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4.5 正弦、余弦的诱导公式 (3)


4.5 正弦、余弦的诱导公式 (3)
成都七中 授课人:曹杨可 课件制作:曹杨可

诱导公式
sin(α+2kπ) =
公 式 一

sinα cosα tanα

cos(α+2kπ) = tan(α+2kπ) = 其中 k∈Z.

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα tanα tan(π+α) =

公 式 二

sin(-α) = -sinα cos(- 公 式 α) = tan( -α) = cosα 三 -tanα sin(2π-α) = -sinα cos(2π-α) = cosα tan(2π-α) = -tanα
公 式 五

公 式 四

sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα tan(π-α) = -tanα

口诀: “函数名不变,符号看象限”.

B

在初中几何里学过:

A

?

C

? cos 90 ? ? ? ? sin ? (? 为锐角) , sin 90 ? ? ? cos?, ?

?

?

?

? sin(90 ? ? ) ? cos ? 那么对于任意角α,

? cos(90? ? ? ) ? sin ? ? sin(90? ? ? ) ? ? cos(90? ? ? ) ? ? sin(270? ? ? ) ? ? cos(270? ? ? ) ? ?

能否也能直接用α的三角函数表达呢?

除公式一、二、三、四、五外,还有诱导公式六、七、八、九:

sin(90°-α)=cosα 公式六: sin(90°+α)=cosα 公式七:
公式八: sin(270°-α)= -cosα

cos(90°-α)= sinα cos(90°+α)= -sinα cos(270°-α)= -sinα cos(270°+α)=sinα

sin(270°+α)= -cosα 公式九:

诱导公式六、七、八、九可记为:“函数名改变 ,符号看象限 ”.

诱导公式总结概括为:

“奇变偶不变 ,符号看象限 ”

诱导公式总结概括为:

“奇变偶不变 ,符号看象限 ”

cos150? cos( ?570? ) tan( ?330?) . 例1. 化简: ? ? cos( ?420 )sin( ?690 )

解:

cos150? cos 570? (tan ? tan 330 330 ? ?) 原式 ? ? ? ? cos 420 ( ? sin 690 ) sin 690

cos(180? ? 30? ) cos(360? ? 210? ) tan(360? ? 30? ) ? ? ? ? cos(360 ? 60 )sin(2 ? 360 ? 30? )
? ? cos 30 ??cos 210 tan ? 30?) (? cos 30 ) cos 210 ( ?30 tan ?? ? ? cos 60? ( ? sin ?) sin 30 cos 6030 cos 30? cos(180? ? 30?)sin 30? ?? ? sin 30? cos 60 cos 30? sin 60? ? cos 30? ? tan60? ? 3. ? ?? ? ? cos 60 cos 60

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan( ?? ? 3 ? ) 2 例 例 24:已知 f (? ) ? cot( ?? ? ? ) sin(?? ? ? ) (1)化简 f (? ); ( 2)若?为三象限角,且 cos(? ? 3 ? ) ? 1 , 求 f (? )的值; 2 5 ( 3)若? ? ? 31 ? , 求f (? )的值 . 3 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan( 3 ? ? ? ) 2 解: (1) f (? ) ? cot(? ? ? ) sin(? ? ? )

? sin ? cos ? cot ? ? ? cos? . ? cot ? sin ? ( 2 )cos(? ? 3? ) ? cos( 3? ? ? ) ? ? sin? ? sin? ? ? 1 , 2 2 5 2 6 2 6 ? ? 为三象限角 , . ? cos ? ? ? ,? f (? ) ? 5 5 (3) f (? 31 ? ) ? ? cos 31 ? ? ? cos(10? ? ? ) ? ? cos ? ? ? 1 . 3 2 3 3 3

4n ? 1 ? ? ? ) ? cos( 4n ? 1 ? ? ? ) ( n ? Z ) . cos( 例3. 化简 4 4 ? ? ? )] ? cos[n? ? ( ? ? ? )] 原式 ? cos[ n ? ? ( 解: 4 4 ? ? 且 [n? ? ( ? ? )] ? [n? ? ( ? ? )] ? 2n? , 4 4 ? ? 原式 ? cos{2n? ? [n? ? ( ? ? )]} ? cos[n? ? ( ? ? )] 4 4 ? cos[n? ? ( ? ? ? )] ? cos[n? ? ( ? ? ? )] 4 4 ? ? 2cos[n? ? ( ? ? )] 4 ① 当 n ? 2k , k ? Z 时, 原式 ? 2cos[2k? ? ( ? ? ? )]? 2cos( ? ? ? ). 4 4 ② 当 n ? 2k ? 1 , k ? Z 时,

? ? ? ? )] ?? 2cos[ 2cos[2 2cos( ?? k ? ?? (? ?? ? ).? ?( )] 原式 ? 2cos[(2k ? 1)? ? ( ? ? ? )] ? 4 4 4 4

