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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第6讲 幂函数与二次函数习题


2017 高考数学一轮复习 第二章 函数、 导数及其应用 第 6 讲 幂函数 与二次函数习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.已知幂函数 f(x)=(n +2n-2)·x
2

n2-3n

(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞) ) B.1 D.1 或 2

上是减函数,则 n 的值为

导学号 25400349 ( A.-3 C.2 [答案] B

[解析] 由于 f(x)为幂函数,所以 n +2n-2=1,解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n =1 适合题意,故选 B. 2 . 下 列 函 数 中 , 既 是 偶 函 数 , 又 是 在 区 间 (0 , + ∞) 上 单 调 递 减 的 函 数 为 导学号 25400350 ( A.y=x C.y=x
-2

2

) B.y=x
-1

2

1 D.y=x3

[答案] A [解析] (排除法)若函数为偶函数,则 f(-x)=f(x),故排除选项 B,D.选项 C 中 y=

x2 为偶函数,但在 x∈(0,+∞)上单调递增,不满足题意.故选 A.
3.如果函数 f(x)=x -ax-3 在区间(-∞,4]上单调递减,则实数 a 满足的条件是 导学号 25400351 ( A.a≥8 C.a≥4 [答案] A [解析] 函数图象的对称轴为 x= ,由题意得 ≥4,解得 a≥8. 2 2 1 4.已知 f(x)=x2 ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是 导学号 25400352 ( 1 1 A.f(a)<f(b)<f( )<f( ) ) ) B.a≤8 D.a≥-4
2

a

a

a

b

1 1 B.f( )<f( )<f(b)<f(a)

a

b

1

1 1 C.f(a)<f(b)<f( )<f( )

b b

a

1 1 D.f( )<f(a)<f( )<f(b)

a

[答案] C 1 [解析] 因为函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数, 1 1 又 0<a<b< < ,故选 C.

b a

5 . 若 函 数 f(x) = x - ax - a 在 区 间 [0,2] 上 的 最 大 值 为 1 , 则 实 数 a 等 于 导学号 25400353 ( A.-1 C.2 [答案] B [解析] ∵函数 f(x)=x -ax-a 的图象为开口向上的抛物线,∴函数的最大值在区间 的端点取得. ∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,
?-a≥4-3a, ? ∴? ?-a=1, ? ?-a≤4-3a, ? 或? ?4-3a=1, ?
2

2

) B.1 D.-2

解得 a=1.

1 1 2 6.若(2m+1)2 >(m +m-1)2 ,则实数 m 的取值范围是 导学号 25400354 ( - 5-1 A.(-∞, ] 2 C.(-1,2) [答案] D 1 [解析] 因为函数 y=x2 的定义域为[0,+∞), 且在定义域内为增函数, 2m+1≥0, ? ? 2 所以不等式等价于?m +m-1≥0, ? ?2m+1>m2+m-1. 1 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 - 5-1 5-1 2 解 m +m-1≥0,得 m≤ 或 m≥ . 2 2 B.[ D.[ 5-1 ,+∞) 2 5-1 ,2) 2

)

2

解 2m+1>m +m-1,得-1<m<2, 综上所述, 二、填空题 7 .幂函数 y = (m - m + 1)x ________. 导学号 25400355 [答案] 0 或 1 [解析] 由幂函数在(0,+∞)上单调递减可得 m -2m-3<0,解得-1<m<3.又 m -m +1=1,解得 m=1 或 m=0.故 m 的值为 0 或 1. 8.对于任意实数 x,函数 f(x)=(5-a)x -6x+a+5 恒为正值,则 a 的取值范围是 ________. 导学号 25400356 [答案] -4<a<4
? ?5-a>0, [解析] 由题意可得? ?36-4?5-a??a+5?<0, ?
2 2 2 2 2

2

5-1 ≤m<2. 2

m2 - 2m - 3

在区间 (0 ,+∞)上单调递减,则实数 m 的值为

解得-4<a<4.

9.已知函数 f(x)=x -2x+3 在[0,a](a>0)上的最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是________. 导学号 25400357 [答案] [1,2] [解析] 由 f(x)=3,解得 x=0 或 x=2;由 f(x)=2,解得 x=1.由函数图象可得,a 的取值范围为[1,2]. 10.若函数 f(x)=ax +20x+14(a>0)对任意实数 t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在 两实数 x1、 x2, 使得|f(x1)-f(x2)|≥8 成立, 则实数 a 的最小值为________. 导学号 25400358 [答案] 8 [解析] 由题意可得,当 x∈[t-1,t+1]时,[f(x)max-f(x)min]min≥8,又在二次函数
2

的图象上,区间[t-1,t+1]离对称轴越远,f(x)max-f(x)min 越大,所以当[t-1,t+1]关 于对称轴对称时,f(x)max-f(x)min 取得最小值,即 f(t+1)-f(t)=2at+a+20≥8,f(t-1) -f(t)=-2at+a-20≥8,两式相加,得 a≥8,所以实数 a 的最小值为 8. 三、解答题 11.已知幂函数 f(x)=x
(m2+m)-1

(m∈N ). 导学号 25400359

*

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数 f(x)的图象经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a -1)的实数 a 的取值范围.

