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第四节 平面向量应用举例


第四节

平面向量应用举例

一、向量在平面几何中的应用 1.平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、 平移、全等、相似、长度、夹角等问题. 2.用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 线平行、点共线、相似 等问题 所用知识 a∥b?a=λb 共线向量定理 ?x1y2-x2y1=0(b≠0)

其中 a=(x1,y1), b=(x2,y2) a⊥b?a· b=0 垂直问题 数量积的运算性质 ?x1x2+y1y2=0 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b 为非零向量 夹角问题 二、向量在物理中的应用 1.向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用. 2.向量在速度的分解与合成中的应用. 3.向量的数量积在合力做功问题中的应用:W=f· s. 1.已知三个力 f1,f2,f3 作用于物体同一点,使物体处于平衡状态,若 f1=(2,2),f2=(-2,3),则|f3| 为( ) A.2.5 B.4 2 C.2 2 D.5 ) → → → → → → 2.已知 O 是△ABC 所在平面上一点,若OA· OB=OB· OC=OC· OA,则 O 是△ABC 的( A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心 ) C.等腰直角三角形 D.直角三角形 → → →2 3.若AB· BC+AB =0,则△ABC 为( A.钝角三角形 B.锐角三角形 F1 的大小为________. → → 5.(2012· 湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC=( A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23 ) ) 数量积的定义 a· b cos θ= (θ 为向量 a,b 的夹角) |a||b| 公式表示

4.已知两个力 F1、F2 的夹角为 90° ,它们的合力 F 的大小为 10 N,合力与 F1 的夹角为 60° ,那么

→ → 6.(2013· 福建高考)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 B.2 5 C.5 D.10

考向一 [080] 向量在平面几何中的应用
1

→ → → → ? AB AC ? → AB AC 1 → → + (1)(2014· 长沙模拟)在△ABC 中,已知向量AB与AC满足? · BC = 0 ,且 · = , → →? → → 2 ?|AB| |AC|? |AB| |AC| 则△ABC 为( ) B.直角三角形 ) B.以 b,c 为两边的三角形面积 D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 A.等边三角形

(2)(2014· 济南模拟)设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且 a 与 b 不共线, a⊥c, |a|=|c|,则|b· c|的值一定等于( A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形面积

→ → → (3)已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 边上任意一点,则CP· (BA-BC)的最大值 为________. 规律方法 1 1.向量在平面几何中的三大应用:一是借助运算判断图形的形状,二是借助模、数量积 等分析几何图形的面积;三是借助向量探寻函数的最值表达式,进而求最值. 2.平面几何问题的向量解法 ?1?坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应 的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. ?2?基向量法,适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共线构造关于设定未知量的方程来 进行求解. → → → → → → →→ 对点训练 (1)已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,PA· PB → → → → =PB· PC=PC· PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( A.重心、外心、垂心 )

B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心

→ → (2)(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=________. 考向二 [081] 向量在物理中的应用 (1)一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1、F2 成 60° 角,且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A.2 7 B.2 5 C.2 D.6 )

图 4-4-1 (2)如图 4-4-1 所示,已知力 F 与水平方向的夹角为 30° (斜向上),F 的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在摩擦因数 μ=0.02 的水平平面上运动了 20 m,问 F、摩擦力 f 所做的功分别为多少? 规律方法 2 1.物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型. 2.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比.例如,向量加法的平行四边形法则可与物理中力 的合成进行类比,平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比. 3.用向量方法解决物理问题的步骤:一是把物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量问题的 模型,通过向量运算解决问题;三是将结果还原为物理问题. 考向三 [082] 向量在三角函数中的应用 π? (2013· 辽宁高考)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ?0,2?.
2

(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 规律方法 3 平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算 后转化为三角问题,然后利用三角函数基本公式求解. → → → 对点训练 已知 O 为坐标原点,向量OA=(sin α,1),OB=(cos α,0),OC=(-sin α,2),点 P 满 → → 足AB=BP. → → (1)记函数 f(α)=PB· CA,求函数 f(α)的最小正周期; → → (2)若 O、P、C 三点共线,求|OA+OB|的值.

