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专题二:数列问题的题型与方法


专题二:数列问题的题型与方法(3 课时)
一、考试内容
数列;等差数列及其通项公式,等差数列前 n 项和公式;等比数列及其通项公式,等比数 列前 n 项和公式.

二、考试要求
1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并 能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的

通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答简 单的问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决简 单的问题.

三、复习目标
1. 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式解题; 2.能熟练地求一些特殊数列的通项公式和前 n 项的和; 3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践 中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法 分析问题与解决问题的能力. 5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各 类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力. 6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函 数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方 法.

四、双基透视
1. 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1) 定义法:对于 n ? 2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数. (2) 通项公式法: ② 若 an ? a1q ① 若 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ,则 ?an ? 为等差数列;
n?1

? ak q n?k ,则 ?an ? 为等比数列.
2

3. 在等差数列 ?an ? 中,有关 S m 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1 ? 0 , d ? 0 时,满足 ?

(3) 中项公式法:验证 2an?1 ? an ? an?2 ,( an?1 ? an ? an?2 )都成立.

?a m ? 0 的项数 m 使得 S m 取最大值. ?a m ?1 ? 0
?a m ? 0 的项数 m 使得 S m 取最小值. ?a m ?1 ? 0
1

(2)当 a1 ? 0 , d ? 0 时,满足 ?

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.

五、注意事项

1 .证明数列 ?an ? 是等差或等比数列常用定义,即通过证明 an?1 ? an ? an ? an?1 或

an?1 a ? n 而得. an a n?1
2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地 运用性质,可使运算简便. 3.对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解. 4.注意一些特殊数列的求和方法. 5.注意 sn 与 an 之间关系的转化。如:
n ?S1 , n ? 1 , a n ? a1 ? ? (a k ? a k ?1 ) . an ? ? k ?2 ?S n ? S n?1 , n ? 2

6.通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解综 合题的信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力. 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位。 高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等 以下难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分度。 本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论 等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.

六、范例分析

例 1.已知数列 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列,其前 n 项和为 S n .

(1)求证:点 P1 (1,

S S1 S ) , P2 (2, 2 ) ,┅, Pn (n, n ) 在同一直线 l1 上; 1 2 n

(2)过点 Q1 (1, a1 ) , Q2 (2, a2 ) 作直线 l 2 ,设 l1 与 l 2 的夹角为 ? ,求证: tan? ? 证明:(1)因为等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,所以

2 4

S k (k ? 1)d k ?1 d. , k ? a1 ? 2 k 2 S k S1 k ?1 ? (a1 ? d ) ? a1 1 1 ? 2 当 k ? 2(k ? Z ) 时, k ,即直线 ? d ( d 是常数) k ?1 k ?1 2 ,所以 p 2 , p3 ,┅, p n 都在过点 p1 (1, a) 且斜率为 p1 p k 的斜率是常数( k ? 2,3,?, n ) d 常数 的直线 l1 上. 2 (2)直线 l 2 的方程为 y ? a1 ? d ( x ? 1) ,直线 l 2 的斜率为 d .
S k ? ka 1 ?

2

d 1 1 2 2 |? | d | ? tan? ?| ? ? . 2 d 2 4 2?d 2 1? d ? ?|d | 2 |d | 2 |d | |d | 2 ?| d | 当,即 | d |? 2 时等号成立. 当且仅 |d | 例 2.已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2, ), a1 ? 1 , d?
⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?

