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高三数学周测一


高三数学周测一
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 1.已知集合 A ? ??1, 0, a? , B ? x 0 ? x ? 1 ,若 A A. (??, 0) B. (0,1)

?

?

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
C. ?1? D. (1, ??

)

2.已知向量 a ? (1,1), 2 a ? b ? (4, 2) ,则向量 a , b 的夹角的余弦值为

3 2 2 10 C. D. ? 10 2 2 3.在等 差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? a7 ,则 k ? A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
A. B. ? 4.若一个圆台的的正视图如图所示,则其侧面积 等于 ... A .6 C . 3 5? B. 6? D. 6 5?
第 4 题图

3 10 10

5.已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z ? (a ? 2i)(1+i) 在复平面内对应的点为 M ,则“ a ? ? ”是“点 M 在第四象限”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.m、n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题

①?

?? // ? ?? ? ? ?m ? ? ?m // n ? ? // ? ② ? ? m ? ? ③? ?? ? ? ④? ? m // ? ?? // ? ?m // ? ?m // ? ?n ? ?
]

其中为真命题的是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 7.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则对任意 x1 , x2 ? R ,若 0 ? x1 ? x2 ,下列不等式成立的是 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 8.已知双曲线 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线的一个交点为 2 a b
[来源:Zxxk.Com]

P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的渐近线方程为
A. x ? 3 y ? 0

B. 3x ? y ? 0

C. x ? 2 y ? 0

D. 2 x ? y ? 0

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题)
9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各 随机抽取了 5 名学生的学分,用茎叶图表示(如右图). s1 , s 2 分别表示甲、乙两班抽取的 5 名学生学分的标准差,
第 9 题图 高二数学(理科) 第1页(共 7 页)

、 “ ? ”或“=” ). s 2 .(填“ ? ” 1 n 10. 如果 ( x + ) 展开式中,第四项与第六项的系数相等, x 则n= ,展开式中的常数项的值等于 . 则 s1

? x ? y ? 3 ≥ 0, ? 12.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ??2 ≤ x ≤ 3, ?
12. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 13.计算 .



?

3

1

(x ?

1 )dx ? _____________ x

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,
点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以原点 O 为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是 15. (几何证明选讲)如图,在 ?ABC 中, DE // BC , .
第 12 题图

EF // CD ,若 BC ? 3, DE ? 2, DF ? 1 ,
则 AB 的长为_ __________.
第 15 题图

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? sin( 2 x ?

?
2

).

(1)若 x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)设 x ? [0,

?
3

] ,求 f ( x) 的值域.

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A 、 B 、 C 三个社区参加社会实践,要求每个社区至少有一 名同学. (1)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率; (3)设随机变量 ? 为四名同学中到 A 社区的人数,求 ? 的分布列和 E? 的值.

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第2页(共 7 页)

18.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形, ?BAD ? 90? , AD // BC, AB ? BC ? a ,

AD ? 2a, PA ? 底面ABCD, PD 与底面成 30° 角.
(1)若 AE ? PD, E 为垂足,求证: BE ? PD ; (2)在(1)的条件下,求异面直线 AE 与 CD 所成 角的余弦值; (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值.

19.(本小题满分 14 分)

4 是 a2 和 a4 的一个等比中项. 已知 {an } 是各项为正数的等比数列, 且 a1a3 ? 2a2 a4 ? a3 a5 ? 100 ,
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 {an } 的公比 q ? (0, 1) ,设 bn ? an ? log2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 1 ( a , b 为实数), x ? R , F ( x) ? ?

(1)若 f (?1) ? 0, 且函数 f ( x ) 的值域为 [0, ? ?) ,求 F ( x ) 的表达式;

( x ? 0) ? f ( x) . ? ? f ( x) ( x ? 0)

(2)在(1)的条件下,当 x ?[?2, 2] 时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 m ? n ? 0 , m ? n ? 0, a ? 0 且 f ( x ) 为偶函数,判断 F (m) + F ( n) 能否大于零.

21. (本小题满分 14 分) (如图)设椭圆中心在坐标原点, A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线

y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点.
(1)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. y B D O E A F x

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第3页(共 7 页)

数学周测一答案
一、选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 A 7 D 8 B

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. ? 10.8,70 11.-3 12. ?

1 2

13.4+ ln 3

? 14. (2, 2k? ? ) 3

15.

9 2

三、解答题 16.解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ?

? 2? 2 sin(2 x ? ) 周期 T ? ?? ; 4 2 ? ? ? 3? ? ? x ? k? ? 令 2k? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ,得 k? ? 2 4 2 8 8
所以,单调递增区间为 ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? , k ? Z 8 8?

(2)解法一:当 x ? [0,

?
3

] , t ? 2x ?

?

? ? 11? ? ? ? 11? ? ,由 y ? 2 sin t , t ? ? , 的图象可知, ?? , ? 4 ? 4 12 ? ? 4 12 ? ?

当t ?