规范解答之七 平面向量与三角函数的交汇问题 求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤:第一步:将向量间的关系式化成三角函数式;第二 步:化简三角函数式;第三步:求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质;第四步:明确表述 结论. (12 分)(2013· 江苏高考)已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

【名师寄语】 ?1?熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提. ?2?解决平面向量与三角函数的交汇问题,要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式. 在此基础上运用三角函数的知识求解. 2 5 (2014· 烟台模拟)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= . 5 (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sin β=- .求 sin α. 2 2 12

第四节 平面向量应用举例

一、向量在平面几何中的应用 1.平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、 平移、全等、相似、长度、夹角等问题.
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2.用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 线平行、点共线、相似 等问题 所用知识 a∥b?a=λb 共线向量定理 ?x1y2-x2y1=0(b≠0) 其中 a=(x1,y1), b=(x2,y2) a⊥b?a· b=0 垂直问题 数量积的运算性质 ?x1x2+y1y2=0 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b 为非零向量 夹角问题 二、向量在物理中的应用 1.向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用. 2.向量在速度的分解与合成中的应用. 3.向量的数量积在合力做功问题中的应用:W=f· s. 1.已知三个力 f1,f2,f3 作用于物体同一点,使物体处于平衡状态,若 f1=(2,2),f2=(-2,3),则|f3| 为( ) A.2.5 【解析】 B.4 2 C.2 2 D.5 由题意知 f1+f2+f3=0,∴f3=-(f1+f2)=(0,-5),∴|f3|=5.【答案】 D ) 数量积的定义 a· b cos θ= (θ 为向量 a,b 的夹角) |a||b| 公式表示

→ → → → → → 2.已知 O 是△ABC 所在平面上一点,若OA· OB=OB· OC=OC· OA,则 O 是△ABC 的( A.内心 【解析】 B.重心 C.外心 D.垂心 → → → → → → → → → OA· OB=OB· OC?OB· (OA-OC)=0,∴OB· CA=0?OB⊥AC.

同理:OA⊥BC,OC⊥AB,∴O 是△ABC 的垂心. 【答案】 D → → →2 3.若AB· BC+AB =0,则△ABC 为( A.钝角三角形 B.锐角三角形 【解析】 ) C.等腰直角三角形 D.直角三角形

→ → →2 → → → AB· BC+AB =0 可化为AB· (BC+AB)=0,

→ → → → 即AB· AC=0,所以AB⊥AC.所以△ABC 为直角三角形. 【答案】 D 4.已知两个力 F1、F2 的夹角为 90° ,它们的合力 F 的大小为 10 N,合力与 F1 的夹角为 60° ,那么 F1 的大小为________.

【解析】

1 如图所示.|F1|=|F|cos 60° =10× =5(N). 【答案】 5 N 2

→ → 5.(2012· 湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC=( A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23

)

4

【解析】

1 → → → → → ∵AB· BC=1,且 AB=2,∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|BC|cos B=- . 2

1? 在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B,即 9=4+|BC|2-2×2×? ?-2?.∴|BC|= 3. 【答案】 A → → 6.(2013· 福建高考)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 【解析】 B.2 5 C.5 D.10 → → ∵AC· BD=(1,2)· (-4,2)=-4+4=0, 1→ → 1 → → ∴AC⊥BD,∴S 四边形 ABCD= |AC|· |BD|= × 5×2 5=5.【答案】 C 2 2 )

考向一 [080] 向量在平面几何中的应用 → → → → ? AB AC ? → AB AC 1 → → + (1)(2014· 长沙模拟)在△ABC 中,已知向量AB与AC满足? · BC = 0 ,且 · = , → →? → → 2 ?|AB| |AC|? |AB| |AC| 则△ABC 为( ) B.直角三角形 ) B.以 b,c 为两边的三角形面积 D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 A.等边三角形