分析:由于 ?bn ? 和 ?cn ? 中的项都和 ?an ? 中的项有关, ?an ? 中又有 S n?1 ? 4an ? 2 ,可由 S n ? 2 -S n?1 作切入点探索解题的途径. 解:(1)由 S n?1 ? 4an ? 2 , S n? 2 ? 4an?1 ? 2 ,两式相减,得 S n?2 ? S n?1 ? 4(an?1 ? an ) , 即 an?2 ? 4an?1 ? 4an .(根据 b n 的构造,如何把该式表示成 bn ?1 与 bn 的关系是证明的关键, 注意加强恒等变形能力的训练) ① an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ) ,又 bn ? an?1 ? 2an ,所以 bn?1 ? 2bn 已知 S 2 ? 4a1 ? 2 , a1 ? 1 , a1 ? a2 ? 4a1 ? 2a1 ,解得 a 2 ? 5 , b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 ② 由① 和② 得,数列 ?bn ? 是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 bn ? 3 ? 2 n?1 . a a ?1 a n a n ?1 ? 2a n b (n ? N ) ,所以 cn ?1 ? cn ? n ? n ? ? nn (2)因为 c n ? n n n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 ?1 3 ? 2 n ?1 3 ? n ?1 ? . 4 2 a 1 3 3 1 1 又 c1 ? 1 ? ,故数列 ?cn ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, c n ? n ? . 2 4 4 4 2 2 a a 3 1 3 1 ? n ? , an ? (3n ? 1) ? 2n?2 . (3)因为 c n ? n ,又 c n ? n ? ,所以 n n n 4 4 4 4 2 2 n?1 当 n ? 2 时, S n ? 4an?1 ? 2 ? 2 (3n ? 4) ? 2 ;当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 1 也适合上式. 综上可知,所求的求和公式为 S n ? 2 n?1 (3n ? 4) ? 2 . 说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数 列通项公式与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件 S n?1 ? 4an ? 2 得出递推公式. 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面 求解的过程中适时应用. 例 3 .已知数列 ?an ? 是首项 a1 ? 1 , q ? ?1 且 q ? 0 的等比数列,设数列 ?bn ? 的通项

⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和.

an , (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n

bn ? an?1 ? kan?2 (n ? N ) ,数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn .如果 Tn ? kSn 对一 切自然数 n 都成立,求实数 k 的取值范围. 分析:由探寻 Tn 和 S n 的关系入手谋求解题思路.
3

解:因为 ?an ? 是首项 a1 ? 0 ,公比 q ? ?1 且 q ? 0 的等比数列,故

an?1 ? an ? q ,

an?2 ? an ? q 2 . 所以 bn ? an?1 ? kan?2 ? an (q ? k ? q 2 ) .

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (a1 ? a2 ? ? ? an )(q ? k ? q 2 ) ? S n (q ? k ? q 2 ) .
依题意,由 Tn ? kS n ,得 S n (q ? k ? q 2 ) ? kSn ,①对一切自然数 n 都成立. 当 q ? 0 时,由 a1 ? 0 ,知 a n ? 0 ,所以 S n ? 0 ;

a1 (1 ? q n ) 当 ? 1 ? q ? 0 时,因为 a1 ? 0 , 1 ? q ? 0 , 1 ? q ? 0 ,所以 S n ? ? 0, 1? q 综合上面两种情况,当 q ? ?1 且 q ? 0 时, S n ? 0 总成立. q q 1 由①式可得 q ? k ? q 2 ? k ②, k ? (1 ? q 2 ) ? q ,即 k ? ? ? 。故 k 的取值范 2 2q 2 1? q 1 围k ? . 2
n

例 4.(2001 年全国理)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此 发展旅游产业. 根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 .本年度当地 5

旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年 会比上年增加

1 。(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元. 4

写出 an , bn 的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解析: 第 1 年投入 800 万元, 第 2 年投入 800 ? (1 ? ) 万元, ??, 第 n 年投入 800 ? (1 ? ) 万元,所以总投入 a n ? 800 ? 800 (1 ? ) ? ? ? 800 (1 ? )

1 5

1 5

n ?1

1 5

1 5

n ?1

4 ? 4000[1 ? ( ) n ] , 5

同理:第 1 年收入 400 万元,第 2 年收入 400 (1 ? 元, bn ? 400 ? 400 (1 ? ) ? ? ? 400 (1 ? )

1 4

1 4

n ?1

1 1 ) 万元,??,第 n 年收入 400 (1 ? ) n ?1 万 4 4 5 n ? 1600[( ) ? 1] , 4

(2)∴ bn

5 4 ? an ? 0 , 1600[( ) n ? 1] ? 4000[1 ? ( ) n ] ? 0 ,化简得, 4 5 4 n 5 n 4 n 2 5 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 7 ? 0 ,设 x ? ( ) , 5x 2 ? 7 x ? 2 ? 0 , ∴ x ? , x ? 1 (舍), 5 4 5 5 4 5
n

即( ) ?