? 3 ?1 ? ? 11? 11? 3 ?1 , 2? 时, y 有最大值 2 ; 当t ? 时, y 有最小值 2 sin 。 所以, 值域 ? ? 2 12 12 2 ? 2 ?

11? 11 ? ? ? ? 6? 2 ? ,sin ? sin ? sin( ? ) ? ? sin 3 4 4 12 12 12 4 6 4 4 6? 2 ? 3 ?1 ? ∴ ? sin(2 x ? ) ? 1 , ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 4 2 4 3 ?1 即 f ( x) 的值域为 [ , 2] 2 A2 1 17.解: (1)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 EA ,那么 P( EA ) ? 2 2 3 ? , C4 A3 18 1 即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是 . 18 A3 1 (2)记甲、乙两人在同一社区为事件 E ,那么 P( E ) ? 2 3 3 ? , C4 A3 6 5 所以,甲、乙两人不在同一社区的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ? . 6 (3)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? i (i ? 1, 2) ”是指有 i 个同学到 A 社区,
解法二: 若0 ? x ?

?

, 则

?

? 2x ?

?

?

则 P(? ? 2) ?

2 2 C4 A2 1 ? . 2 3 C4 A3 3

2 所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ? , ? 的分布列是 3 2 1 4 E? ? 1 ? ? 2 ? ? . 3 3 3
高二数学(理科)

?
P

1

2

2 3

1 3

第4页(共 7 页)

18.解:解法一: (1)? ?BAD ? 90? ,

? BA ? AD

? PA ? 底面ABCD, ? BA ? 平面PAD. ? PD ? 平面PAD. ? PD ? BA.

BA ? PA.又 ? PA ? AD ? A,

又 ? PD ? AE, 且BA ? AE ? A,

? PD ? 平面BAE.

? PD ? BE,即BE ? PD.
(2)过点 E 作 EM//CD 交 PC 于 M,连结 AM,则 AE 与 ME 所成角即为 AE 与 CD 所成角.
? PA ? 底面ABCD, 且PD与底面ABCD成30? 角. ? ?PDA ? 30?. ? 在Rt?PAD中, ?PAD ? 90? , ?PDA ? 30? , AD ? 2a 2 3 4 3 a, PD ? a. 3 3 2 3 a ? 2a PA ? AD ? AE ? ? 3 ? a. PD 4 3 a 3 2 3 2 ( a) PA2 3 ? PE ? ? 3 ? a, CD ? 2a. PD 3 4 3 a 3 3 2a ? a CD ? PE 3 ? 2 a. ? ME ? ? PD 4 4 3 a 3 ? PA ?

连结AC. ? 在?ACD中AD ? 2a, AC ? 2a, CD ? 2a, ? AD 2 ? AC 2 ? CD 2 , ? ?ACD ? 90? , ? PA ? CD, ? CD ? AC, ? ME ? PA. ? MA ? 平面PAC, ME 2 ? . AE 4 ? ME ? AC. 又 ? PA ? 底面ABCD, ? ME ? 平面PAC. ? ME ? AM .

? 在Rt?AME中, cos?MEA ?

∴异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值为

2 4

(3)延长 AB 与 DC 相交于 G 点,连 PG,则面 PAB 与面 PCD 的交线为 PG,易知 CB⊥平面 PAB,过 B 作

BF ? PG于F点, 连CF , 则CF ? PG,
高二数学(理科) 第5页(共 7 页)

? ?CFB为二面角C ? PG ? A的平面角 , 1 ? CB= // AD, 2
? GB ? AB ? a, ?PDA ? 30? , PA ? ? ?PGA ? 30? , ? BF ? 1 a a GB ? , tan BFC ? ? 2, a 2 2 2 2 3 a, AG ? 2a. 3

∴平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的正切值为 2. 解法二: (1)如图建立空间直角坐标系,

1 3 则A(0,0,0), B(a,0,0), E (0, a, a), C (a, a,0), 2 2 2 3 D(0,2a,0), P(0,0, a) 3 1 3 2 3 ? BE ? (?a, a, a), PD ? (0,2a,? a), 2 2 2 1 3 2 3 ? BE ? PD ? (?a) ? 0 ? a ? 2a ? a ? (? ) ? 0, 2 2 2
? BE ? PD
(2)由(1)知, AE ? (0,

1 3 a, a), CD ? (?a, a,0) 2 2

设 AE与CD所成角为? 则 cos? ? AE ? CD | AE | ? | CD | ? 1 3 a?a ? a?0 2 2 2 ? , 4 1 2 3 2 2 2 2 2 0 ? ( a) ? ( a) ? (?a) ? a ? 0 2 2 0 ? (?a) ?
2 4

∴异面直线 AE 与 CD 所成角的余统值为 (3)易知, CB ? AB, CB ? PA, 则 CB ? 平面PAB .

? BC是平面PAB 的法向量.