综上所述:

cos( 4n ? 1 ? ? ? ) ? cos( 4n ? 1 ? ? ? ) (n ? Z ) 4 4
? 2cos( ? ? ? ) (n ? 2k , k ? Z) ? 4 ?? ? ?2cos( ? ? ? ) ( n ? 2k ? 1 , k ? Z) ? 4

n? , 已知 f ( n ) ? sin n? Z . 例4. 4 f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? f (9) ? f (10) ? ? ? f (16); (1)求证:
(2) 求: f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009) 的值 . n? , ? f ( n ) ? sin n? Z . (1)证明: 4 9 ? ? ? ? f (9) ? sin ? sin(2 ? ? ) ? sin , ? f (1) ? sin , 4 4 4 4 k ? 8 k ? k ? ? sin ?, sin(2 ? ? ) 又 sin ? k?Z . 4 4 4

? f (k ) ? f (k ? 8) , k?Z .
? f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? f (9) ? f (10) ? ? ? f (16) .

() 2 ? f (k ) ? f (k ? 8) , k?Z .
而 2009 ? 250 ? 8 ? 9 ,
? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009)
? 250[ f (1) ? f (2) ? ? ? f (8)] ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (9) 又 f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? 2 ? 8 ? ? 0, ? sin ? sin ? ? ? sin 4 4 4 ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2009) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? f (9) ? f (9) ? f (1) ? sin ? ? 2 . 2 4
y


o
(1,0)

x

1.

(1) 若 f (cos x) ? cos9 x ,求 f (sin x) 的表达式 .
?cos?x ( x ? 1 ), ? 2 g ( x) ? ? ? g ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1 ), 2 ?

?sin ?x ( x ? 0), ( 2) 设 f ( x ) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1 ( x ? 0),

求 g ( 1 ) ? f ( 1 ) ? g ( 5 ) ? f ( 3 ) 的值 . 4 3 6 4

( 1 )? f (cos x) ? cos9 x , 解:
? f (sin x) ? f (cos(90? ? x)) ? cos9(90? ? x)
? cos(2 ? 360 ? ? 90? ? 9 x)

? cos(90? ? 9 x)
? sin 9 x .

?sin ?x ( x ? 0), ( 2) 设 f ( x ) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1 ( x ? 0),

?cos?x ( x ? 1 ), ? 2 g ( x) ? ? ? g ( x ? 1) ? 1 ( x ? 1 ), 2 ?

求 g ( 1 ) ? f ( 1 ) ? g ( 5 ) ? f ( 3 ) 的值 . 4 3 6 4 ) ? f (1) ? g( 5 ) ? f ( 3 ) 解:g ( 1 4 3 6 4

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ? sin?? 2? ?? 1 ? cos?? ? ?? 1 ? sin?? ? ?? 1 2 3 6 4
? cos ? ? f 1 ? 1 ? 1 ? g 5 ? 1 ?1 ? f 3 ?1 ? 1 4 3 6 4

? 2 ? 3 ? 1 ? 3 ?1 ? 2 ? 1 ? 1 . 2 2 2 2

sin ? 3 π ? α ? ? cos(α ? 3 π ) ? cos ? 4 π? α ? 2 f ( α ) ? , 2. 已知 tan ? α ? 5 π ? ? cos( π ? α) ? sin(α ? 5 π ) 2 2 23 ? ). 求 f (? 6 sin ? π ? α ? ? cos( 3 π ? ? ) ? cos ? 2 解: f (? ) ? tan ? α ? π ? ? ( ? sin ? ) ? [? sin( 5 π ? ? )] 2 sin ? ? (? sin? ) ? cos? ? π ? tan ? π? ? ? ? sin ? ? sin( ? ? ) 2 ( ? sin ? ) ? cos? ( ? sin ? ) ? cos? ? ? ? cos? . ? tan ? ? cos ? sin ? 3 ? 23 ? ? ? ? . ? f ( ? 23? ) ? ? cos(? 23? ) ? ? cos(4 ? ? cos cos ? ? ) 2 6 6 6 6 6

3. 设 f ?? ? ? 2 sin?? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? , 1 ? sin 2 ? ? cos(3? ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ? ) 2 2 求 f ? 23 ? 的值 . 6

?

?

2?? sin ? ??? cos? ? ? cos? 解: ? f ?? ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? cos2 ? 2 sin ? cos? ? cos? 2 sin ? cos? ? cos? ? ? 2 2 1 ? cos ? ? sin ? ? sin ? 2 sin 2 ? ? sin ? cos? ?2 sin ? ? 1? cos? ? ? ? cot? sin ? ?2 sin ? ? 1? sin ?

23 23 23 ? ? cot ? ? f ? ? ? cot ? ? 6 6 6 ? 3 ? ? ? 3. ? tan ? ? cot ? 3 2 3

?

? ?

?

?

?

作 业:
步步高:P23~25 高活页:§4.5 诱导公式第二课时


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