2 , n ? 5. 5

4

说明:解数学应用题重点在过好三关:(1)事理关:阅读理解,知道命题所表达的内容; (2)文理关:将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言,用数学关系式表述事件;(3) 数理关:由题意建立相关的数学模型,将实际问题数学化,并解答这一数学模型,得出符合实 际意义的解答. 例 5.设实数 a ? 0 ,数列 ?an ? 是首项为 a ,公比为 ? a 的等比数列,记

bn ? an 1g | an | (n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , a lg | a | 求证:当 a ? ?1 时,对任意自然数 n 都有 S n ? [1 ? (?1) n?1 (1 ? n ? na)a n ] . 2 (1 ? a)
解: an ? a1q n?1 ? a(?a) n?1 ? (?1) n?1 a n .

?bn ? an lg | an |? (?1) n?1 a n lg | (?1) n?1 a n |? (?1) n?1 nan lg | a | ? S n ? a lg | a | ?2a 2 lg | a | ?3a 3 lg | a | ?? ? (?1) n?2 (n ? 1)a n?1 lg | a | ?(?1) n?1 nan lg | a |

? [a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (?1) n?2 (n ? 1)a n?1 ? (?1) n?1 nan ] lg | a | 记 S ? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (?1) n?2 (n ? 1)a n?1 ? (?1) n?1 nan ① 2 3 n?3 n?1 n?2 n n?1 n?1 ② as ? a ? 2a ? ? ? (?1) (n ? 2)a ? (?1) (n ? 1)a ? (?1) na ①+②得 (1 ? a)s ? a ? a 2 ? a 3 ? ? ? (?1) n?2 a n?1 ? (?1) n?2 a n ? (?1) n?1 nan?1 ③

a ? (?1)n?1 an?1 ? (?1)n?1 n ? an?1 1 ? (1 ? a) n ?1 n ?1 a ? (?1) a ? (1 ? a ) ? (?1) n ?1 ? n ? a n ?1 ?S ? (1 ? a ) 2 a ? ?1,?(1 ? a)S ?
a ? (1 ? n ? na) ? (?1) n ?1 a n ?1 a[1 ? (1 ? n ? na)(?1) n ?1 a n ] ? (1 ? a ) 2 (1 ? a ) 2 a lg | a | ? Sn ? [1 ? (?1) n ?1 (1 ? n ? na)a n ] (1 ? a ) 2 ?S ?
说明:本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项,确定 Cn ? an ? bn , {an } 是等差数列, {bn } 等比数列. 例题 6, 设 S n 是等差数列 ?an ? 的前项 n 和,已知 S 3 与

1 3

1 1 1 S 4 的等比中项为 S 5 , S 3 与 5 3 4

1 S 4 的等差中项为 1 ,求等差数列 ?an ? 的通项 an . 4 解法一:设等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? a ,公差为 d ,则其通项为 n(n ? 1) d ,以题意,得 an ? a1 ? (n ? 1)d ,前项 n 和为 S n ? na1 ? 2 1 1 ?1 S3 ? S 4 ? ( S5 ) 2 ? ?3 4 5 ,根据等比数列的定义知 S 5 ? 0 ,由此可得 ? 1 1 ? S ? S ?2 3 4 ? 4 ?3
5

3? 2 1 4?3 1 5?4 2 ?1 ( 3 a ? d ) ? ( 4 a ? d ) ? ( 5 a ? d) ?3 ? 2 4 2 25 2 , ? 1 3 ? 2 1 4 ? 3 ? (3a ? d ) ? ( 4a ? d) ? 2 ? 2 4 2 ?3 ?3ad ? 5d 2 ? 0 ?a ? 4 ?a ? 1 ? ? 整理得: ? 或? ?? 12 5 ? d ? 0 ?d ? ? ?2 a ? d ? 2 5 ? 2 ? 12 32 12 (n ? 1) ? ? n。 由此得 an ? 1 或 a n ? 4 ? 5 5 5 32 12 ? n. 故所求的等差数列的通项为 an ? 1 ,或 a n ? 5 5 n(a1 ? a n ) (对给定的信息利用 S n ? 进行处理,结合等差数列的性质进一步加工,有下 2
面的解法)

