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2015-2016无锡市第一中学6.30 高二理科暑期数学


1.集合与逻辑
3.已知 集合 M ? {?1, 1} , N

班级

姓名

1.若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为 2.若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为

/>
? {x | x2 ? x ? 0} ,则 M ? N ? |a| b ab 4. 已知 a, b, c 均为非零实数, 集合 A ? {x | x ? 则集合 A 的元素的个数为 ___ ? ? }, a | b | | ab | 5.已知命题 p : ?x ? 1 ,x2 ?1 ? 0 ,那么 ? p 是
6.下列命题正确的是 (1) .命题“若 m ? 0 则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题为: “若方程
2

x 2 ? x ? m ? 0 无实根则 m ? 0 ” (2) .若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题
(3) . “ x ? 1 ”是 “ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

2 2 (4) . 对于命题 p :“ ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ” , 则 ?p :“ ?? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”

7.已知 c ? 0 ,设 p : 函数 y ? c x 在 R 上单调递减; q : 函数 g ( x) ? lg(2cx2 ? 2 x ? 1) 的值域为 R, 如果“ p 且 q ”为假命 题, “ p 或 q 为真命题,则 c 的取值范围是 8.设命题 ① ② ③ 和 ,在下列结论中,正确的是 为真是 为假是 为真是 为真的充分不必要条件 为真的充分不必要条件 为假的必要不充分条件

④ 为真是 为假的必要不充分条件. 9.设集合 P ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , Q ? {x | x ? 2m,m ? P} ,则集合 P ? Q 中元素的个数为
2 2 10. “ a ? b ? 0 ”是“ a ? 0 或 b ? 0 ”的

条件 ____________

11.命题 ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 的否定为
2

12.已知函数 y=lg( 4-x)的定义域为 A,集合 B={x|x<a},若 P: “x∈A”是 Q: “x∈B”的 充分不必要条件,则实数 a 的取值范围________. 13.已知 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ;q: x2 ? 2x ?1? m2 ? 0 ? m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条 3

件,则实数 m 的取值范围是____________

14.已知集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x x ? (2m ? 3) x ? m ? 3m ? 0, m ? R
2 2 2

?

?

?

?
[来源:Z+xx+k.Com]

(1)若 A ? B ? [2,4] ,求实数 m 的值;(2)设全集为 R,若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范 围。

1

15. 设 S 为集合

?1,2,3,?,50?的子集,它具有下列性质:S 中任何两个不同元素之和不被 7 整

除,那么 S 中的元素最多可能有多少个?

16.已知集合 A= x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,B=
2

?

?

?x | (x ? m ?1)(x ? m ?1) ? 0 ? ,

(1)当 m ? 0 时,求 A ? B (2)若 p : x ? 2 x ? 3 ? 0 , q : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条件,
2

求实数 m 的取值范围。

[来源:学.科.网]

17.设集合 P 2, n} , n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: …, n ? {1, ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C p (1)求 f (4) ; (2)求 f ( n) 的解析式(用 n 表示) .
n

A ,则 2 x ? C p A 。
n

2.函数概念与基本处等函数 I
1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 (1) .y

班级

姓名

1 y ? ( )x, x ? R .y ? sin x, x ? R (3) .y ? x, x ? R (4) . ? ? x 3 , x ? R (2) 2
p

2.已知幂函数 y ? x q (p,q∈N+且 p 与 q 互质)的图象如图所示,则

p p <0 B.p 为奇数,q 为偶数且 <0 q q p p C.p 为奇数,q 为偶数且 >0 D. p 为偶数,q 为奇数且 <0 q q 3.方程 log3 x ? x ? 3 ? 0 的零点所在区间是
A.p、q 均为奇数且 A.(0,2) B. (1,2)
2

C. (2,3)

D. (3,4)

4.设函数

f ?x?在?- ?, ? ?? 上满足以 x ? 2, x ? 7 为对称轴,且在 ?0,7? 上只有 ? 根的个数为 f ?1? ? f ?3? ? 0 ,试求方程 f ?x ? ? 0 在 ?- 2012 ,2012
?2, x ? 0 ,则满足不等式 f ( x) ? ? ?? x ? 2, x ? 0 ________ f (3 ? x ) ? f (2 x ) 的 x 的取值范围为
和 的 图像关于直线 对称.现将 图像沿 x 轴向 左平移2个单位,再沿 y 轴向上平移1个单位,所得的图 像是由两条线段组成的折线 (如图所示) , 则函数 表达式为 的

5.定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为[a,b] ,则函数 y=f(x+a)的值域为 6.已知函数

