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四川省绵阳市西平中学2015届高三3月月考试题 数学文


3 月考试题 数学文
一、选择题 1.直线 l : x sin 300 ? y cos1500 ? 2 ? 0 的斜率是( )

A.

3 3

B. 3

C. ?

3 3


D. ? 3

2.设 i 是虚数单

位,若复数 a ? A.1 3.函数 f ( x) ? A. [?4,1) 4.已知 an ? A.9
0

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为( 3?i
B. ? 1 C. ? 3 ) C. (1, 4]

D. 3

? x 2 ? 3x ? 4 ? ln( x ? 1) 的定义域是(
B. [1, 4]

D. (?1, 4] ) D.9 或 10

n ? 10 , Tn 是数列 {an } 的前 n 项积,当 Tn 取到最大值时, n 的值为( 2n ? 1
B. 8 C.8 或 9

5.在 ?ABC 中, A ? 60 ,若 a, b, c 成等比数列,则

b sin B ?( c
C.



A.

1 2

B.

3 2

2 2

D.

6? 2 4

6.已知 a , b 为不同的二直线, ? , ? 为不同的二平面,在下列四个命题中: ①若 a ? ? , b ? ? ,则 a ∥ b ; ③若 a ? ? , a ? ? ,则 ? ∥ ? ; 其中正确命题的个数是( ) A.1 7.设 a ? 2b ? 0 ,则 (a ? b) ?
2

②若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b ; ④若 b ∥ ? , b ∥ ? ,则 ? ∥ ? 。

B.2

C.3 )

D.4

9 的最小值是( b(a ? 2b)
第 1 页 共 9 页

A.12 8.设 x1 , x2 是函数 f ( x) ? 值范围是( ) A. (?2,1) C. ( ,1)

B.9

C.6

D.3

1 3 1 2 b?2 x ? ax ? 2bx 的两个极值点,且 x1 ? (0,1), x2 ? (1, 2) ,则 的取 3 2 a?2
1 4

B. (??, ) D. (??, ?2)

(1, ??)

1 4

(1, ??)


9.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( A. ( ?

15 15 , ) 3 3 15 , ?1) 3

B. (0,

15 ) 3

C. ( ?

15 , 0) 3

D. ( ?

) , 1 则不等式 10 . 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 R, f (0) ? 2 , 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x)? f ' ( x?

ex f ( x) ? ex ? 1 的解集为( )
A. (0, ??) C. ( ??, 0) 二、填空题 11.圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 的半径 r ? _____________
2 2

B. (??, ?1) D. (??, ?1)

(1, ??) (0,1)

12.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边 长为 1 ,则 BC1 与侧面 ACC1 A1 所成的角的大小为_____________ A1 C1 B1

C 13.在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90 , BC ? CD ? 1, AD ? 2 ,
0

A

B

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P 是线段 CD 上一动点,则 | PA ? 3PB | 的取值范围是__________

A B

D P C

a sin
14.已知非零常数 a , b 满足

5 ? tan 8? ,则 b ? ________ ? ? a 15 a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

15. 在 ?ABC 中,AB ? AC ? 5, BC ? 6, O 是 ?ABC 的内心, 若 AO ? xAB ? yAC , 则 x ? y ? ____

三、解答题: 16.已知数列 {an } 各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,且对任意的 n ? N * ,都有 4Sn ? (an ? 1)2 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 2n ? tSn 对任意的 n ? N * 恒成立,求实数 t 的最大值。

17.已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, (1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ? 3 sin B ? sin(C ?

2b ? c cos C ? 。 a cos A

?
6

) 的值域。

18.某市为缓解春运期间的交通压力,计划在某路段实施“交通限行”,为了解公众对该路段“交 通限行”的态度,某机构从经过该路段的人员随机抽查了 50 人进行调查,将调查情况进行整理,制 成下表:
第 3 页 共 9 页

年龄(岁) 频数 赞成人数

[15, 25)
5 4

[25,35)
10 8

[35, 45)
15 9

[45,55)
10 6

[55,65)
5 4

[65, 75]
5 3

(1)完成被调查人员的频率分布直方图; (2)若从年龄在 [65, 75] 的被调查者中随机选取 2 人进行进一步的采访,求选中的 2 人中恰好 有 1 人赞成该路段“交通限行”的概率。
频率 组距
0.04 0.03 0.02 0.01 75 年龄(岁)

15

25

35

45

55

65

19.如图,在底面为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,

D1 A1 B1

C1

1 CD=2,?DCB=600 。 D1D ? 底面 ABCD,AD=,
(1)求证:平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 ; (2)若 D1D=BD ,求四棱锥 D-A1BCD1 的体积。

