经过坐标系原点,则m______ =1 ;

>1 ; (2)若抛物线与y轴交于正半轴,则m______
(3)若抛物线的对称轴为y轴,则m______ =0 。

=2 (4)若抛物线与x轴只有一个交点,则m_______.
2.不论x为何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0) a>0,△<0 的值永远为正的条件是____ __ 3.求抛物线 y ? ?2 ? x ? 1? ? 8 ①与y轴的交点坐标;
2

②与x轴的两个交点间的距离.③何时y>0?

(1)抛物线y ? x ? 2 x ? 3与x轴的交点个数有 (     C ). A.0个   B.1个   C. 2个   D. 3个
(? , ) 顶点坐标为__________ 2 4 .
2

2

(2)抛物线y ? m x 1? 3 x ? 3m ? m 经过原点, 则其顶点 3 (3)关于x的一元二次方程x ? x ? n ? 0没有实数根, 则
2

2

2

抛物线y ? x ? x ? n的顶点在(     A ). A.第一象限     B.第二象限 C.第三象限     D.第四象限

?

练习:看谁算的又快又准。 1.不与x轴相交的抛物线是( D ) A.y=2x2 – 3 B.y= - 2 x2 + 3 C.y= - x2 – 2x D.y=-2(x+1)2 - 3 2.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的 1 1 ,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有_ 实数根,则m=__ 个交点. 16 . 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=__ (0,2) ,与x轴交 4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点____ (1,0) (2,0) 于点___ _.

(0,-5) ,与 5.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点____ x轴交于点 (5/2,0) (-1,0) .

6.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10 (-2,0) (5/3,0) 与x轴的交点坐标是_____ .
归纳:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)

2 7.已知二次函数y=ax+bx+c 的图象如图所示,则

一元二次方程ax+bx+c=0的解是
Y

2

X1=0,x2=5

.

8.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是 (C ) A.无交点
C.有两个交点

0

5

X

B.只有一个交点
D.不能确定

K≠0 9.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 2-4ac≥0 b 2
图象知,关于x的方程ax +bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3 ,x2=___ -3.3 10.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点, 则k的取值范围( B )
4 A:k ? ? 7 4 B:k ? ? 7 且k ? 0 4 C:k ? ? 7 4 D: k ? ? 7 且k ? 0
B

11.根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 0.03 3.26 0.09

-0.06 -0.02

判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的 范围是( C ) A.3< X < 3.23 B.3.23 < X < 3.24

C.3.24 <X< 3.25

D.3.25 <X< 3.26

例1:王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击 1 8 y ? ? x ? x 球,其飞行路线满足抛物线 ,其 5 5 中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水 平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m. (1)请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴. (2)请求出球飞行的最大水平距离.
2

(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行 的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应 满足怎样的抛物线,求出其解析式.

1 2 8 解:(1) y ? ? x ? x 5 5
抛物线 y ? ? (2)令

解得:x1 ? 0 x2 ? 8, ∴球飞行的最大水平距离是8m. (3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10m 16 ? 设此时对应的抛物线解析式为 抛物线的对称轴为 x ? 5 ,顶点为 ? 5, ? ? 16 5? 2 ? y ? a ( x ? 5) ? 又 ∵点

y ? 0 ,得:? 5 x

1 2 8 开口向下,顶点为 ? 16 ? ,对称轴为 x ? x ? 4, ? 5 5 ? 5? 1 2 8
? x?0 5

1 16 2 ? ? ( x ? 4) ? 5 5

x?4

(0, 0)
125

5

在此抛物线上, ? 25a ?

16 ?0 5 y?? 16 2 32 x ? x 125 25

∴ a ? ? 16

?y ??

16 16 ( x ? 5) 2 ? 125 5

(1)抛物线y ? x ? 2 x ? 3与x轴的交点个数有 (     C ). A.0个   B.1个   C. 2个   D. 3个
1 3 (? , ) 顶点坐标为__________ . 2 4
2

2

(2)抛物线y ? m x ? 3x ? 3m ? m 经过原点, 则其顶点 (3)关于x的一元二次方程x ? x ? n ? 0没有实数根, 则
2

2

2

抛物线y ? x ? x ? n的顶点在(     A ). A.第一象限     B.第二象限 C.第三象限     D.第四象限

4.已知二次函数 y ? 2 x ? m x? m . (1)求证 : 对于任意实数 m, 该二次函数的图象与 x轴总有公共点 ; (2)若该二次函数的图象与 x轴有两个公共点 A、B, 且A点坐标 为(1,0), 求B点坐标.

2

2

(1)证明 : 令y ? 0, 得2 x ? m x ? m ? 0 ? ? ? (?m) ? 4 ? 2 m ? 9m ? 0
2 2 2

2

2

? 不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
(2) ? A(1,0)在抛物线y ? 2 x ? m x ? m 上 ? 0 ? 2 ?1 ? m ?1 ? m
2 2 2 2 2

即 m ? m ? 2 ? 0, (m ? 2)(m ? 1) ? 0 ? m1 ? ?2, m2 ? 1   ? B点坐标为(?2,0)

●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 桌,然后告诉老师? 论
这节课应有以下内容:

二次函数与一 元二次方程的 关系 交

当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定,求x的值时,二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时, 二次函数就为一元二次方程。

两个交点
二 轴次 的函 交数 点与 x

b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0

一个交点 点

没有交点

二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解

2 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,那么关 1.已知函数 于 ax2 ? bx ? c ? 2 ? 0 的方程 的根的情况是( D )

A.无实数根 C.有两个异号实数根

B.有两个相等实根 D.有两个同号不等实数根

2 y ? 2 x ? 8x ? m 与轴只有一个公共点, 2.抛物线

则m的值为 8 .

3.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴是直线 x ? 1 且经过点(3,0),则 a ? b ? c 的值为( A ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
4.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,根据 图象解答下列问题: (1)写出方程 ax ? bx ? c ? 0
2

的两个根

2 3

(2)写出不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集. (3)写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围. (4)若方程 ax 2 ? bx ? c ? k有两个不相等的实数根, 求的取值范围.

5.杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到 人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线
3 y=- x 2+3x+1 的一部分,如图 5

(1)求演员弹跳离地面的最大高度; (2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到 起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请 说明理由。

解(1)


3 y=- x 2+3x+1 5

=

3? 5 ? 19 - ? x- ? + 5? 2? 4

2

3 - <0 5

∴函数的最大值是

19 4 19 4

答:演员弹跳的最大高度是 (2)当x=4时,



3 y=- ? 42+3 ? 4+1 5

=3.4=BC,所以这次表演成功。

作业
课本:p23页 复习巩固 第1题 拓展探索 第6题 选做题:如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线 y=-x2+3.5运行,然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时,球出手离地面 的高度为2.25米,请问他距离篮框中 心的水平距离是多少?

升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
如果抛物线 y=ax 2 +bx+c 与x轴有公共点(x 0 ,o), 那么x=x 0 就是方程 ax 2 +bx+c=0的一个根.
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac

有两个交点 有一个交点 没有交点

有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

体会两种思想:

数形结合思想

分类讨论思想


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