7. 在同一平面直角坐标系中, 函数

8.如果函数 f (x) ? ax 2 ? ax ? 1 的定义域为全体实数集 R,那么实数 a 的取值 范围是

?2 ? x , x ?1 ? 2 9.已知函数 f ( x) ? ? x , g ( x) ? x ? 2 x ,若关于 x 的方程 f [ g ( x )] ? k 有四个 x ?1 ? ? 2 ,x ? 1 不相等的实根,则实数 k ? ____________ 2 10.已知 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) = .
11 .若函数

f ?x ? ? a x ?a ? 0且a ? 1? 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m ,且函数

g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____________.
12.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,若对任意不等实数 x1 , x2 满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且对于任 x1 ? x2

意的 x, y ? R ,不等式 f ( x 2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 成立.又函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点(1,0) 对称,则当 1 ? x ? 4 时, 13.设二次函数
y 的取值范围为____________ x

f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ,若 f ( x) >0 的解集为 ? x ?2 ? x ? 1? ,函数

g ( x) ? 2 x ? 3 ,
(1) 求 a 与 b 的值 ; (2)解不等式 f ( x) ? g ( x)

3

14.已知 x 满足不等式 (log2 值.

x) 2 ? log2 x 2 ? 0 ,求函数 y ? 4

x?

1 2

? a ? 2x ?

a2 ? 1的最小 2

15.设 a 是实数, (1)若函数 f ( x ) 为奇函数,求 a 的值; (2)试证明:对于任意 a , f ( x ) 在 R 上为单调函数; (3)若函数 f ( x ) 为奇函数,且不等 成立,求实数 k 的取值范围。 式对任意 x ? R 恒

[来源:Z_xx_k.Com]

16.已知函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, b ? R, c ? R)
[来源:Zxxk.Com]

若函数 f ( x ) 的最小值是

f (?1) ? 0 , f (0) ? 1 且对称轴是 x ? ?1 , g ( x) ? ? ?
(1) 求 g (2) ? g (?2) 的值: (2)在(1)条件下求 f ( x ) 在区间

f ( x) ( x ? 0),

?? f ( x) ( x ? 0),

?t, t ? 2? ?t ? R? 的最小值.

4

3.导数及其应用
3 2

班级

姓名

1.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的 切线斜率均为-1,给出以下结论: 3 ①f(x)的解析式为 f(x)=x -4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于 0. 其中正确的结论有 个 2. 已知函数 若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值 2, 则a ?b f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? bx, 其中 a , b 为实数。 的值为 3.一辆汽车从停止时开始加速行驶,并且在 5 秒内速度 v(m / s) 与时间 t( s )的关系近似表

f (t ) ? ?t 2 ? 10t ,则汽车在时刻 t ? 1 秒时的加速度为 ? 4. f ( x) ? sin x 在 x ? 0 和 x ? 两处的瞬时变化率为 k1和k 2 ,则 k1 ? k 2 为 2 3 5.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为
示为 v ? 6.过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x

-x 的切线的条数最多是 7. 若在曲线 f ( x, y) ? 0(或y ? f ( x)) 上两个不同点处的切线重合, 则称这条切线为曲线 f(x, 2 2 2 y) =0(或 y=f(x))的 “自公切线” . 下列方程: ①x —y =1;②y= x —|x|; ③y=3 sinx+4cosx;
④|x|+1= 4 ? y 对应的曲线中存在“自公切线”的有
2
X_X_K]

3

f ( x) ? x2 ? xf ?(2) ,则 f ?(0) 等于 x 2 9.已知函数 f(x)=aln(e +1)-(a+1)x,g(x)=x -(a-1)x-f(lnx), a∈R,且 g(x)在 x=1 处取得极
8.已知 值. (1)求 a 的值; (2)若对 0≤x≤3, 不等式 g(x)≤|m-1|成立,求 m 的取值范围; (3)已知?ABC 的三个顶点 A,B,C 都在函数 f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨论 ?ABC 是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.

5

f ( x) ? (ax2 ? x)ex ,其中e是自然数的底数, a ? R 。 (1) 当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2) 若 f ( x ) 在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3) 当 a ? 0 时,求整数k的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在[k,k+1]上有解。
10.已知函数

f0 ( x) ? x ? ex , f1 ( x) ? f0?( x), f 2 ( x) ? f1?( x),?, f n ( x) ? f n??1 ( x)(n ? N ? ) (1)请写出 f n ( x) 的表达式(不需证明) ; (2)求 f n ( x) 的极值
11.设 (3) 设 gn ( x ) 的最小值。 求a ?b ? ? x2 ? 2 ( n 1 )? 8 x? 8 ,n ? ( ) gn x 的最大值为 a , f n ( x) 的最小值为 b ,

6

12.某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片,包含《新花好月圆》 、 《荷 塘月色》等 10 首创新经典歌曲。该公司计划用 x (百万元)请李子恒老师进行创作,经
2 调研知:该唱片的总利润 y (百万元)与 (3 ? x) x 成正比的关系,当 x ? 2 时 y ? 32 .