D A B

C

第 4 页 共 9 页

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1F2 |? 2 ,点 P 在椭圆上, a 2 b2

且 ?PF1F2 的周长为 6。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 的坐标为 (2,1) ,不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,设线段 AB 的中 点为 M ,点 P 到直线 l 的距离为 d ,且 M , O, P 三点共线。求

12 13 | AB |2 ? d 2 的最大值。 13 16

21.已知函数 f ( x) ?

mx 1 , g ( x) ? ( )| x ?m| ,其中 m ? R 且 m ? 0 。 2 4 x ? 16 2

(1)判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 m ? ?2 时,求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最值; (3)设函数 h( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,当 m ? 2 时,若对于任意的 x1 ?[2, ??) ,总存在唯一的 ? g ( x), x ? 2

x2 ? (??, 2) ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) 成立,试求 m 的取值范围。

一、选择题 1 题号 A 答案 二、填空题 11. 13 三、解答题:

2 D

3 C

4 C

5 B

6 B

7 A 14. 3

8 D

9 D

10 A

12.

? 6

13. [5, 34]

15.

5 8

第 5 页 共 9 页

16.解:(1) 4S1 ? 4a1 ? (a1 ? 1)2 ,?a1 ? 1 ?????2 分 当 n ? 2 时, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? (an ?1)2 ? (an?1 ?1)2
2 2 ?2(an ? an?1 ) ? an ? an ?1 ,又 {an } 各项均为正数

? an ? an?1 ? 2 ?????4 分
数列 {an } 是等差数列,? an ? 2n ? 1 ?????6 分 (2) Sn ? n2 ,若 2n ? tSn 对于任意的 n ? N * 恒成立,则 t ? min ?

? 2n ? 2? ?n ?

令 bn ?

2n bn?1 2n2 n2 ? n(n ? 1) ? n n ? 3 ,当 时 ? ? ? 1 ?????9 分 n2 bn (n ? 1)2 n2 ? 2n ? 1

因 b1 ? 2, b2 ? 1, b3 ? 则实数 t 的最大值为

? 2n ? 8 8 ,所以 min{bn } ? min ? 2 ? ? 9 ?n ? 9
8 ?????12 分 9

17.解:(1)在 ?ABC 中,由正弦定理得

2sin B ? sin C cos C ? ?????2 分 sin A cos A 即 2sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A
故 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B ?????4 分

1 ? ,? A ? ?????6 分 2 3 ? 2 2 (2)由(1)知 A ? , 则在 ?ABC 中, B ? C ? ? ,且 B ? (0, ? ) ?????7 分 3 3 3
而在 ?ABC 中, sin B ? 0 ,则 cos A ?

y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) ? 6 2 6
10 分 又

?

?

?

2 ? ? 5? ? 1 B ? (0, ? ),? B ? ? ( , ) ,则 sin( B ? ) ? ( ,1] ?????11 分 3 6 6 6 6 2

所以函数的值域为 (1, 2] ?????12 分 18.解:(1)由题中表格可知,各组的频率分别为 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1

第 6 页 共 9 页

所以被调查人员年龄的频率分布直方 图为: (2)年龄在 [65, 75] 的 5 名被调查者中,有 3
0.03

频率 组距

人赞成该路段 “交通限行” , 分别记为 A1 , A2 , A3 , 其余 2 人分别记为 B1 , B2 ,从 5 名被调查者中任

0.02 0.01

取 2 人, 总的情形有: A1A2、 A1A3、 A2A3、 A1B1、 O 15 A1B2、A2B1、 A2B2、A3B1、A3B2、B1B2 共 10 种,其中恰好有 1 人赞成该路段“交通限行”的情形有 A1B1、A1B2、A2B1、

25

35

55

65

75 年龄(岁)

A2B2、A3B1、A3B2 共 6 种,则选中的 2 人中恰有 1 人赞成该路段“交通限行”的概率 P ? 19.解:(1)在 ?ABC 中, ?BAD ? ?BCD ? 60 ,由余弦定理得
0

6 3 ? 10 5

BD ? AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB cos ?BAD ? 3
0 所以 AD ? BD ? AB ,即 ?ADB ? 90 ? AD ? BD ????????3 分
2 2 2

又四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 BC ? BD, 又 DD1 ? 平面 ABCD, BC ? 底面 ABCD 所以 DD1 ? BC ,又 DD1

BD ? D

所以 BC ? 平面 BDD1B1 ,又 BC ? 平面 A 1BCD 1 所以平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 ????????6 分 (2)连接 BD1 ,

DD1 ? BD ? 3,? BD1 ? 6
A1

D1 B1

C1

因 BC ? 平面 BDD1B1 ,所以 BC ? BD1 ????????8 分 所以四边形 A 1BCD 1 的面积 S ? BC ? BD 1 ? 6 ?????9 分

M
D A B C

6 取 BD1 的中点 M ,连接 DM ,则 DM ? BD1 ,且 DM ? 2
又平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 ,平面 A1BCD1 所以 DM ? 平面 A 1BCD 1,
第 7 页 共 9 页

平面 BDD1B1 ? BD1

所以四棱锥 D ? A1BCD1 的体积 V ?

