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吉林一中高三数学文2013-2014学年度上学期12月质量检测


吉林一中 11 级 2013-2014 学年度上学期 12 月质量检测 数学学科试卷(文)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? {0 ,1, 2 , 3 , 4} ,集合 A ? {0 ,1, 2} ,集合 B ? {2 , 3} ,则 (CU A) ? B ( A. ? B. {1, 2 , 3 , 4} C. {0 ,1, 2 , 3 , 4} D.{2,3,4} )A.0 )

A. a3 ? a7 > 2a5 C. a3 ? a7 = 2a5

B. a3 ? a7 < 2a5 D. a3 ? a7 与 2a5 的大小与 a 有关 ( D.不存在 )

8.已知函数 f ( x) ? 3 4 ? x ? 4 x ? 3, 则函数 f (x ) 的最大值为 A.3 B.4 C.5

2.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S1 , S 3 , S 2 成等差数列,则 {an } 的公比 q ? ( B.

3 9.已知角 ? 在第一象限且 cos ? ? ,则 5
A.

1 2

C. ?

1 2

D.2 ( )

2 5

B.

7 5

1 ? 2 cos(2? ? ) 4 ? ? sin(? ? ) 2 14 2 C. D. ? 5 5

?





3.在 ΔABC 中,已知∠A=120° ,且

AC 1 ? , 则 sin C 等于 AB 2

10.如图,角 ? 的顶点为原点 O,始边为 y 轴的非负半轴、终边经过点 P(-3,-4) .角 ? 的顶

3 A. 7

7 B. 4

21 C. 7

21 D. 21

s O 点在原点 O, 始边为 x 轴的非负半轴, 终边 OQ 落在第二象限, tan ? ? ?2 , c ?PQ 且 则o
的值为 A. ? ( ) y Q x o

4.已知等差数列 {an } 的前n项和为Sn , 且a2 ? a4 ? ?30, a1 ? a4 ? a7 ? ?39, 则使得Sn 达到最 小值的 n 是 A.8 ( B.9 C.10 D.11 ( ) )

5 5

5.数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, a n ?1 B. ?

1 ? ? 1 ,则 a2010 的值为 an ? 1

11 5 B. ? 25
C.

1 1 C. D.1 2 2 sin A 2 cos C ? cos A ? 6.在△ABC 中, 是角 A、B、C 成等差数列的 cos A 2sin C ? sin A
A.—1 A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11 5 25 5 5

P





D.

11.设 a ? 0, b ? 0, c ? 0, 下列不等关系不恒成立的是





a 7.已知点 An ( n , a n ) n ?N*)都在函数 y ? a x ( a ? 0, ? 1 )的图象上,则 a3 ? a7 与 2a5 的 (

大小关系是





1 A c3 ? c ? 1 ? c2 ? c ?1 4 1 1 C 若 a ? 4b ? 1 ,则 ? ? 6.8 a b

B | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c |

D ax2 ? bx ? c ? 0( x ? R)

第 1 页 共 5 页

12 . 设 函 数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内 有 定 义 , 对 于 给 定 的 正 数 K , 定 义 函 数

18.数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a, S n?1 ? 2S n ? n ? 1, n ? N * (1)求数列 ?an ? 的通项公式。 (2)若 a ? 1 , bn ? 小值.

? f ( x) ? f k ( x) ? ? ?k ?
间为 A . (??, 0)

f ( x) ? k f ? x? ? k

,取函数 f ( x) ? 2

?x

。当 k ?

1 时,函数 fk ( x) 的单调递增区 2
( )

B . (0, ??)

C. (??, ?1)

D. (1, ??)

n ,?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 已知 M ? Tn , M ? N * ,求 M 的最 a n ?1 ? a n

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

?log 3 x ? 13.已知函数 f ( x) ? ?? 1 ? x ?? ? ?? 3 ?

x?0 x?0
,则不等式 f ( x ) ? 1 的解集为 .

14.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3a2 x ? a(a ? 0) 的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围 是 .

15.设函数 f ( x) ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ? ?? an xn?1, f (0) ?

1 ,数列 {an } 满足 2
. 19.已知 f ( x) ? x3 ? kx2 ? x ? 5 在 R 上单调递增,记△ABC 的三内角 A,B,C 的对应边分别 为 a,b,c,且 a ? c ? b ? ac
2 2 2

f (1) ? n2an (n ? N? ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 等于
16. 已知:函数 f ( x) ? 2 sin( x ?

?
3

)( x ? [0,

13? ]) 的图象与直线 y=m 的三个交点的横坐标分别 6


为 x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3 ), 那么x1 ? 2x2 ? x3 ?

(1)求实数 k 的取值范围; (2)求角 B 的取值范围; (3)若不等式 f [m ? sin 2 B ? cos( A ? C )] ? f (2 m ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f ?x? ? 2a sin x cos x ? 2b cos x ,且 f ?0? ? 8, f ?
2

?? ? ? ? 12 ?6?

33 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

(1) 求实数 a,b 的值。 (2) 当 x∈[0,

π ]时,求 f(x) 的最小值及取得最小值时的 x 值. 2

第 2 页 共 5 页

20.已知 f ( x) ? x3 ? kx2 ? x ? 5 在 R 上单调递增,记△ABC 的三内角 A,B,C 的对应边分别 为 a,b,c,且 a ? c ? b ? ac
2 2 2

22.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? . (1)写出 a2、a3 的值(只写结果)并求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

(1)求实数 k 的取值范围; (2)求角 B 的取值范围; (3)若不等式 f [m ? sin 2 B ? cos( A ? C )] ? f (2 m ?