又有 (Ⅰ)设

x ? ?0, t ? ,其中 t 是常数,且 t ? ?0,2? . 2(3 ? x)

; y ? f ? x ? ,求其表达式,定义域(用 t 表示) (Ⅱ)求总利润 y 的最大值及相应的 x 的值.

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R ) ,且其导函数 f ?( x ) 的图 像过原点. 3 2 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的零点个数。
13.已知函数 f ( x) ?

7

f ( x) ? 3x2 ? x ? m , ( x ? R) , g ( x) ? ln x (1)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像在 x ? x0 处的切线平行,求 x0 的值;
14.已知 (2)求当曲线

[来源:Zxxk.Com]

y ? f ( x)与y ? g ( x) 有公共切线时,实数 m 的取值范围;并求此时函数 ?1 ? 。 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? , 1 ? 上的最值(用 m 表示) ?3 ?

4.三角函数
10? ) 的值等 3 o 2.一个角的度数是 405 ,化为弧度数是 3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x = sin x ? cos x, 则 x ?
1. sin( ?
2 2 4.已知 tan α ? 3 ,则 2 sin α ? 4 sin α cosα ? 9 cos α 的值为

班级

姓名

5.若 sin ?

6.将函数 y ? sin( x ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? = ? 3 ? ?6 ? 3 ?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不

变) ,再将所得图象向左平移

?
3

个单位,则所得函数图象对应的解析式为

8

7.若复数 z ? ? sin ? ?

3? ? 4? ?? ? ? ? ? cos ? ? ? i 是纯虚数,则 tan ? ? ? ? 的值为 5? ? 5? 4? ? ? ? 2 2 8.已知 x ? y ? 2 sin(? ? ), x ? y ? 2 sin(? ? ) ,则 x ? y 的值是 4 4 1 2 9.已知 cot ? ? , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) ? . 2 3 10.在△ ABC 中, a , b , c 分别为 ?A、?B、?C 的对边,三边 a 、 b 、 c 成等差数列,且 ? B ? ,则 cos A ? cos C 的值为 . 4 11.已知向量 a ? (cos A, sin A),b ? (cosB,? sin B), 其中∠A,∠B 为△ABC 的内角,且 ? ?
[来源:Zxxk.Com]

a ?b ? ?

10 . (Ⅰ)求 tan(A+B)的值; 10

(Ⅱ)若 cos B ?

3 , 求 sin A. 5

sin(? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) ? tan(?? ? ? ) sin(?? ? ? ) 3? 1 ) ? ,则 f (? ) 的值; (1)求 f (? ) ; (2)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ? 2 5 o (3)若 ? ? ?1860 ,求 f (? ) 的值。
12.已知

f (? ) ?

9

13.已知向量 a

?

? ? 2 (1)当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值;
(2)设函数 若a

3 ? ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4
ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,

? ? ? f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△
6 3

? 3, b ? 2, sin B ?

,求 f ? x ? ? 4 cos? 2 A ?

? ?

??

? ?? ? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 6? ? 3?

14.已知 f ( x) ?

x x x 1 3 sin cos ? cos 2 ? . 4 4 4 2

(1)求 f(x)的周期及其图象的对称中心;

(2)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,满足(2a ? c)cosB=bcosC, 求 f(A)的取值范围.

10

15.已知 A,B 是海面上位于东西方向(B 在 A 东)相距 5(3 ?
0 0

3) 海里的两个观察点,现位
0

于 A 点 北偏东 45 ,B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60 且 与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里∕小时,该救 援船到达 D 的点需要多长时间?

16.如图,某市拟在长为 8km 的 道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段

OSM ,该曲线段为函数 y ? Asin ? x( A ? 0, ? ? 0), x ??0,4? 的图象,且图象的最高点为

S (3, 2 3) ;赛道的后一部分为折线段 MNP .为保证参赛运动员的安全,限定
?MNP ? 120O .

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

(1) 求 A, ? 的值和 M , P 两点间的距离; (2) 应如何设计,才能使折线段线段 MNP 最长?

11

5.平面向量
1. 向量 等于

班级

姓名

(其中 m, n ? R且n ? 0)则 a ? (1,2),b ? (?2,3),若ma ? nb 与 a ? 2b 共线

2.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两个切点,那么 PA ? PB 的最 小值为 3.已知 a ? (?1,?

