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四川省巴中市平昌中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷(文科)


四川省巴中市平昌中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷 (文科)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中只有一个是 正确的. ) 1.设 b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是() A.a﹣c>b﹣d B.ac>bd C.a+c>b+d D.a+d>b+c 2.已知等差数列{an}满足 a2+a8=12,则 a5=() A.4 B. 5 C. 6 3.下列各组向量中,可以作为基底的是() A. C. =(﹣1,2) , =(3,5) , =(5,7) =(6,10) B. D. =(0,0) , =(2,﹣3) , =(1,﹣2) =( ,﹣ )

D.7

4.在△ ABC,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若内角 A、B、C 依次成等差 2 数列,且不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c},则 b 等于() A. B. 2 C. 3 D.4

5.已知数列{an},满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2014=()

A.

B. 2

C.﹣1

D.1

6.过点 P(2,3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程是() A.x+y﹣5=0 B. 3x﹣2y=0 C. x+y﹣5=0 或 3x﹣2y=0 D.x﹣y+1=0 或 3x﹣2y=0 7.已知△ ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,且 a=x(x>0) ,b=2,A=60°,若三角 形有两解,则 x 的取值范围是() A.x> B.0<x<2 C. <x<2 D. <x≤2 8.数列{an}的前 n 项和 Sn=2 (n∈N ) ,则 a1 +a2 +…+an 等于() A.4
n n * 2 2 2

B.

C.

D.

9.若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 各单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位后,回到原来的位置, 则该直线 l 的斜率为()

A.

B. ﹣

C. 3

D.﹣3

10.已知平面向量 , , 满足| |= 则| |的最大值等于() A. B. 2

,| |=1, ? =﹣1,且 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 45°,

C.

D.1

11.△ ABC 满足

?

=2

,∠BAC=30°,设 M 是△ ABC 内的一点(不含边界) ,定义 f

(M)=(x,y,z) ,其中 x,y,z 分别表示△ MBC,△ MCA,△ MAB 的面积,若 f(M) =(x,y, ) ,则 + 的最小值为() A.4 B. 6 C. 9 D.

12.已知△ ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列,边 a、b、c 依次成等比数列.则 △ ABC 是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

二.填空题(本大题 4 个小题,每题 4 分,共 16 分,请把答案填在题中横线上) 2 13.在等比数列{an}中,若 a1,a10 是方程 3x ﹣2x﹣6=0 的两根,则 a4a7=.

14.已知| |=6,| |=3,

=﹣12,则向量 在向量 上的投影是.

15.若直线 l1: (2a﹣1)x﹣y+3=0 与直线 l2:y=4x﹣3 互相垂直,则 a=. 16.下列命题: ①常数列既是等差数列又是等比数列; ②若直线 l:y=kx﹣ 与直线 2x+3y﹣6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值 范围是( , ) ;

③若 ? =0,则 = 或 = ④如果(a﹣2)x +(a﹣2)x﹣1≤0 对任意实数 x 总成立,则 a 的取值范围是[﹣2,2]. 其中所有正确命题的序号是.
2

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.若 =(0,3) , =( ,1) , =3 +5 , =m ﹣5 ,

(1)试问 m 为何值时, 与 互相平行; (2)试问 m 为何值时, 与 互相垂直.

18.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值.

=



?

=3.

19.平昌县汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买 行李票,行李票费 y 元与行李重量 x 千克的关系用直线 AB 的方程表示, (如图) (1)求直线 AB 的方程; (2)旅客最多可免费携带多少行李?

20.已知{an}是首项为 19,公差为﹣2 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求通项 an 及 Sn; (2)设{bn﹣an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 21.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)若 f(x)<m+2 在 上恒成立,求实数 m 的取值范围.
*



22.在等比数列{an}中,a1>0,n∈N ,且 a3﹣a2=8,又 a1、a5 的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通公式; (2)设 bn=log4an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 k,使得
*

+

+

+…+

<k 对任意 n∈N 恒成立.若存在,求出正整数 k 的最小值;不存在,请说理由.