3(a1 ? a3 ) 3 ? 2a 2 4(a1 ? a 4 ) ? ? 3a 2 , S 4 ? ? 2(a 2 ? a3 ) , 2 2 2 5(a1 ? a5 ) 5 ? 2a3 S5 ? ? ? 5a3 , 2 2 1 1 1 ?1 ? 2 S3 ? S 4 ? ( S5 ) 2 a 2 ? (a 2 ? a3 ) ? a3 ? ? ?3 ? 4 5 2 依题意,得 ? ?? ?1 S ? 1 S ? 2 ?a ? 1 ( a ? a ) ? 2 3 4 2 2 3 ? ? 4 2 ? ?3 8 ? a2 ? 2 2 ? ?a ? a 2 ? a 3 ? 2 a 3 ? 0 ?a 2 ? 1 ? 5 , ?? 2 ? ? ? ? a ? 1 ? 3 ?a 3 ? 4 ? 3a 2 ?a ? ? 4 3 ? 5 ? 12 即可得 d ? 0 或 d ? ? ,以下同解法一. 5 例 7.设二次方程 an x 2 ? an?1 x ? 1 ? 0(n ? N ) 有两根 ? 和 ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 .
解法二: S 3 ? (1) 试用 an 表示 a n ?1 ; (2)求证:数列 ?a n ? ? 是等比数列;

? ?

2? 3?

7 时,求数列 ?an ? 的通项公式; 6 a 1 解: (1)根据韦达定理,得 ? ? ? ? n ?1 , ? ? ? ? ,由 6? ? 2?? ? 6? ? 3 ,得 an an
(3)当 a1 ?

6

6?

an?1 2 1 1 ? ? 3 ,故 a n ?1 ? a n ? 2 3 an an

2 2 1 1 1 1 3 ?1 (2)证明因为 a n ?1 ? ? a n ? ? (a n ? ) ,所以 1 3 2 3 2 3 2 an ? 3 1 2? ? 故数列 ?a n ? ? 是公比为 的等比数列, 2 3? ? 7 2 7 2 1 2? ? (3)当 a1 ? 时,求数列 ?a n ? ? 的首项 a1 ? ? ? ? ; 6 3 6 3 2 3? ? 2 1 1 1 1 2 a n ? ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n ,于是 a n ? ( ) n ? . 2 3 3 2 2 2 例 8.在直角坐标平面上有一点列 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ?, P n ( xn , y n ) ? ,对一切正整数 n , 13 5 点 Pn 位于函数 y ? 3 x ? 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1 为公差的等差数 4 2 列 ?xn ? . ⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的 a n ?1 ?
顶 点 为 Pn , 且过 点 Dn (0, n 2 ? 1) , 记 与抛 物 线 cn 相 切于 Dn 的 直 线 的斜 率 为 k n , 求:

1 1 1 . ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n ⑶ 设 S ? ?x | x ? 2xn , n ? N , n ? 1? , T ? ?y | y ? 4 yn , n ? 1? , 等 差 数 列 ?an ? 的 任 一 项 an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125,求 ?an ? 的通项公式. 13 5 5 3 ? ?3n ? , 解: (1) x n ? ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? ,? y n ? 3 ? x n ? 4 4 2 2 3 5 ? Pn (?n ? ,?3n ? ) . 2 4 (2)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn ,? 设 cn 的方程为: 2n ? 3 2 12 n ? 5 y ? a( x ? ) ? , 2 4 2 2 把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x ? (2n ? 3) x ? n ? 1 。 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) k n ? y ' | x?0 ? 2n ? 3 ,? k n?1k n (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ??? 7 9 2n ? 1 2n ? 3 k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 7 1 1 1 1 1 )? ? = ( ? . 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6
7

(3) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N , n ? 1} ,

T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N , n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N , n ? 1} ? S T ? T , , T 中最大数 a1 ? ?17 . 设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265 ,?125) ,由此得

248 ? d ? ?12, 又 ? an ? T ? d ? ?12m(m ? N * ), 9 ? d ? ?24,? an ? 7 ? 24n(n ? N * ). ?
说明:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大(1) 、 (2)两问运用几何知识算出 kn ,
解决(3)的关键在于算出 S 例 9.数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ;

T 及求数列 ?an ? 的公差.

n? N*

1 (n ? N * ),Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,是否存在最大的整数 m , n(12 ? a n ) m * 使得对任意 n ? N ,均有 Tn ? 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 32 解: (1)由题意, an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,?{an } 为等差数列,设公差为 d ,
⑶设 bn = 由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n . (2)若 10 ? 2n ? 0则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n 2 , 2 n ? 6 时, S n ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? an ? a1 ? a2 ? ? an ?