??? ? ??? ?

m n

3),b ? (2,0) ,则 a, b 的夹角是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知 a 、 b 是非零向量且满足( a -2 b ) ⊥ a ,( b -2 a ) ⊥ b ,则 a 与 b 的夹角是 5.已知向量 a,b 满足: | a |? 3,| b |? 5, 且a ? ?b ,则实数 ? = ??? ? ??? ? ? 6.若等腰梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 3 , BC ? 2 , ?ABC ? 45 ,则 AC ? BD
的值为 7.如图,在 ?OAB 中,点 P 是线段 OB 及 AB、AO 的延长线所围成的阴影区域内(含边界) 的任意一点,且 OP ? xOA ? yOB ,则在直角坐标平面上,实数对 ? x, y ? 所表示的区域在直线

??? ?

??? ?

??? ?

y ? x ? 3 的右下侧部分的面积是 8.设 M 是□ABCD 的对角线的交点,O 是任意一点,
则 OA ? OB ? OC ? OD

??? ? ??? ? ??? ? ????

? ?OM ,则 ? ?

9 .在平面直角坐标系中,点 A(1,2)、点 B(3,1)到 直线 l 的距离分别为 1,2,则符合条件的直线条数为 10.已知 AB = 2e1 = 2e1

? ke2 , CB = e1 ? 3e2 , CD
, , ,

? e2 ,若 A、B、D 三点共线,则 k=___________.

11. 过△ABC 的重心任作一直线分 别交 AB, AC 于点 D、 E. 若 则

1 1 ? 的 值为___________. x y

??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ???? 12.已知 A,B,C 三点不共线, O 为平面 ABC 外一点,若由向量 OP ? OA ? OB ? ? OC 确 5 3 定的点 P 与 A,B,C 共面,那么 ? ?
13.已知 e1 , e2 是夹角为 60°的单位向量,且 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 。 (1)求 a ? b ;(2)求 a 与 b 的夹角 ? a, b ? 。

??

?? ?

?

? ? ? ? ?

?

? ?

?? ?

? ?

?

?

? ?

12

14.已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为线段 AB 上一点,且 AP ? ? AB(0 ? ? ? 1) . (1)若等边三角形边长为 6,且 ? ?

??? ?

??? ?

(2)若 CP ? AB ? PA ? PB ,求实数 ? 的取值范围.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

1 ,求 CP ; 3

15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知向量 m=(c-2b,a),n=(cosA, cosC),且 m⊥n. (1)求角 A 的大小;(2)若 AB ? AC =4,求边 a 的最小值.

??? ?

??? ?

3 sin 2x ? 1) ( x ? R) ,且函数 f ( x) ? OP? OQ . (I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II) 求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值.
16.已知点 P(cos2 x ? 1,1) ,点 Q(1,

?

?

,( 17.设 a ? (cos ?

?? 1)sin ), ? b(cos ? ,sin ? ),( ? 0,0 ?? ? ? ? ? 向量,若向量 a ? b 与 a ? b 互相垂直.
? ?

?

?

?? ? ? )?

?
2

是平面上的两个

(Ⅰ)求实数 ? 的值;(Ⅱ)若 a ? b ?

4 4 ,且 tan ? ? ,求 tan ? 的值. 5 3

13

6.数列
1.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

班级

姓名

S3 1 S 6 = ? 则 S 6 3 S12 2.等差数列 ?an ?中, a3 ? a4 ? 9 , a2 ? a8 ? 12, 则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a8 ? S ? S2 ? ? ? Sn 4.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ? 1 ,称 Tn 为数列 a1 ,a2 ,??, an n 的 “理想数” , 已知数列 a1 , ??,a500 的 “理想数” 为 2004, 那么数列 2, a1 , ??, a2 , a2 , a500 的“理想数”为
5.等差数列{ a n }中,已知 a 2 + a 7 + a 8 + a 11 = 48,a 3∶a + a 100 等于 6.数列 1,0,1,0,1, ? 的一个通项公式是
11

= 1∶2,则 a

2

+ a

4

+ a6+ ?

7.已知实数 a1,a2,a3,a4,a5 构成等比数列,其中 a1=2,a5=32,则公比 q 的值为 8.将含有 项的等差数列插入 4 和 67 之间仍构成一个等差数列,且新等差数列的所有项之和 等于 781,则 的值为 9.等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,且 a1 ? a6

? 8 , a3a4 ? 12 ,则

a6 等于 a11

10.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则
2? 11.已知数列 ?an ? 的通项 an ? ? ? ? ?3?
12.已知函数
源:Z。xx。k.Com]

S4 的值为 a3

n ?1

?? 2 ?n ?1 ? ?? ? ? 1? ,则数列 ?an ? 中的项最大的项为第 ?? 3 ? ? ? ?