四川省巴中市平昌中学 2014-2015 学年高一下学期期末 数学试卷(文科)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中只有一个是 正确的. ) 1.设 b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是() A.a﹣c>b﹣d B.ac>bd C.a+c>b+d D.a+d>b+c 考点: 基本不等式. 专题: 阅读型. 分析: 本题是选择题,可采用逐一检验,利用特殊值法进行检验,很快问题得以解决. 解答: 解:∵b<a,d<c ∴设 b=﹣1,a=﹣2,d=2,c=3 选项 A,﹣2﹣3>﹣1﹣2,不成立 选项 B, (﹣2)×3>(﹣1)×2,不成立 选项 D,﹣2+2>﹣1+3,不成立 故选 C 点评: 本题主要考查了基本不等式,基本不等式在考纲中是 C 级要求,本题属于基础题. 2.已知等差数列{an}满足 a2+a8=12,则 a5=() A.4 B. 5 C. 6 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差中项可得 a2+a8=2a5,由 a2+a8 的值可求得 a5. 解答: 解:∵a2+a8=2a5=12,∴a5=6. 故选 C. 点评: 本题通过等差中项来求最简单,可以不用通过通项公式来求.属基础题. 3.下列各组向量中,可以作为基底的是() A. C. =(﹣1,2) , =(3,5) , =(5,7) =(6,10) B. D. =(0,0) , =(2,﹣3) , =(1,﹣2) =( ,﹣ )

D.7

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 可作为基底的两向量不共线,而根据共线向量的坐标关系即可判断出 A 中的两向 量不共线,B,C,D 中的两向量都共线,从而便可得出正确选项. 解答: 解:不共线的向量可以作为基底; 设 ,若 共线,则:x1y2﹣x2y1=0;

根据共线向量的坐标关系即可判断出 A 中的两个向量不共线,而 B,C,D 中的两向量都共 线; ∴可以作为基底的应是 A 中的两向量. 故选 A. 点评: 考查基底的概念,共线向量基本定理,以及共线向量的坐标关系. 4.在△ ABC,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若内角 A、B、C 依次成等差 数列,且不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c},则 b 等于() A. B. 2 C. 3 D.4 考点: 等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 利用等差数列的性质,可得 B,由不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c},求 出 a,c,再利用余弦定理,可得结论. 解答: 解:∵内角 A、B、C 依次成等差数列, ∴B=60°, ∵不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c}, ∴a=2,c=4, ∴b =a +c ﹣2accos60°=4+16﹣2?2?4? =12, ∴b=2 . 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查解不等式、余弦定理,考查学生的计算能力,比较 综合.
2 2 2 2 2 2

5.已知数列{an},满足 an+1=

,若 a1= ,则 a2014=()

A.

B. 2

C.﹣1

D.1

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件,分别令 n=1,2,3,4,利用递推思想依次求出数列的前 5 项,由此 得到数列{an}是周期为 3 的周期数列,由此能求出 a2014. 解答: 解:∵数列{an},满足 an+1= ,a1= ,