1 ? S ? DM ? 1 ????????12 分 3

20.解:(1)由已知得 2c ? 2 ,且 2a ? 2c ? 6 ,解得 a ? 2, c ? 1 ,又 b ? a ? c ? 3
2 2 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ????????3 分 4 3

(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知: 点 M 在 x 轴上,且原点 O 不重合,显然 M , O, P 三点不共线,不符合题设条件。 所以可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) ,

由?

? y ? kx ? m ?3x ? 4 y ? 12
2 2

消去 y 并整理得: (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ?????①
2 2

2 2 2 2 则 ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ?12) ? 0 ,即 4k ? m ? 3 ? 0 ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

且 x1 ? x2 ? ?

4km 3m 8km 4m2 ? 12 , 2 ), , x x ? ,则点 M (? 2 1 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

因为 M , O, P 三点共线,则 kOM ? kOP ,即
2 2

3m ?2km 3 ? 2 ,而 m ? 0 ,所以 k ? ? 2 4k ? 3 4k ? 3 2
2

m2 ? 3 此时方程①为 3x ? 3mx ? m ? 3 ? 0 ,且 12 ? m ? 0, x1 ? x2 ? m, x1 x2 ? 3
所以 | AB | ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ?
2 2 2

13 (12 ? m 2 ) 12

又d ?

| 8 ? 2m | 3 ?2
2 2

?

2| m?4| 13

所以

12 13 (m ? 4) 2 3 4 52 | AB |2 ? d 2 ? (12 ? m2 ) ? ? ? (m ? ) 2 ? 13 16 4 4 3 3
4 12 13 52 ? (?2 3, 0) 时, | AB |2 ? d 2 的最大值为 ????????13 分 3 13 16 3

故当 m ? ?

21.解:(1)依题意, f '( x) ?

m(4 ? x 2 ) m(2 ? x)(2 ? x) ?????1 分 ? 4( x 2 ? 4)2 4( x2 ? 4)2

当 m ? 0 时, f '( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 2 , f '( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2 ?????2 分
第 8 页 共 9 页

当 m ? 0 时, f '( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 2 , f '( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2 ?????3 分 综上可知:当 m ? 0 时, f ( x ) 在 (?2, 2) 上单调递增,在 (??, ?2),(2, ??) 上单调递减 当 m ? 0 时, f ( x ) 在 (?2, 2) 上单调递减,在 (??, ?2),(2, ??) 上单调递增?4 分 (2)当 m ? ?2, ?2 ? x ? 2 时, g ( x) ? ( ) 分 由(1)知 f ( x ) 在 (?2, 2) 上单调递减,

1 2

| x ? m|

1 1 ? ( ) x ? m ? 2m ? ( ) x 在 [?2, 2] 上单调递减??5 2 2

mx 1 ? 2m ( ) x 在 [?2, 2] 上单调递减????????6 分 2 4 x ? 16 2 m m m ? 2m ? 2 ? ????????7 分 所以当 x ? ?2 时 F ( x) max ? F (?2) ? 4 ? 2 ? 16 16 m m?2 ? ????????8 分 当 x ? 2 时 F ( x) min ? F (2) ? 2 16
所以 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (3)当 m ? 2, x1 ? (2, ??) 时, h( x1 ) ? f ( x1 ) ? 由(1)知 h( x1 ) 在 [2, ??) 上单调递减

mx1 4 x12 ? 16

m ] ????????9 分 16 1 | x ? m| 1 m? x 1 m x 当 m ? 2, x2 ? 2 时, h( x2 ) ? g ( x2 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) ? 2 2 在 (??, 2) 上单调递增, 2 2 2 1 m?2 从而 h( x2 ) ? (0, g (2)) ,即 h( x2 ) ? (0, ( ) ) ????????11 分 2
从而 h( x1 ) ? (0, f (2)] ,即 h( x1 ) ? (0, 对于任意的 x1 ?[2, ??) ,总存在唯一的 x2 ? (??, 2) ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) 成立,

m ?1? 只需 ?? ? 16 ? 2 ?
记 H ( m) ?

m?2

,即

m 1 m?2 ? ( ) ? 0 成立即可 16 2

m 1 m?2 ? ( ) ,易知 H (m) 在 [2, ??) 上单调递增,且 H (4) ? 0 16 2

所以 m 的取值范围为 [2, 4) ????????14 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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