____项,最小的项为第_______项.

f ( x) ? 2 x ,等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 则 log2 [ f (a1 ) f (a2 ) f (a3 ).....f (a10 )]=____________。

则 S3 ? S2 =_____ ? 3, 且4a1 , 2a2 , a3 成等差数 列, a ? a4 1 14.各项都是正数的等比数列{ an }的公比 q≠1,且 a2 , a 3 , a1 成等差数列,则 3 2 a 4 ? a5 13. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 =___________ 15.已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8= -10 (I)求数列{an}的通项公式;(II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和。 n ? ?2 ?

14

16.已知等差数列 {an } 是递增 数列,且满足 .. (1)求数列 {an } 的通项公式;(2)令 bn ?

a4 ? a7 ? 15, a3 ? a8 ? 8.
1 (n ? 2), b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 3

9an ?1 an

Sn .

17.在数列

(Ⅰ)设 bn ? nn ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . 2 ?1

a

.证明:数列

?bn ?

是等

差数列; (Ⅱ)求数列

?an ? 的前 n 项和 Sn .

18.已知数列 {an } 满足 a1 (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 Sn

? 1, a2 ? 2 ,且当 n ? 1 时, 2an ? an?1 ? an?1 恒成立.
1 1 1 ? ?? ? . S1 S2 Sn

? a1 ? a2 ? ? ? an ,求和

15

19.已知数列 ?an ? 满足: an?1 (1)若 a1 ?

* (n? N ) ? an ? 1 ,

11 ,求 a9 与 a10 的值; 4 * (2)若 a1 ? a ? (k , k ? 1), k ? N ,求数列 ?an ? 前 3k 项的和 S 3k (用 k 、 a 表示) ;
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(3) 是否存在 a1 ,n0( a1 ? R, n0

使得当 n ? n0 时,an 恒为常数?若存在, 求出 a1 , ? N*) ,

n0 ;若不存在,说明理由。

班级 姓名 1.点(3,1)和点(-4,6)在直线 3x–2y + m = 0 的两侧,则 m ? 2.不 等式

7.不等式

1 ? 1 的解集是 x

3.若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x ? ( 0, ) 成立,则 a 的取值范围是

1 2 ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 4.目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x , y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则有 z 的最小值为 ?x ? 1 ?
16

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 5.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 )的最大值 ?y ?1 ? 0 ?
为 12,则直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? a) 6.若存在实数 x ?
2

?2,4? ,使 x2 ? 2x ? 5 ? m ? 0 成立,则 m 的取值范围为

? ( y ? b)2 ? 2 的公共点个数为

?x ? y ? 6 ? 9.若 变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? -2 ,则 z =2 x ? 3 y 的最大值为 ?x ? 1 ?
10.下列命题中正确的是

x2 ? 3 1 的最小值是 2 B. y ? 的最小值是 2 x x2 ? 2 4 C. y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D. y ? 2 ? 3 x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x 3 11.若不等式 x ? ax ? 的解集是(4,m) ,则 a= ,m = . 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 12.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2|x|+y 的取值范围____________ ? y ? ?1 ? ? y?x ? 13. 设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下, 目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 4, 则 m 的值为 ?x ? y ? 1 ?
A. y ? x ?
[来源:学科网]

__

?2 x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 5 ? 0 1 x 1 y ? 14.已知实数 x 、 y 满足 ? ,则 z ? ( ) ? ( ) 的最小值为 4 2 ?x ? 0 ? ?y ? 0
15.解关于 x 的不等式:ax -2≥2x-ax(a<0).
2

.

17

16.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量 y(千辆/时)与汽车的平 均速度 v(千米/时)之间的函数关系为 y ?

920 v (v ? 0) v ? 3v ? 1600
2

(1) 在该时段内, 当汽车的平均速度 v 为多少时, 车流量最大?最大车流量是多少 (精确到 0.1 千辆/时)? (2) 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时,则汽车的平均速度应该在什么范围内?

ax ? 5 ? 0 的解集为 M . x2 ? a (1)当 a ? 1 时,求集合 M ;(2)当 3 ? M且5 ? M 时,求实数 a 的范围.
17.已知关于 x 的不等式

18. 已知集合 A ? {x | 的取值范围.