(2)(2014· 济南模拟)设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且 a 与 b 不共线, a⊥c, |a|=|c|,则|b· c|的值一定等于( A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形面积

→ → → (3)已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 边上任意一点,则CP· (BA-BC)的最大值 为________. → → ? AB AC ? → + 【尝试解答】 (1)因为? · BC=0,所以∠BAC 的平分线垂直于 BC,所以 AB=AC. → →? ?|AB| |AC|? 又 → → AB AC 1 1 π · = ,所以 cos∠BAC= ,即∠BAC= ,所以△ABC 为等边三角形. 2 2 3 → → |AB| |AC|

(2)依题意可得|b· c|=|b||c|cos〈b,c〉=|b||c|sin〈a,b〉=S 平行四边形. ∴|b· c|的值一定等于以 b,c 为邻边的平行四边形的面积. (3)

法一 (坐标法)以 C 为原点,建立平面直角坐标系如图,设 P 点坐标为(x,y)且 0≤y≤3,0≤x≤4, → → → → → 则CP· (BA-BC)=CP· CA=(x,y)· (0,3)=3y,当 y=3 时,取得最大值 9. → → → → → → 法二 (基向量法)∵CP=CA+AP,BA-BC=CA, → → → → → → →2 → → → → → → → ∴ CP · ( BA - BC ) = ( CA + AP )· CA = CA + AP · CA = 9 - AP · AC = 9 - | AP |· | AC |· cos ∠ BAC = 9 - 3| AP |· cos ∠
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BAC, → → → → → ∵cos∠BAC 为正且为定值, ∴当|AP|最小即|AP|=0 时, CP· (BA-BC)取得最大值 9.答(1)A (2)D (3)9 规律方法 1 1.向量在平面几何中的三大应用:一是借助运算判断图形的形状,二是借助模、数量积 等分析几何图形的面积;三是借助向量探寻函数的最值表达式,进而求最值. 2.平面几何问题的向量解法 ?1?坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应 的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. ?2?基向量法,适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共线构造关于设定未知量的方程来 进行求解. → → → → → → →→ 对点训练 (1)已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,PA· PB → → → → =PB· PC=PC· PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 )

B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心

(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心) → → (2)(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=________. 【解析】 → → → (1)∵|OA|=|OB|=|OC|,即点 O 到 A,B,C 三点的距离相等,∴点 O 为△ABC 的外心.

→ → → 如图,设 D 为 BC 边的中心,则NB+NC=2ND, → → → → → → → ∵NA+NB+NC=0,∴NA+2ND=0,∴NA=2DN,∴A,D,N 三点共线, ∴点 N 在 BC 边的中线上. 同理,点 N 也在 AB,AC 边的中线上,∴点 N 是△ABC 的重心. →→ → → →→ → → → → → → → → → ∵PA· PB=PB· PC,∴PA· PB-PB· PC=0,∴PB· (PA-PC)=0,∴PB· CA=0,∴PB⊥CA. → → → → 同理,PA⊥BC,PC⊥AB,∴点 P 是△ABC 的垂心. (2)如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2), → → → → ∴AE=(1,2),BD=(-2,2),∴AE· BD=1×(-2)+2×2=2. 【答案】 (1)C (2)2 考向二 [081] 向量在物理中的应用 (1)一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1、F2 成 60° 角,且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A.2 7 B.2 5 C.2 D.6 )

图 4-4-1 (2)如图 4-4-1 所示,已知力 F 与水平方向的夹角为 30° (斜向上),F 的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在摩擦因数 μ=0.02 的水平平面上运动了 20 m,问 F、摩擦力 f 所做的功分别为多少?
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【思路点拨】 (1)利用 F1+F2+F3=0,结合向量模的求法求解. (2)力在位移上所做的功,是向量数量积的物理含义,要先求出力 F,f 和位移的夹角.