? S5 ? (S n ? S5 ) ? 2S5 ? S n ? n 2 ? 9n ? 40

n?6 n 2 ? 9n ? 40 1 1 1 1 1 (3)? bn ? ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? )] ? . ? Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 2(n ? 1) m n m * * ? 若 Tn ? 对任意 n ? N 成立,即 对任意 n ? N 成立, 32 n ? 1 16 n 1 m 1 ? (n ? N * ) 的最小值是 ,? ? , ?m 的最大整数值是 7. n ?1 2 16 2 m * . 即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N ,均有 Tn ? 32
说明:本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题.
8

故 Sn ?

9n ? n 2

n?5

例 10. 如图, 在 y 轴的正半轴上依次有点 A1 , A2 ,?, An ,? 其中点 A1 (0,1), A2 (0,10) ,且

| An?1 An |? 3 | An An?1 | (n ? 2,3,4,?) ,在射线 y ? x( x ? 0)
上依次有点 B1 , B2 ,?, Bn ,? 点 B1 的坐标为(3,3) ,且

| OBn |?| OBn?1 | ?2 2 (n ? 2,3,4,?) ⑴用含 n 的式子表示 | An An ?1 | ; ⑵用含 n 的式子表示 An , Bn 的坐标; ⑶求四边形 An An?1 Bn?1 Bn 面积的最大值. |A A | 1 解: (1)? n n ?1 ? , 且 | A1 A2 |? 10 ? 1 ? 9 , | An?1 An | 3
1 1 1 ?| An An ?1 |?| A1 A2 | ( ) n ?1 ? 9( ) n ?1 ? ( ) n ?3 , 3 3 3
n?4 ? (2)由(1)得 | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? ? ? | An ?1 An |? 9 ? 3 ? 1 ? ? ? ( )

1 3

27 1 1 n ? 4 ? ( ) 2 2 3

29 1 1 n ? 4 ? ( ) ) ,? | OBn | ? | OBn?1 |? 2 2且 | OB1 |? 3 2 , 2 2 3 ?{| OBn |} 是以 3 2 为首项, 2 2 为公差的等差数列

?点An 的坐标 (0,

?| OBn |? 3 2 ? (n ? 1)2 2 ? (2n ? 1) 2 ? Bn的坐标为(2n ? 1,2n ? 1) (3)连接 An Bn ?1 ,设四边形 An An?1 Bn?1 Bn 的面积为 S n ,则
1 1 1 29 27 1 2 S n ? S ?An An ?1Bn ?1 ? S ?Bn Bn ?1 An ? [( ) n?3 ] ? (2n ? 3) ? ? 2 2 ? [ ? ( ) n?1 ] 2 3 2 2 2 3 2 29 9n 3 ? 6n ? ? n ?1 , ? S n ?1 ? S n ? n ?1 ? 0, 即S n?1 ? S n , ?{S n } 单调递减. 2 3 3 29 47 ?9 ? . ? S n 的最大值为 S1 ? 2 2 说明:本例为数列与几何的综合题。由题意知 {| An An?1 |} 为等比,{| OBn |} 为等差, (3)
利用函数单调性求最值。 例 11.设正数数列 ?an ? 为一等比数列,且 a 2 ? 4 , a4 ? 16 . 求 lim

lg a n ?1 ? lg a n ? 2 ? ? ? lg a 2 n n ?? n2

解:设数列 ?an ? 的公比为 q ,显然 q ? 1 , 故 q ? 2 ,于是 a1 ?

a4 ? q 2 ? 4 ,由于 an ? 0 , n ? N , a1

a2 ? 2 ,故 an ? a1 ? q n?1 ? 2 n ,因此 q
9

lg a n?1 ? lg a n? 2 ? ? ? lg a 2 n lg 2 n?1 ? lg 2 n? 2 ? ? ? lg 2 2 n ? n2 n2 2 [( n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2n] 3n ? n ? lg 2 ? lg 2 , 2 n 2n 2 1 3? 3n 2 ? n n ? 3 lg 2 原式 ? lim( lg 2) ? lg 2 ? lim 2 n?? 2 2 2n n??
说明:这是 2000 年全国高考上海试题,涉及对数、数列、极限的综合题,主要考查等比 数列的定义及通项公式,等差数列前 n 项和公式,对数计算,求数列极限等基础知识,以及综 合运用数学知识的能力. 例 12.已知抛物线 x2 ? 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过