2x 2 ? mx ? 1 ? 0}, B ? {x |

( x ? 6)(x ? 8) 2 若 B ? A, 求 m ? 0} , ( x ? 4) 3

18

8.空间几何体

班级

姓名

1.体积为 4 3? 的球的内接正方体的棱长为 2.如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA=SC=AB=BC,则直线 SB 与 AC 所成角的大小是 3.如图一个封闭的立方体,它 6 个表面各标出 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字,现放成下面 3 个不同的位置,则数字 l、2、3 对面的数字是

4.对于四面体 ABCD ,给出下列命题: ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面; ②由顶点 A 作四面体的高, 其垂足是 ?BAD 的三条高线的交点; ③若分别作 ?ABC 和 ?ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在直线异面; ④分别作出三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; ⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. 其中正确命题的个数为 6.下列三个命题,其中正确的有 个 ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台. 7.如果棱长为 2cm 的正方体的八个顶点都在同一个球面上,那么球的表面积是 8.圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 11. 在正三棱锥 P ? ABC (顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中, AB ? 4, PA ? 8 , 过 A 作与 PB, PC 分别交于 D 和 E 的截面,则截面 ? ADE 的周长的最小值是 12.已知 A(?1, 0) , B(2, 1) , C(1,

? 1) . 若将坐标平面沿 x 轴折成直二面角, 则折后
2 2 2

?BAC 的余弦值为
13. 自半径为 R 的球面上一点 P 引球的两两垂直的弦 PA、 PB、 PC,则 PA ? PB ? PC =______ 14.以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥? 15.如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=

1 AB, 2

点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点 ,过点 A1,B,M 三 点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N. 求证:EM∥平面 A1B1C1D1;

19

16.如图, DC ? 平面 ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2, ?ACB ? 90? ,P、Q 分别为 DE、 AB 的中点。 (Ⅰ)求证:PQ//平面 ACD; (Ⅱ)求几何体 B—ADE 的体积;

17.如图,已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD ? DC ,AB//DC,DC=DD1=2AD=2AB=2. (Ⅰ)求证: DB ? 平面 B1BCC1; (Ⅱ)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使得 D1E//平面 A1BD, 并说明理由.

19.如图,在四棱锥A-ABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都是等 边三角形,AC与BD的交点为O,E为侧棱SC上一点. (1)当E为侧棱SC的中点时,求证:SA∥平面BDE; (2)求证:平面BDE⊥平面SAC;

20

9.直线与圆
1. 已知直线 l 的倾斜角为 30 ,则直线的斜率 k 值为
0

班级

姓名

2.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 经过圆 x

2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆心,则

1 1 ? a b

的最小值是 3.点(2,1)到直线 3x ?4y + 5=0 的距离是 2 2 2 4.已知圆 x +y =r 在曲线|x|+|y|=4 的内部,则半径 r 的范围是 5.对任意实数 m ,直线 ( m ? 1) x ? 2m y ? 6 ? 0 必经过的定点是 6.圆 x
2

? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是

7.点(a,b)关于直线 x+y=0 对称的点是 gs i n 8. 不等边 ?ABC 的三个内角所对边分别是 a, b, c, 且l
2 2

,l g A s i n ,l gs i nB C 成等差数列, 则直线 x sin A ? y sin A ? a 与直线 x sin B ? y sin C ? c 的位置关系是 2 2 9.已知直线过定点 ( ?1,1) ,则“直线的斜率为 0”是“直线与圆 x ? y ? 1 相切”的 __条件
10.过点 P(2,3)且在两轴上的截 距相等的直线方程是____________. 11. 若直线 ax ? by ? ab (a ? 0, b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切, 则 ab 的最小值是 12. 已知圆 x 13. 圆x
2
2 2 2 2

.

的公共弦的长为 2 3 , 则 a ? ___ ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0(a>0) ,如果直线 x+y+a=0 与该圆有公共点,那

? ( y ? 1) 2 ? 1的圆心坐标是

么实数 a 的取值范围是 . 14.直线 l 过点 P(0,-2),按下列条件求直线 l 的方程 (1)直线 l 与两坐标轴围成三角形面积为 4; (2)直线 l 与线段 AB 有公共点(包括线段两端点) ,且 A(1,2) 、B(-4,1) ,求直线 l 斜率 k 的取值范围.

15.直线 l 经过点 P(5,5) ,且和圆 C: x ? y ? 25 相交截得的弦长为 4
2 2

5 .求 l 的方程.

16. 已知圆 C 的圆心在直线 3x ? y ? 0 上且在第一象限, 圆 C 与 x 相切, 且被直线 x ? y ? 0 截 得的弦长为 2 7 . (1)求圆 C 的方程; (2)若 P( x, y) 是圆 C 上的点,满足

3x ? y ? m ? 0 恒成立,求 m 的范围.

21

17.已知直线 l1 和 l 2 在 x 轴上的截距相等,且它们的倾斜角互补,又直线 l1 过点 P(?3,3) .如 果点 Q(2,2) 到 l 2 的距离为 1,求 l 2 的方程.

O B 18. 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中,A(a,0)(a ? 0) , 设 ?A B(0, a ) , C (?4,0) ,D(0,4) ,
的外接圆圆心为 E. (1)若⊙E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值; (2)设点 P 在圆 E 上,使 ?PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个,试问这样的⊙E 是 否 存在,若存在,求出⊙E 的标准方程;若不存在,说明理由.