【尝试解答】 (1)如图所示,由已知得 F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2).
2 2 2 F3 =F2 F2=F2 =28.∴|F3|=2 7.【答案】 A 1+F2+2F1· 1+F2+2|F1||F2|cos 60°

(2)设木块的位移为 s, 则 F· s=|F|· |s|cos 30° =50×20× 3 =500 3 J, 2

1 F 在竖直方向上的分力大小为|F|sin 30° =50× =25(N), 2 所以摩擦力 f 的大小为|f|=(80-25)×0.02=1.1(N), 所以 f· s=|f|· |s|cos 180° =1.1×20×(-1)=-22 J.∴F,f 所做的功分别是 500 3 J,-22 J. 规律方法 2 1.物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型. 2.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比.例如,向量加法的平行四边形法则可与物理中力 的合成进行类比,平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比. 3.用向量方法解决物理问题的步骤:一是把物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量问题的 模型,通过向量运算解决问题;三是将结果还原为物理问题. 考向三 [082] 向量在三角函数中的应用 π? (2013· 辽宁高考)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ?0,2?. (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 【思路点拨】 分别表示两向量的模,利用相等求解 x 的值;利用数量积运算及辅助角公式化为一 个角的一种函数求解. 【尝试解答】 (1)由|a|2=( 3sin x)2+sin2 x=4sin2x,|b|2=cos2x+sin2x=1, π? 1 π 及|a|=|b|,得 4sin2x=1.又 x∈? ?0,2?,从而 sin x=2,所以 x=6. (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x= π 1 3 1 1 2x- ?+ , sin 2x- cos 2x+ =sin? 6? 2 ? 2 2 2

π π π 3 0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1.所以 f(x)的最大值为 . 当 x= ∈? 6? ? 3 ? 2? 2 规律方法 3 平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算 后转化为三角问题,然后利用三角函数基本公式求解. → → → 对点训练 已知 O 为坐标原点,向量OA=(sin α,1),OB=(cos α,0),OC=(-sin α,2),点 P 满 → → 足AB=BP. → → (1)记函数 f(α)=PB· CA,求函数 f(α)的最小正周期; → → (2)若 O、P、C 三点共线,求|OA+OB|的值. → → → 【解】 (1)AB=(cos α-sin α,-1),设OP=(x,y),则BP=(x-cos α,y),
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→ → → 由AB=BP得 x=2cos α-sin α,y=-1,故OP=(2cos α-sin α,-1). → → PB=(sin α-cos α,1),CA=(2sin α,-1), π 2α+ ?, ∴f(α)=(sin α-cos α, 1)· (2sin α, -1)=2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2α)=- 2sin? 4? ? ∴f(α)的最小正周期 T=π. 4 (2)由 O、P、C 三点共线可得(-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α),得 tan α= , 3 2sin αcos α 2tan α 24 → → 74 2 sin 2α= 2 . 2 = 2 = ,|OA+OB|= ?sin α+cos α? +1= 2+sin 2α= 5 sin α+cos α 1+tan α 25

规范解答之七 平面向量与三角函数的交汇问题 求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤:第一步:将向量间的关系式化成三角函数式;第二 步:化简三角函数式;第三步:求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质;第四步:明确表述 结论. (12 分)(2013· 江苏高考)已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. 【规范解答】 (1)证明 由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b.5 分
?cos α+cos β=0, ? (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以? 7分 ? ?sin α+sin β=1,

由此得,cos α=cos(π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π.9 分 1 又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sin α+sin β=1,得 sin α=sin β= ,11 分 2 5π π 而 α>β,所以 α= ,β= .12 分 6 6 【名师寄语】 ?1?熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提. ?2?解决平面向量与三角函数的交汇问题,要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式. 在此基础上运用三角函数的知识求解. 2 5 (2014· 烟台模拟)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= . 5 (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sin β=- .求 sin α. 2 2 12 【解】 (1)|a-b|= 2 4 4 5,|a-b|2= ,a2-2ab+b2= , 5 5 5

