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福建省建瓯二中2013届高三数学上学期期末考试试题 文 新人教A版


建瓯二中 2013 届高三上学期期末考试数学文试题
一、选择题: 1、点 M 的直角坐标是 ( 3, ?1) ,在 ? ? 0,0 ? ? ? 2? 的条件下,它的极坐标是( )

? 11? 5? B (2, ) C ( 3, ) ) 6 6 6 2、椭圆 3x 2 ? 2 y 2 ? 1 的焦点坐标是( )
A

(

2,

D

( 2,

11? ) 6
D (?

A (0, ? (

6 6 )、 (0, ) 6 6

B (0,-1)、 (0,1)

C

(-1,0)、 (1,0)

6 ,0)、 6

3、“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条 件. 4、命题: “若 ?1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ”的逆否命题是( ) A 若 x ? 1或x ? ?1, 则 x 2 ? 1 B 若 x 2 ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 C 若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1或x ? ?1 D 若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1或x ? ?1 5、在极坐标系中,点 ( ?, A 2 B

6 ,0) 6

?

?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为( )
C

4?

?2
9

1?

?2
9

D

3


6、在方程 ?

? x ? sin ? ( ? 为参数且 ? ∈R)表示的曲线上的一个点的坐标是( y ? cos 2 ? ?
B (1,0) C (

A (2,-7)

1 1 , ) 2 2

D (

1 2 , ) 9 3

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 7、直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点坐标 ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
为( )

(3, ?3) B (? 3,3) C ( 3, ?3) D (3, ? 3) 2 2 8、若 ab ? 0 ,则方程 (ax ? y ? b)(bx ? ay ? ab) ? 0 表示的曲线只可能是(
A



B A B

C C

D D

1

9、双曲线

? x2 y2 a 2+e - = 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 ,则 的 e 3 a 2 b2 b
2 6 3
B

最小值为( ) A

2 3 3

C

2 3


D

2 6

? x ? 1 ? 2t 10、直线 ? 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( (t为参数) ? y ?2?t
A
12 5

B

12 5 5

C

9 5 5

D

9 10 5

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 交于 A, B 两点,以线段 AB 为直径的圆过 a 2 b2 椭圆的右焦点,则椭圆 C 的离心率为( )
11、直线 y ? ? 3x 与椭圆 C :
3 2 3 ?1 2

A

B

C

3 ?1

D

4?2 3

12、直线 mx ? ny ? 4 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 没有公共点,则过点 ( m, n ) 的直线与椭圆 交点的个数是( ) A 至多一个 B 2 个 二、填空题: C 1个 D 0个

x2 y2 ? ? 1的 9 4

13、如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 31,则判断框中的整数 M 的值是

14、命题“存在 x ? ? 0, ?? ? ,使得 ln x ? x ? 1 ? 0 成立”的否定是________________; 15、已知某圆的极坐标方程为 ? ? 4 2 ? cos( ? ?
2

?
4

) ? 6 ? 0 ,若点 P ( x, y ) 在该圆上,



y 的最大值是_______ x

16、已知抛物线 C : y ? ax2 (a ? 0) 的焦点到准线的距离为

1 ,且 C 上的两点 4 1 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,并且 x1 x2 ? ? ,那么 m ? _______ 2

三、解答题: (17 题 10 分,其余每题 12 分) 17、已知下列两个命题: p : 函数 y ? x2 ? 2mx ? 4( x ? R)在[2, ??) 上单调递增; q : 关于 x 的 不等式 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0(m ? R) 的解集为 R, p ? q 为假命题, p ? q 为真命题, 求m的 取值范围。

18、 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1 : x ? y ? 1 , 以平面直角坐标系 xOy 的原点 O
2 2

为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 . (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2 倍后得到曲线 C2 ,
2

试写出直线的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P ,使点 P 到直线的距离最大,并求出此最大值.

19、已知圆 C : ?

? x ? 2 ? t cos α ? x ? 1 ? cos θ ? ( θ 为参数)和直线 l : ? (其中为参数, α 为 ? ? y ? sin θ ? y ? 3 ? t sin α

直线的倾斜角) ,如果直线与圆 C 有公共点,求 α 的取值范围.

? x ? a cos ? 20、在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) , ? y ? b sin ? 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极点
的圆.已知曲线 C1 上的点 M (1,

D(1, ) , 3
(1)求曲线 C1 , C 2 的方程; (2)若点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ?

?

? ? 3 ) 对应的参数 ? ? ,射线 ? ? 与曲线 C 2 交于点 3 3 2

?
2

) 在曲线 C1 上,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值.

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,且过点( 3, ) , 2 a b 2 2 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) 与椭圆交于 P,Q 两点,且以 PQ 为对角线的菱形的一 顶点为(-1,0) ,求:△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.
21、已知椭圆

22、如图,斜率为 1 的直线过抛物线 ? : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,与抛物线交于两点 A,
2

B, (1)若|AB|=8,求抛物线 ? 的方程; (2)设 C 为抛物线弧 AB 上的动点(不包括 A,B 两点) ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值; (3)设 P 是抛物线 ? 上异于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 分别交抛物线的准线于 M,N 两点,证明 M,N 两点的纵坐标之积为定值(仅与 p 有关)

3

答 一、 二、
ln x ? x ?1 ? 0 成立

案: 选择题:AABDD 填空题 13、 4

CDACB CB 14、 任意 x ? ? 0, ?? ? ,

15、

2? 3

16、

3 2

三、解答题: 17、解: p : m ? 2, 则?p : m ? 2; q :1 ? m ? 3, 则?q : m ? 1或m ? 3 , 由题知 p, q 一真一假,若 p 真 q 假,则 m ? 1 ,若 p 假 q 真,则 2 ? m ? 3 , 综上, m 的取值范围是 m ? 1或2 ? m ? 3 18、 解: (1)C2 :

? x2 y 2 ? x ? 3 cos α (α 为参数) ? ? 1, l : 2 x ? y ? 6 ? 0 ,C2 的参数方程是 ? 3 4 ? ? y ? 2 sin α
π | 4 cos(α ? ) ? 6 | 6 , 5

| 2 3 cos α ? 2sin α ? 6 | ? (2) C2 上一点到直线的距离为 d ? 5
所以,当 4 cos(α ?