∴a2=

=2,

a3=

=﹣1,

a4= ,

= ,

∴数列{an}是周期为 3 的周期数列, ∵2014÷3=671…1, ∴a2014=a1= . 故选:A. 点评: 本题考查数列的第 2014 项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推思想 的合理运用. 6.过点 P(2,3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程是() A.x+y﹣5=0 B. 3x﹣2y=0 C. x+y﹣5=0 或 3x﹣2y=0 D.x﹣y+1=0 或 3x﹣2y=0 考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 当直线经过原点时, 易得直线的方程; 当直线不过原点时, 设直线的方程为 + =1, 待定系数法可得. 解答: 解:当直线经过原点时,直线的斜率为 k= 直线的方程为 y= x,即 3x﹣2y=0; 当直线不过原点时,设直线的方程为 + =1, 代入点 P(2,3)可得 a=5, ∴所求直线方程为 x+y﹣5=0 综合可得所求直线方程为:x+y﹣5=0 或 3x﹣2y=0 故选:C 点评: 本题考查直线的截距式方程,涉及分类讨论的思想,属基础题. 7.已知△ ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,且 a=x(x>0) ,b=2,A=60°,若三角 形有两解,则 x 的取值范围是() A.x> B.0<x<2 C. <x<2 D. <x≤2 考点: 解三角形. 专题: 综合题;解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 a,b,sinA 的值代入表示出 sinB,根据 B 的度数确 定出 B 的范围,要使三角形有两解确定出 B 的具体范围,利用正弦函数的值域求出 x 的范 围即可. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a=x(x>0) ,b=2,A=60°, = ,

∴由正弦定理得:sinB= ∵A=60°, ∴0<B<120°,

=

要使三角形有两解,得到 60°<B<120°,且 B≠90°,即 ∴ < <1,

<sinB<1,

解得: <x<2, 故选:C. 点评: 此题考查了正弦定理,以及正弦函数的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 8.数列{an}的前 n 项和 Sn=2 (n∈N ) ,则 a1 +a2 +…+an 等于() A.4
n n * 2 2 2

B.

C.

D.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用 Sn﹣Sn﹣1 可知 an=2 =
n﹣1

(n≥2) ,通过 n=1 可知 a1=S1=2,进而可知

,计算即得结论.
n *

解答: 解:∵Sn=2 (n∈N ) , n n﹣1 n﹣1 ∴an=Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣2 =2 (n≥2) , 又∵a1=S1=2 不满足上式, ∴an= ,


2

=
2 2 n



∴a1 +a2 +…+an
2 3

=4+ (4 +4 +…+4 )

=4+ ? =4+ ?(4 ﹣4) = ?(4 +8) , 故选:D.
n n

点评: 本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于 中档题. 9.若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 各单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位后,回到原来的位置, 则该直线 l 的斜率为() A. B. ﹣ C. 3 D.﹣3

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 设直线 l 的方程为:y=kx+b,利用平移变换的规则:“左加右减,上加下减”,求出 变换后直线方程,再由条件求出直线的斜率. 解答: 解:设直线 l 的方程为:y=kx+b, ∵直线 l 沿 x 轴向左平移 3 各单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位后, ∴变换后的直线方程是:y=kx+3k+b+1. ∵经过两次平移变换后回到原来的位置, ∴必有 3k+b+1=b,解得 k= ,

故选:B. 点评: 本题考查图象的变换,熟练掌握平移变换的规律是解题关键,属于基础题.

10.已知平面向量 , , 满足| |= 则| |的最大值等于() A. B. 2

,| |=1, ? =﹣1,且 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 45°,

C.

D.1

考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 解三角形;平面向量及应用. 分析: 由于平面向量 , ,满足| |= ,| |=1, ? =﹣1,利用向量的夹角公式可得

.由于 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 45°,可得点 C 在△ OAB 的外接圆的弦 AB 所对的优弧上,因此可得| |的最大值为△ OAB 的外接圆的直径. 解答: 解:设 , , .

∵平面向量 , ,满足| |= ∴

,| |=1, ? =﹣1, = ,∴ .

∵ ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 45°,

∴点 C 在△ OAB 的外接圆的弦 AB 所对的优弧上,如图所示. 因此| |的最大值为△ OAB 的外接圆的直径. ∵ = = = = . .

由正弦定理可得:△ OAB 的外接圆的直径 2R= 故选:A.

点评: 本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础 知识与基本技能方法,考查了推理能力,属于难题.

11.△ ABC 满足

?

