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吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(四)数学文科 全国通用


长春市普通高中 2016 届高三质量监测(四) 数学文科 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

2, ?1, 5}, 1. 已知集合 A ? {?4 , , B ? {x | y ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数 z 满足 z ? A. 2 B.

x ? 2} ,则 A

? B 中元素的个数为

5

5 ,则 | z |? 2?i C. 3 D. 5
a ?b

3. 设 a, b ? R ,则“ log 2 a ? log 2 b ”是“ 2

? 1 ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知直线 m ,n 与平面 α ,β ,下列命题中错误 的是 .. A.若 m ? ? ,n ? ? ,则 m / / n C.若 m ? ? ,n ? ? ,? ? ? ,则 m ? n A. s ≤ B. 若 m ? ? , n / / ? ,则 m ? n D. 若 m / / n ,n ? ? ,则 m / /? D. s ≤

5. 执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8 ,则判断框内可填入的条件是

3 4

B. s ≤

5 6

C. s ≤

11 12

25 24

6. 祖暅原理: “幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积, “势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体, 如在等高处截面的面积恒相等,体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同” ,则该不 规则几何体的体积为 A. 4 ?

?
2

B. 8 ?

4? 3

C. 8 ? ?

D. 8 ? 2?

? ? 0, 0 ?? ? 7. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( A ? 0 ,
A.

?
2

) 的部分图象如图所示,则 f (

2? )? 9

3

B. 1

C.

2

D. 2

8. 已知等比数列 an 单调递减,满足 a1a5 ? 9 ,a2 ? a4 ? 10 ,则数列 an 的公比 q ? A. ?

? ?
B.

? ?

1 3

1 3

C.

2 3

D. 3

第 1 页 共 8 页 2016 四模文科

9.函数 y ? x ? ln x 2 的大致图像为

10. 如图, 从高为 h 的气球 ( A) 上测量待建规划铁桥 ( BC ) 的长, 如果测得桥头 ( B ) 的俯角是 ? , 桥头 (C ) 的 俯角是 ? ,则桥 BC 的长为

A.

h

sin(? ? ? ) sin ? sin ? sin(? ? ? ) cos ? cos ?

B.

h

cos(? ? ? ) sin ? sin ?

C.

h

D. h

cos(? ? ? ) cos ? cos ?

11. 棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E 为棱 AB 上一点 (不含 A,B 两点) , 点 E 到平面 ACD 和平面 BCD 的 距离分别为 a , b ,则 A.

1 1 ? 的最小值为 a b
B. 2 3 C.

2

7 6 3

D. 2 6

12. M 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) 右支上一点, A 、 F 分别为双曲线的左顶点和右焦点,且 a 2 b2 ?MAF 为等边三角形,则双曲线 C 的离心率为 A.4 B. 5 ? 1 C. 2 D. 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题—24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上).

? b ? a) ? ?2 ,则 a 与 b 的夹角为_______ 13.已知 | a |=| b | ? 2 , a(
14. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 ? 0 , S15 ? 25 ,则使 Sn 取最小值的 n 等于 .

15. 已知圆 C 的圆心在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,且经过原点和点 (?1, ?5) ,则圆 C 的方程为 ___________. 16. 下列说法中正确的有:___________.(将你认为正确的命题序号全部填在横线上) ①电影院调查观众的某一指标,通知“每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈”是系统 抽样; ②推理过程“因为指数函数 y ? a 是增函数,而 y ? 2 是指数函数,所以 y ? 2 是增函数”中,小前 提是错误的; ③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体与其内切球切于各面中心;
x x x

④在判断两个变量 y 与 x 是否相关时,选择了 3 个不同的模型,它们的相关指数 R 分别为:模型1 为

2

0.98 ,模型 2 为 0.80 ,模型 3 为 0.50 .其中拟合效果最好的是模型1 ;
第 2 页 共 8 页 2016 四模文科

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos( x ?

?
6

) ? sin x .

(1)利用“五点法”列表,并画出 f ( x ) 在 [?

? 5?

, ] 上的图象; 3 3

(2) a,b,c 分别是锐角 ?ABC 中角 A,B,C 的对边.若 a ? 3 , f ( A) ?

3 ,求 ?ABC 面积的取值范围. 2

18. (本小题满分 12 分) 某便携式灯具厂的检验室, 要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。 检查人员从中随机抽取 5 件, 通过对其加以不同的电压(单位:伏特)测得相应电流(单位:安培) ,数据见下表:

产品编号 ① ② ③ ④ ⑤ 电压(x ) 10 15 20 25 30 电流(y ) 0.6 0.8 1.4 1.2 1.5
(1)试估计如对该批次某件产品加以 110 伏电压,产生的电流是多少? (2)依据其行业标准,该类产品电阻在[18,22]内为合格品,电阻的计算方法是电压除以电流.现从上述5 件产品中随机抽2件,求这两件产品中至少有一件是合格品的概率.