高二数学(理科)

第6页(共 7 页)

? BC ? (0, a,0). 又设平面PCD的一个法向量为 m ? ( x, y, z ), 则m ? PC, m ? CD.而 PC ? (a, a,? ?由m ? PC ? 0, m ? CD ? 0. ? 2 3 az ? 0, ?ax ? ay ? 得? 3 ?? ax ? ay ? 0. ? ? x ? y, ?? ? z ? 3 y. 令y ? 1, ? m ? (1,1, 3 ) BC ? m | BC | ? | m | 0 ?1 ? a ?1 ? 0 ? 3 0 2 ? a 2 ? 0 2 ? 12 ? 12 ? ( 3 ) 2 a a? 5 5 . 5 设向量BC与m所成角为? , 则 cos? ? ? ? ? 2 3 a ), CD ? (? a, a,0), 3

? tan? ? 2.
∴平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的正切值为 2. 19.解: (1) {an } 是各项为正数的等比数列,且 a1a3 ? 2a2 a4 ? a3 a5 ? 100

∴ a2 2 ? 2a2 a4 ? a4 2 ? 100,

(a2 ? a4 ) 2 ? 1 0 0 即: a2 ? a4 ? 10 ?a 2 ? 2 ? a 2 ? 8 ? a 2 ? a 4 ? 10 由 ? 或? ?? 2 ?a 2 a 4 ? 4 ? 16 ? a 4 ? 8 ?a 4 ? 2 ?a 2 ? 2 a 2 ① 当 ? 时, q ? 4 ? 4 ? q ? 2(q ? ?2 舍去) , an ? a2 q n?2 ? 2n?1 a2 ?a4 ? 8
② 当 ?

?a2 ? 8 a 1 1 1 2 时, q ? 4 ? ? q ? (q ? ? 舍去) , an ? a2 q n?2 ? 25?n a ? 2 a 4 2 2 ? 4 2

(2)若 0 ? q ? 1 ,则: an ? a2 q n?2 ? 25?n

log2 an ? 5 ? n bn ? an log2 an ? (5 ? n) ? 25?n


S n ? 4 ? 2 4 + 3 ? 23 ? 2 ? 2 2 ? ? ? (5 ? n) ? 25?n
4 ? 2 3 + 3 ? 2 2 ? 2 ? 21 ? ? ? (5 ? n) ? 2 4?n
4

2 ?1 S n ?

两式相减得: 2 ?1 S n ? 4 ? 2 ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 2 1

5? n

) ? (5 ? n) ? 2 4?n

? 64 ?

2 3 (1 ? 21?n ) ? (5 ? n) ? 2 4?n 1 ? 2 ?1
第7页(共 7 页)

高二数学(理科)

S n ? 96 ? (n ? 3) ? 25?n
20. 解: (1)∵ f (?1) ? 0 , ∴ a ? b ?1 ? 0 , ------(1 分) 又 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立, ∴? (2 分) ,∴ b 2 ? 4(b ? 1) ? 0 ,∴ b ? 2, a ? 1 ------(3 分).
2 ? ( x ? 0) ?( x ? 1) ∴ f ( x) ? x ? 2x ? 1 ? ( x ? 1) . ∴ F ( x ) ? ? ------(4 分) 2 ? ??( x ? 1) ( x ? 0)

?a ? 0
2 ?? ? b ? 4 a ? 0

-------

2

2

(2) g ( x) ? f ( x) ? kx ? x2 ? 2x ? 1 ? kx ? x2 ? (2 ? k ) x ? 1 ------(5 分)

? (x ?

k?2 k?2 2?k 2 (2 ? k ) 2 ? 2或 ? ?2 时,------(7 分) ) ?1? ,当 2 2 2 4

即 k ? 6 或 k ? ?2 时, g( x ) 是单调函数. ------(8 分)
2 (3) ∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f ( x) ? ax ? 1, ------(9 分)
2 ? ?ax ? 1 ( x ? 0) F ( x) ? ? ------(10 分) , 2 ? ? ax ? 1 ( x ? 0 ) ?

∵ m ? n ? 0, 设 m ? n , 则 n ? 0 . 又 m ? n ? 0, m ? ?n ? 0, ∴ | m | ? | ?n | , ------ ( 12 分 ) F (m) +

F (n) ? f (m) ? f (n) ? (am2 ? 1) ? an2 ? 1 ? a(m2 ? n 2 ) ? 0 ,∴ F (m) + F (n) 能大于零. ------(14 分)
21.解答: (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 2 分 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ? y B O .① E D A

F x

2 1 ? 4k 2

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k
解得 k ?

2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2

2 化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,

2 3 或k ? . 6 分 3 8

(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为

高二数学(理科)

第8页(共 7 页)

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

.9 分

又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

1 1 S ? AB (h1 ? h2 ) ? 2 2
当 2k ? 1 ,即当 k ?

5

4(1 ? 2k )

1 ? 4k 2 ? 4 k ≤2 2 , ?2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 5(1 ? 4k 2 )
2(1 ? 2k )
12 分

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S? S ? S △B E F △

AEF

? x2 ? 2 y2 9 分

? ( x2 ? 2 y2 ) 2

2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2

2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 )

?2 2,

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .

12 分

高二数学(理科)

第9页(共 7 页)


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