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正余弦定理综合运用


正弦定理、余弦定理综合运用

正弦定理、余弦定理综合运用
复习:

正弦定理:

a b c ( ? ? ? 2R R是三角形外接圆半径) sin A sin B sin C
余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A
2
2 2

r />b ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 2 c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

正 弦 定 理 的 变 式

?

a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式

?

?

a s in A ? , 2R b s in B ? , 2R c s in C ? . 2R

b2 ? c2 ? a2 cos A ? , 2bc a2 ? c2 ? b2 cos B ? , 2ac 2 2 2 a ?b ?c cos C ? . 2ab

?

实 现 边 角 互 化

题型一:判断三角形的形状

例1:在△ABC中,已知acosA=bcosB, 试判断三角形的形状。
由余弦定理得: 解法一:(化角为边)

b ?c ?a a ?c ?b a cos A ? b cos B ? a ? ( ) ? b?( ) 2bc 2ac
2 2 2 2 2 2

? a c ?a ?b c ?b ? 0
2 2 4 2 2 4

? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0

? a ? b ? 0或c ? a ? b ? 0
2 2 2 2 2

? a ? b或c =a +b
2 2

2

? ?ABC 是等腰三角形或直角三角形

例1:在△ABC中,已知acosA=bcosB, 试判断三角形的形状。
解法二:(化边为角) 由正弦定理得:

a cos A ? b cos B ? 2R sin A ? cos A ? 2R sin B ? cos B ?sin 2 A ? sin 2B
? A、B是三角形的内角

? A ? B或A ? B ?

? 2 A ? 2B或2 A ? ? ? 2B ?
2

? ?ABC 是等腰三角形或直角三角形

解题小结:
判断三角形形状时,一般考虑两种变形方向: 一个是化角为边,再进行代数恒等变换求出三条 边之间的关系式。另一个方向是化边为角,再进 行三角恒等变换求出三个角之间的关系式。 两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。

练习一
A B C ,则 ?ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 2 R sin A 2 R sin B 2 R sin C 略解:由正弦定理得: ? ? A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? A B C cos cos cos 2 2 2

在 ?ABC 中,若

a

?

b

?

c

A B C A B C A B C ? sin =sin =sin 又 ? , , 是锐角, = = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2

题型二:三角形中的求值题
例2:△ABC中,已知a=2,求bcosC+ccosB的值。 解:(化角为边)由余弦定理得: bcosC+ccosB= b·a
2
2

?b ?c 2ab
2

2

a ?c ?b +c· 2ac
2 2

2

a ?b ?c a ?c ?b ? ? 2a 2a
2 2 2 2

2

?a?2

例2:△ABC中,已知a=2,求bcosC+ccosB的值。
解法二:(化边为角) 由正弦定理得: bcosC+ccosB = 2R sin B ? cosC ? 2R sin C ? cos B

? 2R sin(B ? C )
? 2R sin(? ? A) a sin A ? ?a?2 sin A

射影定理: a= bcosC+ccosB,

b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA

? 作业: ABC中,?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c,

cos B b 且 ?? , 求?B的大小。 cosC 2a ? c

解法一: 由正弦定理得: (化边为角) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, cos B sin B cos B b ?? , ?? 代入 得: cosC 2 sin A ? sin C cos C 2a ? c

即2 sin A cos B ? sin C cos B ? cosC sin B ? 0 ? 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0,
又? A ? B ? C ? ? ?sin(B ? C ) ? sin A,

? 2 sin A cos B ? sin A ? 0

1 ? sin A ? 0 ? cos B ? ? 2 2?
? ?B为三角形的内角,故B ? 3

例3: ?ABC中,?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c,
cos B b 且 ?? , 求?B的大小。 cosC 2a ? c a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? b2 ? c2 ,cos C ? 解法二:由余弦定理得 cos B ? 2ab 2ac

cos B b ?? 代入 cos C 2a ? c

得:

2ab b a 2 ? c2 ? b2 ? 2 ?? (化角为边) 2 2 a ?b ?c 2a ? c 2ac

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ?ac, a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 ?cos B ? ? ?? 2ac 2ac 2 2? ? ?B为三角形的内角,故B ? 3
整理得

练习二 ?ABC中,?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c, c 1 2 2 2 若b ? c ? bc ? a , 且 ? ? 3, 求?A和 tan B的大小。 b 2 2 b ? c2 ? a2 1 解:由余弦定理知:cos A ? ? , ( 化 2bc 2 ? 0? ? A ? 180 ?, ? A ? 60?, 边 c 1 为 ? ? ? 3 且由正弦定理知 c ? sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 ? ? 3 又? C ? 180 ? ? ( A ? B) ? 120 ? ? B, ) ? sin B 2

sin(120 ? ? B) 1 ? ? ? 3, sin B 2 3 1 sin120 ? cos B ? cos120 ? sin B ? ?1? 3 ? ? 2 tan B 2 sin B 2 1 解得 tan B ? 2

小结:

1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型: (1) 判断三角形的形状; (2) 三角形中的求值题。 2、两种题型思路的共同点就是从“统一”着眼, 或统一转化为三角函数,作三角变换;

或统一转化为边,作代数变换。 3、解三角形中的求值题时还要注意综合运用 三角形的有关性质和三角公式进行变形。 4、本节课渗透的主要数学思想:
转换的思想和方程的思想

作业:
1、?ABC中,a 2 tan B ? b 2 tan A, 试判断三角形的形状。

a ? 2、 ABC中,若a ? c ? b ? ac, 且 ? c
2 2 2

求∠C的大小。

3 ?1 , 2


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