33 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ,若对任意的正整数 n ,当 m?? ?1,1? 时,不等式 an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

t 2 ? 2mt ?

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围。 6

21. 已知函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? a ?
3

? ?

1? ? 3?

(1)当 a ? 1 时,求 f ?x ? 的极小值; (2)设 g ?x? ? f ?x? , x ? ?? 1,1? ,求 g ?x ? 的最大值 F ?a ? .

第 3 页 共 5 页

参考答案
一、DC CCB AACCA DC 14 a ?

而 a1 ? a 不满足上式 所以 a n ? ?

?a ?(a ? 3) ? 2
n?2

n ?1
?1 n ? 2
n 2n

二、13 ?? ?,0? ? ?3,???

2 2

15

n n ?1

16

8? 3

* (2)由 a1 ? 1, 得an ? 2n ? 1 , n ? N ,则 bn ?

三、17 .解: (1)由条件可解得 a= 4 3 , b=4 (2) f(x) = 8 3sinxcosx +8cos x = 4 3sin2x + 4(1+ cos2x) = 8sin(2x + 当 x∈[0,
2

使用错位相减法可得: Tn ? 2 ?

1 2
n ?1

?

n ?2 2n

19.(1) f '( x) ? 0 恒成立 4k 2 ?12 ? 0,?? 3 ? k ? 3 (2) cos B ?

π )+ 4 6

1 ? ? 0 ? B ? (3) m??0,16? 2 3

π π π 7π ]时, 2x + ∈[ , ] 6 6 2 6 π 2
1 ? Sn ? n ? 1 ○

20 .(1) f '( x) ? 0 恒成立 4k 2 ?12 ? 0,?? 3 ? k ? 3 (2) cos B ?

∴f(x)的最小值是 0 此时 x =

1 ? ?0 ? B ? 2 3

(3) m??0,16? 21 解(1)当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 令 f ' ( x ) ? 0 得 x ? ?1 . 所以 f (x) 在 (?1,1) 上单调递减,在 (??,?1) 和 (1,??) 上单调递增. 所以 f (x) 的极小值为 f (1) ? ?2 (2)因为 g ( x) ?| f ( x) |?| x ? 3ax | 在 [?1,1] 上为偶函数,故只求在 ?0,1? 上的最大值即可.
3

18 .由 Sn?1

2 得 Sn ? Sn?1 ? n n ? 2 ○ ( ) 1 2 ○-○得: an?1 ? 2an ? 1 ? n ? 2 ? 所以

an?1 ? 1 ?2 an ? 1

故数列 ?an ?1 是从第 2 项开始的等比数列. ?

a2 ? a ? 2
所以 an ? (a ? 3) ? 2
n ?2

? 1(n ? 2)

第 4 页 共 5 页

1 ? a ? , x ? ?0,1?? f ( x) ? x( x ? 3a)(x ? 3a) ? 0 3 ? g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x) g ' ( x) ? ? x( x ? 3a)(x ? 3a)
当 a ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在 ?0,1? 上单调递增, F (a) ? g (1) ? ? f (1) ? 3a ? 1 当

?

1 1 n 1 ? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1? 2n ? 3n ? 1 (2n ? 1 ) ? 3 n

………………………8 分

令 f ? x ? ? 2x ?

1 1 ? x ? 1? ,则 f ? ? x ? ? 2 ? 2 , 当 x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 恒成立 x x

∴ f ? x ? 在 x??1, ??? 上是增函数,故当 x ? 1 时, f ? x ?min ? f ?1? ? 3 即当 n ? 1 时, 另解: bn ?1 ? bn ?

1 ? a ? 1 时 , g (x) 在 0, a 上 单 调 递 增 , 在 3

?

?

? a ,1? 上 单 调 递 减 ,

(bn )max ?

1 6

……………………11 分

F (a) ? g ( a ) ? ? f ( a ) ? 2a a
1 ? ?2a a ? a ? 1 所以可得 F (a) ? ? 3 ?3a ? 1 a ? 1 ?
22.解: (1)∵ a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? n ? 2 2n ? 3 n ? 1 2n ? 1 n ? 2 2n ? 1 ? 2 n ? 3 n ? 1 ?

?

3n ? 3 3n ? 4 ? 2 ?0 2n ? 5n ? 2 2n ? 5n ? 3
2

a2 ? 6, a3 ? 12

∴数列 ?an ? 是单调递减数列,∴ (bn )max ? b1 ? ………2 分

1 6

当 n ? 2 时, an ? an?1 ? 2n, an?1 ? an?2 ? 2 ? n ? 1? , ???, a3 ? a2 ? 2 ? 3, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , ∴

an ? a ?2 ? ?n ? n 1 ? ? ? 1

? ? ?3 ?? , ? ? 2?
n ? n ? 1? 2 ? n ? n ? 1?
……………5 分

∴ an ? 2 ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? ?

当 n ? 1 时, a1 ? 1? ?1 ? 1? ? 2 也满足上式, ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? n ? 1? …6 分 (2) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 a2 n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ?? n ? 3? 2n ? 2n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2n ? 2n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? 3?

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