π 3 ) ? ?1 时, d 取得最大值 d ? 2 5 ,此时 P ( ? ,1) 6 2 2 2 19、解:圆 O 的普通方程为: ( x ?1) ? y ? 1 ,将直线的参数方程代入圆 O 普通方程,得

t 2 ? 2( 3 sin α ? cos α)t ? 3 ? 0 ,关于的一元二次方程有解 ? 3 2 所以 ? ? 4( 3sin? ? cos? ) 2 ? 12 ? 0 , sin (? ? ) ? 6 4 ? 3 ? 3 解得: sin(? ? ) ? 或 sin(? ? ) ? ? 6 2 6 2 ? ? 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? ? 6 2

? ? ? 1 ? a cos 3 ? 3 ? x ? a cos ? ? 20、解: (I)将 M (1, ,得 ? , ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? 3 2 ? y ? b sin ? ? 3 ? b sin ? ? 3 ? 2

4

即?

?a ? 2 , ?b ? 1

所以曲线 C1 的方程为 ?

? x ? 2 cos? x2 ? y2 ? 1. ( ? 为参数) ,或 4 ? y ? sin ?

设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2R cos? ,(或 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ). 将点 D(1,

?

3

) 代入 ? ? 2R cos? ,

得 1 ? 2 R cos (或由 D(1,

?
3

,即 R ? 1 .

1 3 ) ,得 D( , ) ,代入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1 ), 3 2 2 所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1.

?

(II)因为点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ? 所以

?

2

) 在在曲线 C1 上,
2 ?2 sin 2 ? 2 ? ?2 cos2 ? ? 1 ,

?12 cos2 ?
4

4 1 1 cos ? sin 2 ? 5 2 所以 2 ? 2 ? ( ? sin ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? . 4 4 4 ?1 ? 2
2

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,

5

22、解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),

p ? p p2 ?y ? x ? , ? 0. ??? 1 (1)由条件知直线 l : y ? x ? . 由 ? 2 消去 y,得 x 2 ? 3 px ? 2 4 2 ? y ? 2 px ?
分 由题意,判别式 ? ? (?3 p) ? 4 ?
2

p2 p2 ? 0. 由韦达定理, x1 ? x 2 ? 3 p, x1 x 2 ? . 4 4

由抛物线的定义, | AB |? ( x1 ? 物的方程为 y ? 4 x. ???3 分
2

p p ) ? ( x 2 ? ) ? 3 p ? p ? 4 p. 从而 4 p ? 8,2 p ? 4. 所求抛 2 2

(2)设 C (

2 y0 (3 ? 2 2 ) p (3 ? 2 2 ) p , (1 ? 2 ) p, B , (1 ? 2 ) p). , y 0 ) 。由(1)易求得 A( 2 2 2p

6

则 (1 ? 2 ) p ? y0 ? (1 ? 2 ) p. , 点 C 到直线 l : x ? y ? 将原点 O(0,0)的坐标代入直线 l : x ? y ?

p ? 0 的距离 d ? 2

|

2 y0 p ? y0 ? | 2p 2

2

.

p p p ? 0 的左边,得 x ? y ? ? ? ? 0. 2 2 2

2 y0 p 而点 C 与原点 O 们于直线的同侧,由线性规划的知识知 ? y 0 ? ? 0. 2p 2
2 y0 p ? y0 ? 2p 2

?
因 此

d?

2

.

?

?

6







1

) ,

|AB|=4p



1 1 S ? ? | AB | ?d ? ? 4 p ? 2 2
?

2 y0 p ? ? y0 ? 2p 2

2

2 2 2 (? y0 ? 2 py0 ? p 2 ) ? [?( y0 ? p)2 ? 2 p 2 ] 2 2 2 ? 2 p 2 ? 2 p 2 ?8 分 2

由 (1 ? 2 ) p ? y0 (1 ? 2 ) p, 知当 y 0 ? p时, S max ?
2

(3)由(2) ,易得 y1 y2 ? ? p , y1 ? y2 ? 2 p. 设 P( x0 , y0 ) 。
2 y ? y0 y0 y12 将 x0 ? 代入直线 PA 的方程 y ? y0 ? 1 ( x ? x0 ), , x1 ? x1 ? x0 2p 2p

得 PA : y ? y 0 ?

2p 2p ( x ? x0 ). 同理直线 PB 的方程为 y ? y0 ? ( x ? x0 ) y1 ? y 0 y 2 ? y0

将x ? ?

y y ? p2 y y ? p2 p 代入直线 PA,PB 的方程得 y M ? 0 1 , yN ? 0 2 . 2 y1 ? y0 y 2 ? y0 y0 y1 ? p 2 y0 y 2 ? p 2 ? y1 ? y0 y 2 ? y0 ?
2 y0 y1 y 2 ? p 2 y0 ( y1 ? y 2 ) ? p 4 2 y1 y 2 ? y0 ( y1 ? y 2 ) ? y0

yM y N ? ?

2 ? p 2 y0 ? 2 p 3 y0 ? p 4 ? ? p2. 2 2 ? p ? 2 py0 ? y0

7

8


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