3

3 [答案] (1)[0,+∞),增函数 (2)[1, ) 2 [解析] (1)∵m +m=m(m+1)(m∈N ),而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,∴m +m 为偶 数, ∴函数 f(x)=x 数. (2)∵函数 f(x)的图象经过点(2, 2), ∴ 2=2 x
2 (m2+m)-1 (m2+m)-1 2 * 2

(m∈N )的定义域为[0,+∞),并且该函数在[0,+∞)上为增函

*

1 2 -1 ,即 22 =2(m +m) ,

∴m +m=2,解得 m=1 或 m=-2. 1 * 又∵m∈N ,∴m=1,f(x)=x2 . 又∵f(2-a)>f(a-1), 2-a≥0, ? ? ∴?a-1≥0, ? ?2-a>a-1, 3 解得 1≤a< , 2

故函数 f(x)的图象经过点(2, 2)时,m=1. 3 满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围为[1, ). 2 12.已知函数 f(x)=ax -2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小 值 2. 导学号 25400360 (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. [答案] (1)a=1,b=0 或 a=-1,b=3 (2)(-∞,2]∪[6,+∞) [解析] (1)f(x)=a(x-1) +2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数, 故?
?f?3?=5, ? ?f?2?=2 ? ?9a-6a+2+b=5, ? ?? ?4a-4a+2+b=2 ?
2 2

??

?a=1, ? ?b=0. ?

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数, 故?
? ?f?3?=2, ?f?2?=5 ? ? ?9a-6a+2+b=2, ?? ?4a-4a+2+b=5 ?
2

??

? ?a=-1, ?b=3. ?

(2)∵b<1,∴a=1,b=0, 即 f(x)=x -2x+2.

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,

4

2+m m+2 ∵g(x)在[2,4]上单调,∴ ≤2 或 ≥4. 2 2 ∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞). B 组 能力提升 1.已知函数 f(x)=ax +2ax+b(1<a<3),且 x1<x2,x1+x2=1-a,则下列说法正确 的是 导学号 25400361 ( A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) [答案] A [解析] 函数图象的对称轴为 x=-1,而(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=3-a>0,因为 ) B.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小关系不能确定
2

x1<x2,故 x2 到对称轴的距离大,所以 f(x2)较大,故选 A.
2 .已知函数 f(x) = x - 2(a + 2)x + a , g(x) =- x + 2(a - 2)x - a + 8. 设 H1(x) = max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q} 表 示 p , q 中 的 较 小 值 ) . 记 H1(x) 的 最 小 值 为 A , H2(x) 的 最 大 值 为 B , 则 A - B = 导学号 25400362 ( A.a -2a-16 C.-16 [答案] C [分析] 本题采用数形结合的方法,在同一坐标系中画出函数的图象,由图象求解. [解析] 令 f(x)=g(x),即 x -2(a+2)x+a =-x +2(a-2)x-a +8,即 x -2ax+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.a +2a-16 D.16
2

a2-4=0,解得 x=a+2 或 x=a-2.f(x)与 g(x)的图象如图.

由图象及 H1(x)的定义知 H1(x)的最小值是 f(a+2),H2(x)的最大值为 g(a-2),∴A-B =f(a+2)-g(a-2)=(a+2) -2(a+2) +a +(a-2) -2(a-2) +a -8=-16. 3.(2015·湖南株洲教学质量统一检测一)如图所示,在第一象限内,矩形 ABCD 的三个 顶点 A,B,C 分别在函数 y=log 1 2 3 x,y=x2 ,y=( )x 的图象上,且矩形的边分别平行两 2 2
2 2 2 2 2 2

坐标轴.若点 A 的纵坐标是 2,则点 D 的坐标是________. 导学号 25400363

5

1 9 [答案] ( , ) 2 16 [解析] 由 2=log
2 2

x 得点 A( , 2), 由 2=x2 得点 B(4,2). 因为(

1 2

1

3 4 9 )= , 即点 C(4, 2 16

9 1 9 ),所以点 D 的坐标为( , ). 16 2 16 4.(2015·湖南衡阳上学期五校联考)已知二次函数 f(x)=ax +bx+1(a>0),若 f(- 1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,设 g(x)=f(x)-kx. 导学号 25400364 (1)当 x∈[-2,2]时,g(x)为单调函数,求实数 k 的范围; (2)当 x∈[1,2]时,g(x)<0 恒成立,求实数 k 的范围. 9 [答案] (1)k≥6 或 k≤-2 (2)k> 2 [解析] (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,b=a+1.又∵f(x)=ax +bx+1≥0(a>0), 对任意实数 x 成立,则 Δ =b -4ac≤0,即(a+1) -4a≤0,∴(a-1) ≤0,解得 a=1,∴b =2,∴f(x)=x +2x+1.g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1. 由题意 g(x)在[-2,2]上是单调函数,则只需 2. (2)g(x)=x +(2-k)x+1<0 对 x∈[1,2]恒成立,则?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

k-2
2

≥2 或

k-2
2

≤-2.解得 k≥6 或 k≤-

?g?1?<0, ? ?g?2?<0. ?

9 解得 k> . 2

5.(2015·湖南三校联考)已知幂函数 f(x)=x-m +2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间 (0,+∞)上是单调增函数. 导学号 25400365 (1)求函数 f(x)的解析式; 1 9 2 3 (2)设函数 g(x)= f(x)+ax + x -b(x∈R),其中 a,b∈R.若函数 g(x)仅在 x=0 处有 4 2 极值,求 a 的取值范围. [答案] (1)f(x)=x
4

(2)[-2,2]

[解析] (1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数, ∴-m +2m+3>0. 即 m -2m-3<0,∴-1<m<3,又 m∈Z.
2 2

6

∴m=0,1,2,而 m=0,2 时,f(x)=x 不是偶函数,m=1 时,f(x)=x 是偶函数,且在 区间(0,+∞)上是单调增函数,∴f(x)=x . (2)g′(x)=x(x +3ax+9),显然 x=0 不是方程 x +3ax+9=0 的根. 为使 g(x)仅在 x=0 处有极值,必须有 x +3ax+9≥0 恒成立,即有 Δ =9a -36≤0, 解不等式,得 a∈[-2,2]. 这时,g(0)=-b 是唯一极值.∴a∈[-2,2].
2 2 2 2 4

3

4

7


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