=2

,∠BAC=30°,设 M 是△ ABC 内的一点(不含边界) ,定义 f

(M)=(x,y,z) ,其中 x,y,z 分别表示△ MBC,△ MCA,△ MAB 的面积,若 f(M) =(x,y, ) ,则 + 的最小值为() A.4 B. 6 C. 9 D.

考点: 基本不等式;平面向量数量积的运算. 专题: 不等式. 分析: 先求出| |?| |的值,再求出 x+y 是定值,将 + 变形为 ( + ) (x+y) ,展开

不等式再利用基本不等式的性质从而求出最小值. 解答: 解:∵ ? =2 ,∠BAC=30°, |?| |?cos∠BAC=2 ,

所以由向量的数量积公式得| ∴| || |=4, |?|

∵S△ ABC= |

|?sin∠BAC=1,

由题意得:x+y=1﹣ = , + = ( + ) (x+y)

= (5+ + ≥ (5+2 = ,

) )

等号在 x= ,y= 取到,所以最小值为

, .

故选:D. 点评: 本题考查基本不等式的应用和余弦定理, 解题时要认真审题, 注意公式的灵活运用. 12.已知△ ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列,边 a、b、c 依次成等比数列.则 △ ABC 是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 依题意,可知 B=60°,利用余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 结合边 a、b、c 依次成等 比数列即可判断△ ABC 的形状. 解答: 解:∵△ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列, ∴A+C=2B, 又 A+B+C=180°, ∴B=60°. 又边 a、b、c 依次成等比数列, ∴b =ac, 2 2 2 2 2 在△ ABC 中,由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣2accos60°, 2 2 ∴a +c ﹣2accos60°=ac, 2 ∴(a﹣c) =0, ∴a=c, ∴A=C, 又 B=60°, ∴△ABC 为等边三角形. 故选 B. 点评: 本题考查三角形的形状判断, 着重考查余弦定理与等差数列与等比数列的概念及其 应用,属于中档题. 二.填空题(本大题 4 个小题,每题 4 分,共 16 分,请把答案填在题中横线上) 2 13.在等比数列{an}中,若 a1,a10 是方程 3x ﹣2x﹣6=0 的两根,则 a4a7=﹣2. 考点: 专题: 分析: 案. 解答: 等比数列的性质. 计算题. 根据韦达定理可求得 a1a10 的值,进而根据等比中项的性质可知 a4a7=a1a10 求得答 解:∵a1,a10 是方程 3x ﹣2x﹣6=0 的两根,
2 2 2 2 2

∴a1a10=﹣2 ∵数列{an}为等比数列 ∴a4a7=a1a10=﹣2 故答案为:﹣2 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.考查了学生对等比中项性质的灵活运用.

14.已知| |=6,| |=3,

=﹣12,则向量 在向量 上的投影是﹣2.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的数量积运算表示出 上的投影. 解答: 解:设 与 的夹角是 θ, 因为| |=6, 则| |cosθ=﹣2, 所以向量 在向量 上的投影是﹣2, 故答案为:﹣2. 点评: 本题重点考查了向量数量积的运算,以及向量投影的概念,属于中档题. =﹣12,所以 =| || |cosθ=﹣12, ,再由条件和向量投影的概念求出向量 在向量

15.若直线 l1: (2a﹣1)x﹣y+3=0 与直线 l2:y=4x﹣3 互相垂直,则 a= .

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线垂直与直线斜率之间的关系进行求解即可. 解答: 解:直线 l1: (2a﹣1)x﹣y+3=0 的斜截式方程为 y=(2a﹣1)x+3,斜率为 2a﹣1, 直线 l2:y=4x﹣3 的斜率为 4, 若两直线垂直, 则 4(2a﹣1)=﹣1, 解得 a= , 故答案为: 点评: 本题主要考查直线垂直的应用,根据斜率之积为﹣1 是解决本题的关键. 16.下列命题: ①常数列既是等差数列又是等比数列;

②若直线 l:y=kx﹣ 范围是( , ) ;