? ? bx ? a , b ? (附:回归方程: y

? ( x y ) ? nx y
i ?1 i i

n

? xi 2 ? nx
i ?1

n

2

,a ? y ? bx

参考数据: ) x = 20 , y ? 1.1 ,

? xi yi = 121 , ? xi2 ? 2250
i=1 i=1

5

5

19. (本小题满分 12 分)

?DAC = 30? , 在四棱锥 P ? ABCD 中,AD ? BC ,DC ? AD ,PA ? 平面 ABCD ,2 AD= BC = 2 3 ,
M 为 PB 中点.
(1)证明: AM ? 平面 PCD ;

(2)若三棱锥 M ? PCD 的体积为

3 ,求 M 到平面 PCD 的距离. 6

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a ? b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 的直线 l 交 a 2 b2

椭圆于 A ,B 两点, | AB | 的最小值为 3,且△ ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 不垂直于 x 轴时,点 A 关于 x 轴的对称点为 A? ,证明直线 A? B 恒过定点,并求此定点坐标.
第 3 页 共 8 页 2016 四模文科

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x+a lnx (a ? R) . (1)若曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处与直线 y = 3x ? 2 相切,求 a 的值; (2)若 f ( x) ≥ a 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图, AB 是圆 O 的直径,弦 BD 、 CA 的延长线相交于点 M , MN 垂直 BA 的延长线于点 N .

(1)求证: DA 是 ?CDN 的角平分线; (2) 求证: BM ? AB ? AM ? 2 AB ? AN .
2 2 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 在极坐标系中,点 P 的坐标是 (1, 0) ,曲线 C 的方程为 ? ? 2 2 cos(? ? 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为 ?1 的直线 l 经过点 P . (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 和曲线 C 相交于两点 A ,B ,求 | PA | ? | PB | 的值.
2 2

?
4

) .以极点为坐标原点,极轴

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ,不等式 f ( x) ≥ t 对 ?x ? R 恒成立. (1)求 t 的取值范围; (2) 记 t 的最大值为 T ,若正实数 a ,b 满足 a ? b ? T ,求证:
2 2

2 1 1 ? a b



6 . 2

第 4 页 共 8 页 2016 四模文科

长春市普通高中 2016 届高三质量监测(四)数学(文)参考答案
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B 9. C 10. A 11. D 12. A 1. 【试题解析】C 由题意可知 B ? {x | x ? ?2} ,所以 A ? B ? {?1, 2,5} . 故选 C. 2. 3. 4. 5.

5 ? 2 ? i ,则 | z |? 5 . 故选 B. 2?i a ?b ? 1 ”等价于“ a ? b ” 【试题解析】A “ log2 a ? log2 b ”等价于“ a ? b ? 0 ” , “2 ,故选 A. m ∥ ? m ∥ n , n ? ? 【试题解析】D D 选项,若 ,则 或 m ? ? ,所以 D 错误. 故选 D. 1 1 1 11 【试题解析】C 由程序框图可知,要输出 k ? 8 ,需 s ? ? ? ? 时条件成立,当 2 4 6 12 1 1 1 1 25 11 s? ? ? ? ? 时条件不成立,从而 s ? . 故选 C. 12 2 4 6 8 24
【试题解析】B 复数 z ? 【试题解析】C 由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等,图示几何体 是一个正方体去掉一个半圆柱,从而其体积为 8 ? ? . 故选 C. 【试题解析】B 由题意可知 ? ? 3, ? ? 选 B.

6. 7.

?

2? ?? ? , A ? 2 ,进而 f ? x ? ? 2sin ? 3x ? ? ,从而 f ( ) ? 1 . 故 6 9 6? ?

8.

【试题解析】 B 由 a1a5 ? a2 a4 ? 9 且 ?an ? 单调递减, 可知 a2 ? 9 , 可求得 q ? a4 ? 1 , ,a2 ? a4 ? 10 , (q ? ?

1 3

1 舍掉). 故选 B. 3

9.

【试题解析】C

由题意,定义域为 {x | x ? 0} ,排除 A;当 x ? ?? 时, y ? ?? ,排除 B;当 x ? 0 设气球在地面上的射影点为 D ,在 ?ABD 中, AB ?

时, y ? x ? 2 ln x ,单调递增,排除 D. 故选 C. 10. 【试题解析】A

BC ?

AB sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? h ? . 故选 A. sin ? sin ? sin ?

h ,在 ?ABC 中, sin ?

