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逆用无穷递缩等比数列各项和求解几道竞赛试题


?50‘

中学数学研究

————————————————————————————————————————————————————————————————一

2014年第9期

逆用无穷递缩等比数列各项和求解几道竞赛试题
湖北省大冶市第一中学(435100)
+∞

黄俊峰袁方程

逆用无穷递缩等比数列各项和∑口。矿=
B=1

f专(I
说明.



I<1)可以证明竞赛试题.下面举三例以

专,+吉c专+古+专,+..?+吾c专+六+专, (丢+}+÷)3


例1

(1963年莫斯科数学竞赛试题)若口,6,c


∈(o,1),且口+6+c=1,则惫+士+
≥寻
6+c c+口

口+6

…+古掣+…:÷.}+吉.;
l。

”.≥÷生掣专 ——了广+
3“




。户

32

吼煮+士+南=击+禹
口+6 l一口 l一6



+..?+古?等”…熹妻印圭=争=
+ j

1一c

。∑州





。∑Ⅲ





+耋c。=3量盟掣
^=l ^=l
-,

.族:寻,当且仅当口 争(丢+古+÷)≥丢?3 √口6c一2’j且队罩Ⅱ
=6=c时,等号成立?故≯石≮百+矿石≮酉+

右两≥吾成立. 手故焘+士+南≥寻成立.
例2(第36届Z们试题)设口,6,c为正实数,
例3

(2003年全国高中数学联赛试题)已知

训E(-2,2),且夥一1,求函数炉南+
厂≥的最小值.
解:因为茹,,,E(一2,2),所以(号)2<1,(詈)2
<1.由于茗1,=一1.干晏有
u 2

且满足口6c=l,证明:≯矗≮百+矿瓦≮五+ 采而≥寻
证明:令t=丢+丢+÷,则丢+去+丢=?, 因为口,6,c>o,所以o<丢,丢,丢<1.又n6c=l,
口 D C £口 tD





ii+五i







畸南2蒜%=藉焉=矗=



2荟(詈)丝+荟(手)毖2荟[(詈)丛+(手)站3
≥2∑l
I=O

。 ’ — — ’—‘。 ‘。’一





1_(号)2 1一(予)2

壬=丢’毒=丢主c扣同理志




(抄挣2。毒2


t一上



1一上

口角、缸7“”563(c+口)

孥,当且仅当号=手时,函数H取得最小值孥,此时
由fI号I=l手I,解得 "专或 06
‘夥=一l,

=丢黑(去)‘,7瓦≮酉=÷毫(丢)‘,故 7万了百+矿i了万+丁瓦而2了(≯+矿+
1 1 1 1,1 1

茗2一手,




,,2一i

,,2芎

万方数据


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