与直线 2x+3y﹣6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值

③若 ? =0,则 = 或 = ④如果(a﹣2)x +(a﹣2)x﹣1≤0 对任意实数 x 总成立,则 a 的取值范围是[﹣2,2]. 其中所有正确命题的序号是②④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题; 等差数列与等比数列; 不等式的解法及应用; 平面向量及应用; 直线与圆. 分析: ①当常数列的项是 0 时,不是等比数列; ②利用数形结合求出直线 l 的倾斜角取值范围即可; ③当 ⊥ 时,有 ? =0; ④根据不等式恒成立,求出 a 的取值范围. 解答: 解:对于①,当常数列的项是 0 时,它是等差数列,不是等比数列,∴①错误; 对于②,如图所示,直线 l:y=kx﹣ 是过定点(0,﹣ )的直线, 与直线 2x+3y﹣6=0 的交点位于第一象限时, 直线 PA 的斜率是 = ,对应的倾斜角为 , ,
2

直线 PB 的斜率不存在,对应的倾斜角为 ∴直线 l 的倾斜角取值范围是( ,

) ,②正确;

对于③,当 ? =0 时, = 或 = 或 ⊥ ,∴③错误; 对于④, (a﹣2)x +(a﹣2)x﹣1≤0 对任意实数 x 总成立, 则 a=2 ﹣2≤a≤﹣2 ∴a 的取值范围是[﹣2,2],④正确. 综上,正确的命题是②④. 故答案为:②④.
2

点评: 本题考查了等差与等比数列的应用问题,也考查了直线的斜率与倾斜角的应用问 题,考查了平面向量的数量积以及不等式的恒成立问题,是基础题目. 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.若 =(0,3) , =( ,1) , =3 +5 , =m ﹣5 ,

(1)试问 m 为何值时, 与 互相平行; (2)试问 m 为何值时, 与 互相垂直.

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积的坐标表达式. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先根据向量的坐标的加减运算求出 与 ,再分别根据平行和垂直的条件的计算即 可. 解答: 解:∵ =(0,3) , =( ∴ =3 +5 =3(0,3)+5( =m ﹣5 =m(0,3)﹣5( (1)∵ 与 互相平行, ∴5 (3m﹣5)=﹣5 ×14,解得 m=﹣3, ,1) , ,14) , ,3m﹣5) ,

,1)=(5 ,1)=(﹣5

(2)∵ 与 互相垂直, ∴5 ×(﹣5 )+14(3m﹣5)=0,解得 m= .

点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系、 向量共线定理和平面向量基本定理, 属于基 础题. 18.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满足 (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值. 考点: 二倍角的余弦;平面向量数量积的运算;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用二倍角公式利用 = 求得 cosA,进而求得 sinA,进而根据

=



?

=3.

求得 bc 的值,进而根据三角形面积公式求得答案. (Ⅱ)根据 bc 和 b+c 的值求得 b 和 c,进而根据余弦定理求得 a 的值.

解答: 解: (Ⅰ)因为 , 又由 ,

,∴

得 bccosA=3,∴bc=5, ∴ (Ⅱ)对于 bc=5,又 b+c=6, ∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, 由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=20,∴ 点评: 本题主要考查了解三角形的问题. 涉及了三角函数中的倍角公式、 余弦定理和三角 形面积公式等,综合性很强. 19.平昌县汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买 行李票,行李票费 y 元与行李重量 x 千克的关系用直线 AB 的方程表示, (如图) (1)求直线 AB 的方程; (2)旅客最多可免费携带多少行李?
2 2 2

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)通过图象中两点坐标,利用待定系数法计算即得结论; (2)通过旅客免费携带行李的条件即 y=0,代入计算即可. 解答: 解: (1)设一次函数 y=kx+b, ∵当 x=60 时,y=6,当 x=80 时,y=10, ∴ ,

解得:k= ,b=﹣6, ∴直线 AB 的方程为:y= x﹣6(x≥30) ; (2)当 y=0 时, x﹣6=0, ∴x=30, ∴旅客最多可免费携带 30kg 行李.