11. 【试题解析】D 连结 CE, DE ,由正四面体棱长为 1,有 OA ? 有

6 ,由于 VA?BCD ? VE ?BCD ? VE ? ACD , 3

1 1 6 1 1 4 6 ? ? 2 6 . 故选 D. ? ? 6 ,所以 ? ? ? a ? b ,由 a ? b ? 2 ab 可得 2 ab (a ? b) 3 a b 3 ab 12. 【试题解析】A 由题意可知,设双曲线左焦点为 F ? ,由 ?MAF 为等边三角形,所以

| MF |?| AF |? a ? c ,从而 | MF ? |? 3a ? c ,在 ?MFF ? 中,由余弦定理得, (3a ? c)2 ? (a ? c)2 ? 4c2 ? 2c ? (a ? c) ,解得 e ? 4 或 e ? ?1 (舍). 故选 A.
? 3
14.

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

5

15. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 13
2 2

16. ①③④

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b 1 ? ? 13. 【试题解析】由 a ? (b ? a) ? 2, 得 a ? b ? 3 ,所以 cos ? a ? b ?? ? ? ? , a 与 b 的夹角为 . 3 | a || b | 2 5 14. 【试题解析】 由题意可知 a5 ? a6 ? 0, a8 ? ,故数列 ?an ?是递增数列,所以 a5 ? 0, a6 ? 0 ,所以使 Sn 3

取最小值的 n ? 5 . 15. 【试题解析】 由题意可知,该圆心在原点和点 (?1, ?5) 的中垂线 2 x ? 10 y ? 26 ? 0 上,又在直线

2 x ? y ? 1 ? 0 上,因此圆心为 (2, ?3) ,半径为 13 ,因此圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 .
第 5 页 共 8 页 2016 四模文科

16. 【试题解析】由题意可知,①是系统抽样,正确;②推理过程是大前提错误,而不是小前提,错误;③ 满足合情推理,因此③正确;④根据相关指数的定义可知,相关指数越接近于 1,模型的拟合效果越好, 因此④正确. 故答案为①③④. 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【试题解析】解:(1) 将函数 f ( x) ? cos( x ?

?

) ? sin x 化简成为 f ( x) ? sin( x ? ) ,根据列表 6 3

?

x?

?
3

0

x
y
可知函数图像如图所示

?

?
3

? 2 ? 6
1

?
2? 3
0

3? 2 7? 6
?1

2?

5? 3
0

0

(6 分) (2) 在 ?ABC 中, a ?

3 , f ( A) ?

? a b c 3 ? ? ? 2 ,即 ,可知 A ? ,由正弦定理可知 3 sin A sin B sin C 2

1 3 2? b ? 2sin B , c ? 2sin C , S ? bc sin A ? bc ? 3 sin B sin C ? 3 sin B sin( ? B) , 2 4 3
则S ?

2? 3 3 3 3 ? 3 ,其中 0 ? B ? , sin 2B ? cos 2 B ? ? sin(2 B ? ) ? 3 4 4 4 2 6 4

因此 S 的取值范围是 (0, 18.

3 3 ]. 4

(12 分)

(本小题满分12分) ? ? 0.044 x ? 0.22 ,故当电压加为 110 【试题解析】(1)由题意可得 b ? 0.044, a ? 0.22 ,所以回归直线 y 伏时,估计电流为 5.06 安培 (6 分) (2)经计算,产品编号为①③的是不合格品,其余为合格品,从中随机抽 2 件共有如下 10 种情况:①②, ①③,①④,①⑤,②③,②④,②⑤,③④,③⑤,④⑤,其中至少有一件是合格品有 9 种情况,故 所求事件的概率为

9 . 10

(12 分)

19.

(本小题满分 12 分) 【试题解析】解:取 PC 的中点为 N ,连结 MN , DN (1) ? M 是 PB 的中点,
P

1 BC 2 ? AD / / BC ,且 BC ? 2 AD , ? NM / / AD且NM ? AD , ? MN / / BC , MN ?
第 6 页 共 8 页 2016 四模文科

M A B

N D

C

? 四边形 AMND 为平行四边形, ? AM / / ND ,又 ? AM ? 平面 PCD , ND ? 平面 PCD 所以 AM / / 平面 PCD
(2)? M 是 PB 的中点,?V三棱锥M ? PCD ?