1 1 的直线交抛物线于点 P 的直线交抛物线于点 P , 2 ,再过 P 2 作斜率为 3, 2 4 1 如此继续,一般地,过点 P n ( xn , yn ) . n 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 P n ?1 ,设点 P 2 (Ⅰ)令 bn ? x2n?1 ? x2n?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列. 3 1 (Ⅱ)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S n ? 1 与 的大小. 4 3n ? 10 2 2 解: (1)因为 P n ( xn , yn ) 、 P n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) 在抛物线上,故 xn ? 4 yn , ① xn?1 ? 4 yn?1 ②,又因为
点 P1 作斜率为
直线 P nP n?1 的斜率为

1 2n

,即

yn ?1 ? yn 1 ? ,①②代入可得 xn ?1 ? xn 2

1 x2n?1 ? x2n 1 1 ? n ? xn?1 ? xn ? n?2 4 xn?1 ? xn 2 2 ?bn ? x2n?1 ? x2n?1 ? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( x2n ? x2n?1 ) b 1 1 1 1 1 ? 2 n ? 2 ? 2 n ?3 ? ? 2 n ?2 ,故 n ?1 ? ? {bn } 是以 为公比的等比数列; 4 2 2 2 bn 4 4 1 3 1 n (2) S n ? ? (1 ? n ) ? S n ? 1 ? n ,故只要比较 4 与 3n ? 10 的大小. 3 4 4 4 n(n ? 1) 2 n n 1 2 2 3 ? 1 ? 3n ? 9 ? 3n ? 10( n ? 3) , 方法(一) 4 ? (1 ? 3) ? 1 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? ? 1 ? 3n ? 2 3 1 3 1 当 n ? 1 时, S n ? 1 ? ; 当 n ? 2 时 Sn ? 1 ? ; 4 3n ? 10 4 3n ? 10 3 1 * 当 n ? 3, n ? N 时, S n ? 1 ? . 4 3n ? 10 k 方法(二)用数学归纳法证明,其中假设 n ? k (k ? 3, k ? N ) 时有 4 ? 3k ? 10 , k ?1 k 则当 n ? k ? 1 时, 4 ? 4 ? 4 ? 4(3k ? 10) ? [3(k ? 1) ? 10] ? 9k ? 27 ? 3(k ? 1) ? 10 .

10

1 5 , a2 ? ,且 log2 (3a2 ? a1 ) , log2 (3a3 ? a2 ) ,┅ 3 18 log2 (3an?1 ? an ) 是公差为 ? 1 的等差数列,又 2a2 ? a1 , 2a3 ? a2 ,?, 2an?1 ? an , 1 是等比数列,公比为 q , | q |? 1 ,这个等比数列的所有项之和为 3 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)计算 lim (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) .

例 13 、 在数列 ?an ? 中, a1 ?

分析:由于题设中的等差数列和等比数列均由数列 ?an ? 的相关项构成,分别求出它们的 通项公式构造关于 an 的方程组. 解: (1) 设 bn ? log2 (3an?1 ? an ) , 因为 ?bn ? 是等差数列,d ? ?1 , b1 ? log2 (3a2 ? a1 ) ,

n ??

5 1 1 ? ) ? log 2 ? ?1 ,于是 bn ? ?1 ? (n ? 1)(?1) ? ?n , 18 3 3 即 log2 (3an?1 ? an ) ? ?n ,所以 3an?1 ? an ? 2 ? n ① log 2 (3a3 ? a 2 ) ? log 2 (3 ?
设 cn ? 2an?1 ? an , ?cn ? 是等比数列,公比为 q,|q|<1,

a 5 1 2 1 1 ? ? ,由 1 ? 解得 q ? 18 3 9 3 1? q 3 2 1 n ?1 2 1 n 2 1 ? ? ( ) ,即 2a n ?1 ? a n ? ? ( ) n ②, 于是 c n ? ? ( ) 9 3 3 3 3 3 1 n 1 n 由①,②得 a n ? 2[( ) ? ( ) ]( n ? N ) ; 2 3 1 1 1 1 1 1 (2) lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? 2 lim[( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ? ( n ? n )] n ?? n ?? 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 lim[( ? 2 ? ? ? 2 ) ? ? ( ? 2 ? ? ? n )] ? 2 ? (1 ? ) ? 1 n ?? 2 3 3 2 2 2 3
c1 ? 2a 2 ? a1 ? 2 ?