4 4 3 ∴2-2(cos αcos β+sin αsin β)= ,∴2-2cos(α-β)= ,即 cos(α-β)= . 5 5 5 π π (2)sin α=sin(α-β+β)=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β,又 0<α< ,- <β<0,则 0<α-β<π, 2 2 4 12 4 12 3 ? 5 ? 33 - = . ∴sin(α-β)= ,cos β= ,∴sin α= × + × 5 13 5 13 5 ? 13? 65
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第四节 平面向量应用举例

一、向量在平面几何中的应用 1.平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、 平移、全等、相似、长度、夹角等问题. 2.用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 线平行、点共线、相似 等问题 所用知识 a∥b?a=λb 共线向量定理 ?x1y2-x2y1=0(b≠0) 其中 a=(x1,y1), b=(x2,y2) a⊥b?a· b=0 垂直问题 数量积的运算性质 ?x1x2+y1y2=0 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b 为非零向量 夹角问题 二、向量在物理中的应用 1.向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用. 2.向量在速度的分解与合成中的应用. 3.向量的数量积在合力做功问题中的应用:W=f· s. 1.已知三个力 f1,f2,f3 作用于物体同一点,使物体处于平衡状态,若 f1=(2,2),f2=(-2,3),则|f3| 为( )
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公式表示

数量积的定义

a· b cos θ= (θ 为向量 a,b 的夹角) |a||b|

A.2.5 【解析】

B.4 2

C.2 2

D.5

由题意知 f1+f2+f3=0,∴f3=-(f1+f2)=(0,-5),∴|f3|=5.【答案】 D )

→ → → → → → 2.已知 O 是△ABC 所在平面上一点,若OA· OB=OB· OC=OC· OA,则 O 是△ABC 的( A.内心 【解析】 B.重心 C.外心 D.垂心 → → → → → → → → → OA· OB=OB· OC?OB· (OA-OC)=0,∴OB· CA=0?OB⊥AC.

同理:OA⊥BC,OC⊥AB,∴O 是△ABC 的垂心. 【答案】 D → → →2 3.若AB· BC+AB =0,则△ABC 为( A.钝角三角形 B.锐角三角形 【解析】 ) C.等腰直角三角形 D.直角三角形

→ → →2 → → → AB· BC+AB =0 可化为AB· (BC+AB)=0,

→ → → → 即AB· AC=0,所以AB⊥AC.所以△ABC 为直角三角形. 【答案】 D 4.已知两个力 F1、F2 的夹角为 90° ,它们的合力 F 的大小为 10 N,合力与 F1 的夹角为 60° ,那么 F1 的大小为________.

【解析】

1 如图所示.|F1|=|F|cos 60° =10× =5(N). 【答案】 5 N 2

→ → 5.(2012· 湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC=( A. 3 【解析】 B. 7 C.2 2 D. 23

)

1 → → → → → ∵AB· BC=1,且 AB=2,∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|BC|cos B=- . 2

1? 在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B,即 9=4+|BC|2-2×2×? ?-2?.∴|BC|= 3. 【答案】 A → → 6.(2013· 福建高考)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 【解析】 B.2 5 C.5 D.10 → → ∵AC· BD=(1,2)· (-4,2)=-4+4=0, 1→ → 1 → → ∴AC⊥BD,∴S 四边形 ABCD= |AC|· |BD|= × 5×2 5=5.【答案】 C 2 2 )

考向一 [080] 向量在平面几何中的应用 → → → → ? AB AC ? → AB AC 1 → → + (1)(2014· 长沙模拟)在△ABC 中,已知向量AB与AC满足? · BC=0,且 · = , ? → → → → 2 ?|AB| |AC|? |AB| |AC| 则△ABC 为( ) B.直角三角形 )
10

A.等边三角形

C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形

(2)(2014· 济南模拟)设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且 a 与 b 不共线, a⊥c, |a|=|c|,则|b· c|的值一定等于(

A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形面积

B.以 b,c 为两边的三角形面积 D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积

→ → → (3)已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 边上任意一点,则CP· (BA-BC)的最大值 为________. 【尝试解答】 (1)因为? → ? AB → AC ? → + · BC=0,所以∠BAC 的平分线垂直于 BC,所以 AB=AC. → →? ?|AB| |AC|?