10.圆锥曲线与方程
1.已知动点 P(x,y)满足 5 2.已知点 F 1 、 F2 分别是双曲线

班级

姓名

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? x ? y ? 1 ,则 P 点的轨迹是

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲 a 2 b2 线交于 A 、 B 两点,若 ? ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是

3.从抛物线

y 2 ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点

为 F, 则△MPF 的面积为 2 4.抛物线 x =4y 的焦点为 F,点 A 的坐标是(-1, 8),P 是抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最小 值是
22

5.曲线 f(x,y)=0 关于点(1,2)对称的曲线方程是 6.若抛物线 y ?
2

4 x2 y 2 x 的焦点与椭圆 ? ? 1 的左焦点重合,则 m 的值为 7 3 m

x2 y 2 ? ? 1 =1 上一点 P 到一个焦点的距离为 6,则 P 到另 一个焦点的距离为 25 9 2 8.抛物线 y ? 4 x 上的点 p 到抛物线的准线的距离为 d1 ,到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离为 d 2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为
7.椭圆

x2 ? y 2 ? 1, 点C (0,1), 若直线x ? y ? 1 ? 0 交双曲线的两渐近线于点 A、 2 a ??? ? ??? ? B,且 BC ? 2 AC ,则双曲线的离心率为 x2 y 2 ? ? 1 上的动点,过 P 作椭圆长轴的垂线,垂足为 M ,则 PM 的中点的 11. P 是椭圆 9 5
10.设双曲线 M

:

轨迹方程是

5 3 12.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 2 2 2 13.过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F ,且垂直于对称轴的直线交抛物线于 A、B 两点,
若线段 AB 的长为 8,则 p 的值为 14.已知直线 x ? my ? 1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 a 的取值范围为 a 2

15.动点 M 与定点 F(3,0)的距离比它到直线 x+1=0 的距离多 2,则动点 M 的轨迹方程为 ____________ 16.已知点 P 在圆 x
2

? y 2 ? 25 上移动, A(0,1) 则 AP 的中点 M 的轨迹方程是

17.已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线

y 2 ? 4 5x 的焦点,离心率是

6 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 C(—1,0) ,斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,请问 x 轴上是否存在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。

23

18.已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? 距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 取值范围.

y ? 2 2 ? 0的

y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N,当 AM ? AN 时,求 m 的

19.已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点 P 到直线 x ? ? 到点 F (

p ? 1 ( p 是正常数) 的距离为 d1 , 2

p , 0) 的距离为 d2 ,且 d1 ? d2 ? 1. 2
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程;

(2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B,分别过 A、B 点作直线 l1 : x ? ? 应的垂足分别为 M 、N ,求证: FM ? FN .

p 的垂线,对 2

24

20.如图,弧 ADB 为半圆, AB 为半圆直径, O 为半圆圆心,且 OD ? AB , Q 为线段 OD 的中点,已知 AB ? 4 ,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持 不变。 (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ) 过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M 、N 两点, 与 OD 所
[来源:学科网 ZXXK]

PA ? PB 的值

在直线交于 E 点,若 EM

?1 ? ?2 为定值。

? ?1 MB, EN ? ?2 NB 求证:

2 2 21. 椭圆 x ? y ? 1 a2 b2 为坐标原点.

?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、Q 两 点,且 OP ? OQ ,其中 O

(1)求

1 1 ? 2 的值; (2)若椭圆的离心率 e 满足 3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 2 a b 3 2

25

11.选修部分
1 .已知直线 l 经过点 P(2,1) ,倾斜角 ? ?

班级

姓名

, 4 (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程;(Ⅱ)设直线 l 与圆 O : ? ? 2 相交于两点 A,B,求线段 AB 的长度.

?

2 . 已 知 圆 C: x2 ? y 2 ? 1 在 矩 阵 A = ?a 0? (a ? 0, b ? 0) 对 应 的 变 换 作 用 下 变 为 椭 圆

? ?0 b? ?

x y ? ? 1 ,求 a,b 的值. 9 4

2

2

3 .已知二阶矩阵 M 有特征值 ? =3 及对应的一个特征向量 e1

?1? ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变 ?1?

换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵 M.

4 .已知圆 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的

2 ? ?x= 2 t+m 正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是? 2 ? ? y= 2 t 与圆 C 相切,求实数 m 的值.

(t 是参数).若直线 l

26

5 . 已知曲线 C 的极坐标方程为 ?

2

? 25 ,曲线 C ? 的极坐标方程为 ? ? 4cos? .试求曲线 C

和 C ? 的直角坐标方程,并判断两曲线的位置关系.

6.已知矩阵 A = ?

?2 0? ?1 ?1? ?1 ,B = ? ? ,求矩阵 A B . ? 2 5 0 1 ? ? ? ?