点评: 本题考查用待定系数法求一次函数关系式并会用一次函数去解决实际问题, 考查在 坐标系中读图的能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 20.已知{an}是首项为 19,公差为﹣2 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求通项 an 及 Sn; (2)设{bn﹣an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (1)直接代入等差数列的通项公式及前 n 项和公式可求 an 及 Sn (2) )利用等比数列的通项公式可求 bn﹣an,结合(1)中的 an 代入可求 bn,利用分组求和 及等比数列的前 n 项和公式可求 解答: 解: (1)因为 an 是首项为 a1=19,公差 d=﹣2 的等差数列, 所以 an=19﹣2(n﹣1)=﹣2n+21, .

(2)由题意 bn﹣an=3 ,所以 bn=an+3 2 n﹣1 Tn=Sn+(1+3+3 +…+3 ) = .

n﹣1

n﹣1



点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式, 等比数列的通项公式, 分组 求和及等比数列的求和公式等知识的简单运用.

21.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)若 f(x)<m+2 在



上恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)对函数 f(x)进行变形,使 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的形式,可求 其最小正周期,再根据复合函数单调性的判断方法可求其减区间; (2)要使 f(x)<m+2 在 解答: 解: (1) =1﹣cos( =1﹣sin2x﹣ ﹣2x)﹣ cos2x cos2x 上恒成立,只要 x∈[0, ]时 f(x)max<m+2 即可.

=1﹣2sin(2x+ 故最小正周期 T= 由﹣ +2kπ≤2x+

) , =π, +2kπ,得﹣ +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z) , +kπ, )∈[ +kπ](k∈Z) . ,1], ].

所以函数 f(x)的最小正周期为 π,单调减区间为[ (2)x∈[0, ],则 2x+ ∈[ , ],则 sin(2x+

则 f(x)∈[﹣1,1﹣ 因为 f(x)<m+2 在

],即 f(x)在

上的值域为[﹣1,1﹣ ,

上恒成立,所以 m+2>1﹣

解得 m>﹣1﹣ . 所以实数 m 的取值范围为(﹣1﹣ ,+∞) . 点评: 本题考查函数恒成立问题及三角函数的周期性、 单调性, 函数恒成立问题往往需要 转化为函数最值问题进行处理. 22.在等比数列{an}中,a1>0,n∈N ,且 a3﹣a2=8,又 a1、a5 的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通公式; (2)设 bn=log4an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 k,使得
* *

+

+

+…+

<k 对任意 n∈N 恒成立.若存在,求出正整数 k 的最小值;不存在,请说理由. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等比数列的定义可求其公比 q= (2) 依题意, 可求 bn= 从而可得 + +…+ =2,从而可求{an}的通公式; =( ﹣ ) ,

, 从而可求数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 继而可得 < ,于是可求 kmin.

解答: 解: (1)设数列{an}的公比为 q,由题意 a1、a5 的等比中项为 16 可得 a3=16,又 a3 ﹣a2=8,则 a2=8, ∴q= ∴an=2 =2,
n+1


n+1

(2)∵bn=log42 bn+1﹣bn= ,

=

,bn+1=



∴数列{bn}是首项为 1,公差为 的等差数列, ∴Sn=b1+b2+…+bn = = ∴ ∴ = + +…+ , = ( ﹣ ) , )

= (1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ﹣ + + + ﹣ + ) , = ﹣ ×( + + +…+ + ) )

= (1+ + ﹣ = × = ﹣ ×( ﹣ ×(

当 n=1 时, 当 n≥2 时,

=1<2< + +…+

)<


*

故存在最小的正整数 k=3,使得

<3 对任意 n∈N 恒成立.

点评: 本题考查数列的求和,考查等比数列的定义及通项公式,突出考查裂项法求和,考 查推理与运算能力,属于难题.


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