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圆锥曲线方程知识点总结


§ 8.圆锥曲线方程
一、椭圆方程.

知识要点
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆,

1. 椭圆方程的第一定义: PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹,
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在 x 轴上: x
a

2 2
2 2

?

y2 b2
x2 b2

? 1(a ? b ? 0) .
? 1(a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y
a

?

②一般方程: Ax 2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .
x2 a
2

③椭圆的标准方程:

?

y2 b
2

? x ? a cos? ? (一象限 ? 应是属于 0 ? ? ? ). ? 1 的参数方程为 ? y ? b sin ? 2 ?

⑵①顶点: (?a,0)(0,?b) 或 (0,?a)(?b,0) . ②轴:对称轴:x 轴, y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b . ③焦点: (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) . ④焦距: F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 . ⑤准线: x ? ? ⑥离心率: e ? ⑦焦点半径: i. 设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆 ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆
x2 a
2

a2 a2 或y?? . c c

c (0 ? e ? 1) . a
y2 b2 y2 a2

? ?

? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则 PF1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则 PF1 ? a ? ey0 , PF 2 ? a ? ey0 ?
2 2

x2 b2

由椭圆第二定义可知: pF1 ? e( x0 ? a ) ? a ? ex0 ( x0 ? 0), pF 2 ? e( a ? x0 ) ? ex0 ?a( x0 ? 0) 归结起来为“左加右减”.
c c

注意:椭圆参数方程的推导:得 N (a cos? , b sin ? ) ? 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? ⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆
x
2

2b 2 a2

( ? c,

b2 b2 ) 和 ( c, ) a a

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 是 e ?

c (c ? a 2 ?b 2 ) , 方 程 a

a2

?

y

2

b2

? t (t 是大于 0 的参数, ? b ? 0) 的离心率也是 e ? a x2 a
2

c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a

⑸若 P 是椭圆:

?

y2 b
2

? 1 上的点. F 1,F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF 1F 2 的面积为 b 2 tan

?
2

(用

余弦定理与 PF 1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot

?
2

.

▲y

二、双曲线方程.
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线

( bcos? , bsin? ) ( acos? , asin? ) Nx

1. 双曲线的第一定义: PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a, b ? 0),

y2 a
2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) .

N的轨迹是椭圆

一般方程: Ax 2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) . ⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶点: (a,0), (?a,0) 焦点: (c,0), (?c,0) 准线方程 x ? ?
x2 y2 a2 x y 渐近线方程: ? ? 0 或 2 ? 2 ? 0 c a b a b

ii. 焦点在 y 轴上: 顶点: 0,?a), (0, a) . 焦点: 0, c), (0,?c) . 准线方程:y ? ? ( ( 参数方程: ?
? x ? a sec ? ? x ? b tan? 或? . ? y ? b tan? ? y ? a sec ?

a2 . c

渐近线方程: ?

y a

y2 x2 x ?0或 2 ? 2 ? 0, b a b

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e ? ④准线距
c . a

2a 2 2b 2 (两准线的距离);通径 . c a

⑤参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

c . a
x2 a2 ? y2 b2 ?1

⑥焦点半径公式:对于双曲线方程

( F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则:(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)
MF 1 ? ex 0 ? a MF 2 ? ex 0 ?a M ?F 1 ? ?ex 0 ? a
▲ M ?F 2 ? ?ex 0 ? a y ▲

构成满足 MF 1 ? MF 2 ? 2a

y F1 M x x

MF 1 ? ey 0 ? a MF 2 ? ey 0 ? a ? M ? 1 ? ?ey 0 ? a F ? M ? 2 ? ?ey 0 ? a F
F1

M'

M

F2 M' F2

⑶等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ? a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲 线.
x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? 与 2 ? 2 ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 ? 0 . a2 b a b a b x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 ? 0 如果双曲线的渐近线为

⑸共渐近线的双曲线系方程:

x2 y2 x y ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) . a b a b



y

例如:若双曲线一条渐近线为 y ? 解:令双曲线的方程为:

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2
F1

4

3

2 1
x

1 x2 x2 y2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ,代入 (3,? ) 得 ? ? 1. 8 2 4 2

53
F2

⑹直线与双曲线的位置关系: 3 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. 2.若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与渐近线求 交和两根之和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ,则常用结论

1:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.
PF 1 d1 2:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n. 简证: ? e d2 PF 2 e

=

m . n

三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

p F ( ,0) 2 x?? p 2

F (? x?

p ,0) 2 p 2

p F (0, ) 2 y?? p 2

F (0,? y? p 2

p ) 2

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:① ay 2 ?by ? c ? x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

)( t 为参数).

四、圆锥曲线的统一定义.. 4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,轨迹为椭圆;当 e ? 1 时,轨迹为抛物线;当 e ? 1 时,轨迹为双曲线;当 e ? 0 时,轨迹 c 为圆( e ? ,当 c ? 0, a ? b 时). a 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如: 椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对 称的.因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 1. 到两定点 F1,F2 的距离之和为定 值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 定义 2.与定点和直线的距离之比为定 值 e 的点的轨迹.(0<e<1) 方 标准 方程 参数 方程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 2c 离心率 准线 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离 相等的点的轨迹. y2=2px 抛物线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴;长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) (c= a ? b )
2 2

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0) x 轴, 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b. y F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a ? b )
2 2

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?
x?0 (0,0) x轴

p F ( ,0) 2

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线 焦半径 通径

b x a r ? x? p 2

r ? a ? ex
2b 2 a a2 c

r ? ?(ex ? a)
2b 2 a a2 c

2p

焦参数

P

1. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 2. 共渐近线的双曲线系方程.


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