→ → AB AC 1 1 π · = ,所以 cos∠BAC= ,即∠BAC= ,所以△ABC 为等边三角形. 2 3 → → 2 |AB| |AC|

(2)依题意可得|b· c|=|b||c|cos〈b,c〉=|b||c|sin〈a,b〉=S 平行四边形. ∴|b· c|的值一定等于以 b,c 为邻边的平行四边形的面积. (3)

法一 (坐标法)以 C 为原点,建立平面直角坐标系如图,设 P 点坐标为(x,y)且 0≤y≤3,0≤x≤4, → → → → → 则CP· (BA-BC)=CP· CA=(x,y)· (0,3)=3y,当 y=3 时,取得最大值 9. → → → → → → 法二 (基向量法)∵CP=CA+AP,BA-BC=CA, → → → → → → →2 → → → → → → → ∴ CP · ( BA - BC ) = ( CA + AP )· CA = CA + AP · CA = 9 - AP · AC = 9 - | AP |· | AC |· cos ∠ BAC = 9 - 3| AP |· cos ∠ BAC, → → → → → ∵cos∠BAC 为正且为定值, ∴当|AP|最小即|AP|=0 时, CP· (BA-BC)取得最大值 9.答(1)A (2)D (3)9 规律方法 1 1.向量在平面几何中的三大应用:一是借助运算判断图形的形状,二是借助模、数量积 等分析几何图形的面积;三是借助向量探寻函数的最值表达式,进而求最值. 2.平面几何问题的向量解法 ?1?坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这样就能进行相应 的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. ?2?基向量法,适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共线构造关于设定未知量的方程来 进行求解. → → → → → → →→ 对点训练 (1)已知点 O,N,P 在△ABC 所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,PA· PB → → → → =PB· PC=PC· PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 )

B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心

(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心) → → (2)(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=________. 【解析】 → → → (1)∵|OA|=|OB|=|OC|,即点 O 到 A,B,C 三点的距离相等,∴点 O 为△ABC 的外心.

→ → → 如图,设 D 为 BC 边的中心,则NB+NC=2ND,
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→ → → → → → → ∵NA+NB+NC=0,∴NA+2ND=0,∴NA=2DN,∴A,D,N 三点共线, ∴点 N 在 BC 边的中线上. 同理,点 N 也在 AB,AC 边的中线上,∴点 N 是△ABC 的重心. →→ → → →→ → → → → → → → → → ∵PA· PB=PB· PC,∴PA· PB-PB· PC=0,∴PB· (PA-PC)=0,∴PB· CA=0,∴PB⊥CA. → → → → 同理,PA⊥BC,PC⊥AB,∴点 P 是△ABC 的垂心. (2)如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2), → → → → ∴AE=(1,2),BD=(-2,2),∴AE· BD=1×(-2)+2×2=2. 【答案】 (1)C (2)2 考向二 [081] 向量在物理中的应用 (1)一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1、F2 成 60° 角,且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A.2 7 B.2 5 C.2 D.6 )

图 4-4-1 (2)如图 4-4-1 所示,已知力 F 与水平方向的夹角为 30° (斜向上),F 的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在摩擦因数 μ=0.02 的水平平面上运动了 20 m,问 F、摩擦力 f 所做的功分别为多少? 【思路点拨】 (1)利用 F1+F2+F3=0,结合向量模的求法求解. (2)力在位移上所做的功,是向量数量积的物理含义,要先求出力 F,f 和位移的夹角.