7.已知 A(0, 0) , B (2, 0) , C (2, 2) 在矩阵 M

?a b ? ?? ? 对应变换的作用下,得到的对应点 ?c d   ? 分别为 A?(0, 0) , B?( 3,1) , C ?(0, 2) ,求矩阵 M .

8. 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ,以极点为原点,极轴为 x 轴

4 ? x ? 1? t ? ? 5 的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),求直线 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ? l 被曲线 C 所截得的弦长.

27

9.射手甲进行射击训练,假设每次射击击中目标的概 率为

3 ,且各次射击的结果互不影 5

响。 (1)求射手在 3 次射击中,至少有 2 次连续击中目标的概率; (用数字作答) (2)求射手第 3 次射 中目标时 ,恰好射击了 4 次的概率(用数字作答) ; X X (3)设随机变量 表示射手第 3 次射中目标时已射击的次数,求 的分布列

10. 某公园有甲、 乙两个相邻景点, 原拟定甲景点内 有 2 个 A 班的同学和 2 个 B 班的同学;

乙景点内有 2 个 A 班同学和 3 个 B 班同学, 后由于某种原因甲乙两景点各有一个同学交 换景点观光. (Ⅰ)求甲景点恰有 2 个 A 班同学的概率; (Ⅱ)求甲景点 A 班同学数 ? 的分布列及期望.

11. 为了让更多的人参与 2010 年在上海举办的“世博会” ,上海某旅游公司面向国内外发

行总量为 2000 万张的旅游优惠卡,其中向境外人士发行的是世博金卡(简称金卡) ,向 境内人士发行的是世博银卡 (简称银卡) 。 现有一个由 36 名游客组成的旅游团到上海参 观旅游,其中 客中有

3 1 是境外游客,其余是境内游客。在境外游客中有 持金卡,在境内游 4 3

2 持银卡. 3

(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的境内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的

分布列及数学期望 E? .

28

?BAC ? 90o , 12. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB=AC=a, A 1 1 AA1 ? b ,点 E,F 分别在棱 BB1 , CC1 上,且 BE ? BB1 , 3 1 b C1F ? CC1 .设 ? ? . 3 a (1)当 ? =3 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (2)当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时,求 ? 的值.

C B1

1

F

A B

E C

13.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形,

AB // DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD , 1 且 PA ? AD ? DC ? ,AB ? 1 ,M 是 PB 的中 2
点。 (1)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (2)求 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (3) 求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值.

29

14.在棱长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为棱 AB 的中点,点 P 在平面A1B1 C1D1, D1P⊥平面 PCE.试求: D1 C1 (1) 线段 D1P 的长; P (2) 直线 DE 与平面 PCE 所成角的正弦值;
A1 B1

D

C

A E

B

15.已知斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 过抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点 F 且交抛物线于 A、B 两点。 设线段 AB 的中点为 M。 (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若 ?2 ? k ? ?1 时,点 M 到直线 l ? : 3x ? 4 y ? m ? 0 ( m 为常数, m ? 不小于

1 )的距离总 3

1 ,求 m 的取值范围。 5

30

16. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(?1,1) , P 是动点, 且三角形 POA 的三边所在直线的斜率满足 kOP ? kOA ? kPA ⑴求点 P 的轨迹 C 的方程; ⑵若点 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一点, 且 PQ ? lOA , 直线 OP 与 QA 交于点 M, 问: 是否存在点 P 使得 ?PQA 和 ?PAM 的面积满足 S?PQA ? 2S?PAM ?若存在,求出点 P 坐标,若不 存在,说明理由.

??? ?

??? ?

17.已知 f ( x) ? 1 ? x ? x , g ( x) ? ln
2

1 a ,若对任意 x ? ,都有 f ( x) ? g ( x) ,试求 2 2x ?1

a 的取值范围.

31

18. 已知数列 {an } ( n 为正整数)是首项是 a1 ,公比为 q 的等比数列。
0 1 2 0 1 2 3 (1)求和: a1C2 ? a2C2 ? a3C2 , a1C3 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3 ;

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明. (3)设 q ? 1 , Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和,
0 1 2 3 n 求: S1Cn , ? S 2Cn ? S3Cn ? S 4Cn ? ? ? (?1) n S n?1Cn

19.某班级共派出 n ? 1 个男生和 n 个女生参加学校运动会的入场仪式,其中男生甲为领队. 入场时,领队男生甲必须排第一个,然后女生整体在男生的前面,排成一路纵队入场,共 有 En 种排法;入场后,又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务, 共有 Fn 种选法. (1)试求 En 和 Fn ; (2)判断 ln En 和 Fn 的大小( n ? N ? ) ,并用数学归纳法证明.

32


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