11

七、强化训练
1.设 S n 和 Tn 分别为两个等差数列的前 n 项和,若对任意 n ? N ,都有 一个数列的第 11 项与第二个数列的第 11 项的比是 A.4∶3 B.3∶2 C.7∶4

Sn 7n ? 1 ,则第 ? Tn 4n ? 27
( )

D.78∶71

2.一个首项为正数的等差数列中,前 3 项的和等于前 11 项的和,当这个数列的前 n 项和最大 时, n 等于. ( ) A.5 B.6 C.7 D.8

3.若数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,且 an ?1 ? an 2 (n ? N * ) ,则数列的通项 an ? __________ .

4.设在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66, a2 ? an?1 ? 128 , S n ? 126, 求 n 及 q

5.根据下面各个数列 ?an ? 的首项和递推关系,求其通项公式 ⑴ a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n(n ? N * ) ⑵ a1 ? 1, an?1 ? ⑶ a1 ? 1, an?1

n a n (n ? N * ) n ?1 1 ? a n ? 1 (n ? N * ) 2

6.数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 1 ? ra n (r 为不等于 0,1 的常数),求其通项公式 an

12

7. 某县位于沙漠地带, 人与自然长期进行着顽强的斗争, 到 2001 年底全县的绿化率已达 30%。 从 2002 年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此同时,由 于各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化。 (1)设全县面积为 1,2001 年底绿化面积为,经过 n 年绿化总面积为 an?1 . 求证 a n ?1 ?

(2)至少需要多少年(年取整数,lg 2 ? 0.3010)的努力,才能使全县的绿化率达到 60%?

4 4 ? an . 25 5

8.(2002 年春招试题)已知点的序列 An ( xn ,0) , n ? N ,其中 x1 ? 0 , x2 ? a(a ? 0) , A3 是线钱 A1 A2 的中点, A4 是线段 A2 A3 的中点,?, An 是线段 An?2 An?1 的中点,?。 (I)写出 xn 与 x n ?1 、 xn?2 之间的关系式( n ? 3 ) (II)设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 ,由此推测数列 ?an ? 的通项公式,并加以证明。 9.(94 年全国理)设 ?an ? 是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,并且对所有自然数 n , an 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项. (1)写出数列 ?an ? 的前三项;(2)求数列 ?an ? 的通项公式(写出推证过程); (3)令 bn ?

1 an?1 an ( ? )(n ? N ) ,求: b1? b2 ? ? ? bn ? n . 2 an an?1

13

八、参考答案

1.解:设这两个等差数列分别为 ?an ? 和{bn}.

故选择 A. 说明:注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项 an 与前 2n-1 项和 S2n-1 的内 在联系. 2.解:依题意知.数列单调递减,公差 d<0.因为 S3=S11=S3+a4+a5+?+a10+a11 所以 a4+a5+?+a7+a8+?+a10+a11=0 即 a4+a11=?=a7+a8=0, 故当 n=7 时,a7>0,a8<0.选择 C. 解选择题注意发挥合理推理和估值的作用. 3.解:多次运用迭代,可得 an ? (an?1 )2 ? [(an?2 )2 ]2 ? (an?2 )2 ?
2

? (a1 )2 ? 32

n?1

n?1

4.解:? a2 ? an?1 ? 128 ,? a1an ? 128,又 a1 ? an ? 66 ,由以上二式得

1 a1 ? 2, an ? 64 或 a1 ? 64, an ? 2 ;由此得 n ? 6, g ? 2 或 . 2
说明:本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。 5.解: (1)? an?1 ? an ? 2n ,? an?1 ? an ? 2n ,

? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? 1)

? 1 ? n ? (n ? 1) ? n 2 ? n ? 1 a a a a n 1 2 n ?1 1 ? ? an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n = 1 ? ? ? ? ? (2)? n ?1 ? 2 3 n n an n ?1 a1 a2 an?1 又解:由题意, (n ? 1)an?1 ? nan 对一切自然数 n 成立,? nan ? (n ? 1)an?1 ? ? ? 1 ? a1 ? 1 1 ? an ? . n 1 1 (3)? a n ?1 ? a n ? 1? a n ?1 ? 2 ? (a n ? 2) ?{a n ? 2} 是首项为 a1 ? 2 ? ?1 2 2 1 1 n ?1 1 n ?1 公比为 的等比数列,?a n ?2 ? ?1 ? ( ) ,? a n ? 2 ? ( ) . 2 2 2
说明:本例复习求通项公式的几种方法:迭加法、迭乘法、构造法。 6 . 解 : 由 S n ? 1 ? ra n 可 得 当 n ? 2 时 S n?1 ? 1 ? ran?1 , ? S n ? S n?1 ? r (an ? an?1 ) ,