(6 分)

? V三棱锥B ? PCD ? V三棱锥P ? BCD
所以 PA ? 1

1 3 V三棱锥B? PCD ? 2 6 1 1 1 3 3 ? ? S?BCD ? PA ? ? ? 2 3 ?1? PA ? PA ? 3 3 2 3 3

? CD ? AD, CD ? PA ,? CD ? 平面 PAD ,? CD ? PD
又? PA ? 1, AD ? 3,? PD ? 2,? S?PCD ? 1 设点 M 到平面 PCD 的距离为 h ,

1 1 3 3 , ? S?PCD ? h ? ?1? h ? ,? h ? 3 3 6 2 3 故 M 到平面 PCD 的距离为 2
则 V三棱锥M ? PCD ? 20. (本小题满分 12 分)

(12 分)

AB ? x 轴时, | AB | 最小,且最小值为 【试题解析】解:(1) 因为 AB 是过焦点 F 1 的弦,所以当

2b 2 , a

2b 2 ? 3 ,再由椭圆定义知, ?ABF2 的周长为 4a ,所以 a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆的方程为 由题意可知 a x2 y 2 ? ?1 (4 分) 4 3 (2)设 AB 方程为 y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A?( x1 , ? y1 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 则 ? x2 y 2 ,化简得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3 ?8k 2 4k 2 ? 12 所以 x1 ? x2 ? ①, x1 x2 ? ② 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 y ? y1 y ?y 则 k A?B ? 2 ,? A?B 的方程为 y ? y1 ? 2 1 ( x ? x1 ) x2 ? x1 x2 ? x1 k ( x1 ? x2 ) ? 2k 2kx1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) 化简有 y ? ,将①②代入可得 x? x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? 6k 24k ? 6k x? ? ? x ? 4? , ? 2 2 ? 2 x2 ? x1 ? 3 ? 4k 3 ? 4k ? (3 ? 4k )( x2 ? x1 ) 所以直线 A?B 恒过定点 (?4, 0) y?
21. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解:(1) f ?( x) ? 1 ? (2) f ?( x) ? 1 ? 当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时,

(12 分) (4 分)

a x?a ? ,x ?0 x x f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,且值域为 R ; f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减, (?a, ??) 上单调递增 f ( x) ? a 不可能恒成立;

a ,? f ?(1)=3,? a ? 2 x

第 7 页 共 8 页 2016 四模文科

当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? 0 ,成立; 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? ?a 处取得最小值 f (?a) ,则只需 f (?a) ? a 即 ?a ? a ln(?a) ? a ,所以 ln(?a) ? 2 ,解得 a ? ?e ,所以 ?e ? a ? 0
2 2
2 综上所述: a ? ? (12 分) ? ?e , 0 ? ? 22. (本小题满分 10 分) 【试题解析】解(1)? AB 是圆 O 的直径,? AD ? BD ,即 ?ADM ? 90 ? 又 MN 垂直 BA 的延长线于点 N,即 ?ANM ? 90? ∴M、N、A、D 四点共圆,∴ ?MDN ? ?NAM

,? ?B D C ? ?M D N ? ?BAC ? ?NAM , ?BAC ? ?B D C
由于 ?ADM ? ?ADB ? 90? ,所以 ?ADC ? ?ADN 所以 DA 是 ?CDN 的角分线 (2)? M、N、A、D 四点共圆, ∴ AB ? NB ? BM ? BD ① ? B、C、A、D 四点共圆,∴ MD ? MB ? MA ? MC ② ① +②有 (5 分)

MD ? MB ? MB ? BD ? MA ? MC ? AB ? BN BM 2 ? MA ? ( MA ? AC) ? AB ? ( AB ? AN ) BM 2 ? MA2 ? AB2 ? MA ? AC ? AB ? AN

? B、C、M、N 四点共圆,所以 MA ? AC ? AB ? AN 2 2 2 所以 BM ? AB ? AM ? 2 AB ? AN
23. (本小题满分 10 分) 【试题解析】解(1)由曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 2 cos(? ? 曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y
2 2

(10 分)

?
4

) 可得, ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ,因此

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 P l 135 ? l 点 的直角坐标为 (1, 0) ,直线 的倾斜角为 ,所以直线 的参数方程为 ? (t 为参数 ) . ? y ? 2 t, ? ? 2
(5 分)

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 (t 为参数 ) 代入 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,有 t 2 ? 2t ?1 ? 0 , (2) 将 ? ? y ? 2 t, ? ? 2 设 A , B 对应参数分别为 t1 , t2 ,有 t1 ? t2 ? 2, t1t2 ? ?1 ,根据直线参数方程 t 的几何意义有,
2 | PA |2 ? | PB |2 = t12 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 2t1t2 ? 4 .

(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【试题解析】(1) f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 ? x |≥| x ? 1 ? 2 ? x |? 3 ,所以 t ? 3 . (5 分) (2)由(1)知 T ? 3, 所以 a2 ? b2 ? 3(a ? 0, b ? 0) 因为 a ? b ? 2ab ,所以 ab ?
2 2

3 2 6 1 1 2 ? ab ? ,又因为 ? ? ,所以 1 1 2 2 a b ab ? a b

(当且仅当

a ? b 时取“ ? ” ).

(10 分)

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