【尝试解答】 (1)如图所示,由已知得 F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2).
2 2 2 F3 =F2 F2=F2 =28.∴|F3|=2 7.【答案】 A 1+F2+2F1· 1+F2+2|F1||F2|cos 60°

(2)设木块的位移为 s, 则 F· s=|F|· |s|cos 30° =50×20× 3 =500 3 J, 2

1 F 在竖直方向上的分力大小为|F|sin 30° =50× =25(N), 2 所以摩擦力 f 的大小为|f|=(80-25)×0.02=1.1(N), 所以 f· s=|f|· |s|cos 180° =1.1×20×(-1)=-22 J.∴F,f 所做的功分别是 500 3 J,-22 J. 规律方法 2 1.物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型. 2.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比.例如,向量加法的平行四边形法则可与物理中力 的合成进行类比,平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比. 3.用向量方法解决物理问题的步骤:一是把物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量问题的 模型,通过向量运算解决问题;三是将结果还原为物理问题.
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考向三 [082] 向量在三角函数中的应用 π? (2013· 辽宁高考)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ?0,2?. (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 【思路点拨】 分别表示两向量的模,利用相等求解 x 的值;利用数量积运算及辅助角公式化为一 个角的一种函数求解. 【尝试解答】 (1)由|a|2=( 3sin x)2+sin2 x=4sin2x,|b|2=cos2x+sin2x=1, π? 1 π 及|a|=|b|,得 4sin2x=1.又 x∈? ?0,2?,从而 sin x=2,所以 x=6. (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x= π 1 3 1 1 2x- ?+ , sin 2x- cos 2x+ =sin? 6? 2 ? 2 2 2

π π π 3 0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1.所以 f(x)的最大值为 . 当 x= ∈? 6? ? 3 ? 2? 2 规律方法 3 平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算 后转化为三角问题,然后利用三角函数基本公式求解. → → → 对点训练 已知 O 为坐标原点,向量OA=(sin α,1),OB=(cos α,0),OC=(-sin α,2),点 P 满 → → 足AB=BP. → → (1)记函数 f(α)=PB· CA,求函数 f(α)的最小正周期; → → (2)若 O、P、C 三点共线,求|OA+OB|的值. → → → 【解】 (1)AB=(cos α-sin α,-1),设OP=(x,y),则BP=(x-cos α,y), → → → 由AB=BP得 x=2cos α-sin α,y=-1,故OP=(2cos α-sin α,-1). → → PB=(sin α-cos α,1),CA=(2sin α,-1), π? ∴f(α)=(sin α-cos α, 1)· (2sin α, -1)=2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2α)=- 2sin? ?2α+4?, ∴f(α)的最小正周期 T=π. 4 (2)由 O、P、C 三点共线可得(-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α),得 tan α= , 3 2sin αcos α 2tan α 24 → → 74 sin 2α= 2 = = ,|OA+OB|= ?sin α+cos α?2+1= 2+sin 2α= . 5 sin α+cos2α 1+tan2α 25

规范解答之七 平面向量与三角函数的交汇问题 求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤:第一步:将向量间的关系式化成三角函数式;第二 步:化简三角函数式;第三步:求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质;第四步:明确表述 结论. (12 分)(2013· 江苏高考)已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. 【规范解答】 (1)证明 由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2.
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又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b.5 分
?cos α+cos β=0, ? (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以? 7分 ?sin α+sin β=1, ?

由此得,cos α=cos(π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π.9 分 1 又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sin α+sin β=1,得 sin α=sin β= ,11 分 2 5π π 而 α>β,所以 α= ,β= .12 分 6 6 【名师寄语】 ?1?熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提. ?2?解决平面向量与三角函数的交汇问题,要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式. 在此基础上运用三角函数的知识求解. 2 5 (2014· 烟台模拟)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|= . 5 (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sin β=- .求 sin α. 2 2 12 【解】 (1)|a-b|= 2 4 4 5,|a-b|2= ,a2-2ab+b2= , 5 5 5

4 4 3 ∴2-2(cos αcos β+sin αsin β)= ,∴2-2cos(α-β)= ,即 cos(α-β)= . 5 5 5 π π (2)sin α=sin(α-β+β)=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β,又 0<α< ,- <β<0,则 0<α-β<π, 2 2 4 12 4 12 3 ? 5 ? 33 - = . ∴sin(α-β)= ,cos β= ,∴sin α= × + × 5 13 5 13 5 ? 13? 65

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