14

? an ? ra n ? ra n?1 ,? an (r ? 1) ? ran?1 , ? r ? 1,

an r ,? r ? 0 ,?{an } 是公 ? a n?1 r ? 1 r 1 1 r n ?1 ( ) 。 比为 的等比数列. 又当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ra1 ,? a1 ? ,? a n ? r ?1 1? r 1? r r ?1 说明:本例复习由有关 S n 与 an 递推式求 an ,关键是利用 S n 与 an 的关系进行转化。 7. (1)证明:由已知可得 an 确定后, a n ?1 表示如下: a n ?1 = an ? (1 ? 4%) ? (1 ? an ) ? 16% 4 4 即 a n ?1 =80% an +16%= an + 5 25 4 4 4 4 4 4 2 4 4 n 4 (2 ) 解: 由 a n ?1 = an + 可得: = ( ) ( an?1 ? ) =?= ( ) (a1 ? ) an?1 ? = ( an ? ) 5 25 5 5 5 5 5 5 5 1 4 n 4 3 1 4 n 4 3 1 4 n ?1 故有 a n ?1 = ? ( ) ? ,若 a n ?1 ? . 则有 ? ( ) ? ? . 即 ? ( ) 2 5 5 2 5 5 5 2 5 5 两边同时取对数可得 ? lg 2 ? (n ? 1)(2 lg 2 ? lg 5) ? (n ? 1)(3 lg 2 ? 1) lg 2 ? 1 ? 4 ,故使得上式成立的最小 n ? N * 为 5, 故n? 1 ? 3 lg 2
?
故最少需要经过 5 年的努力,才能使全县的绿化率达到 60%.

8.(I)解:当 n≥3 时, (II)解:

.

由此推测。

证法一:

因为

,且

(n ≥2 )

所以



15

证法二:(用数学归纳法证明:)

(i)当时,

,公式成立,

(ii)假设当

时,公式成立,即

成立。

那么当

时,

=

式仍成立。

根据(i)与(ii)可知,对任意

,公式

成立

评注:本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识,考查运算能力和逻辑思维能力。

9.解:(1)由题意

=

an>0

令 n=1 时,

=

S1=a1

解得 a1=2

令 n=2 时有

=

=a1+a2

解得 a2=6

令 n=3 时有

=

S3=a1+a2+a3

解得 a3=10

故该数列的前三项为 2、6、10. (2)解法一:由(1)猜想数列{an}有通项公式 an=4n-2,下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公 式是 an=4n-2 (n∈N)

1°当 n=1 时,因为 4×1-2=2,又在(1)中已求得 a1=2,所以上述结论正确. 2°假设 n=k 时,结论正确,即有 ak=4k-2
16

由题意有

得 ak=4k-2,代入上式得 2k=

,

解得 Sk=2k

2

由题意有
2

=
2

Sk+1=Sk+ak+1

得 Sk=2k 代入得

2

=2(ak+1+2k )

2

整理 a k+1-4ak+1+4-16k =0 所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2

由于 ak+1>0,解得:ak+1=2+4k

这就是说 n=k+1 时,上述结论成立. 根据 1°,2°上述结论对所有自然数 n 成立.

解法二:由题意有,

=

(n∈N)

整理得 Sn= (an+2)

2

由此得 Sn+1= (an+1+2)

2

所以 an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2) -(an+2) ] 由题意知 an+1+an≠0,所以 an+1-an=4

2

2

整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0

即数列{an}为等差数列,其中 a1=2,公差 d=4, 所以 an=a1+(n-1)d=2+4(n-1), 即通项公式 an=4n-2. (3)令 cn

? bn ? 1,

则 cn=

=

=

b1+b2+?+bn-n=c1+c2+?+cn

= 说明:该题的解题思路是从所给条件出发,通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律, 然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数 n 的命题,可以考虑用数学归纳法进行证明, 该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.

17


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