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广东省广州市2015-2016学年高二学业水平测试数学试题(含解析)


2015-2016 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 2015 年 12 月 24 日
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分. 1.已知集合 M = {-1, 0,1}, N ? x | x 2 ? x ,则 M ? N =() A. {1} B. {0,1} C. {-1, 0} D. {-1, 0,1}

?

?

2.已知等比数列 {an } 的公比为 2,则

a4 值为() a2
C. 2 D.4

A.

1 4

B.

1 2

3.直线 l 过点 (1, -2) ,且与直线 2 x + 3y - 1 = 0 垂直,则 l 的方程是() A. 2 x + 3y + 4 = 0 B. 2 x + 3y - 8 = 0 C. 3x - 2 y - 7 = 0 D. 3x - 2 y - 1 = 0

4.函数 f ( x ) = ? ÷ - x + 2 的零点所在的一个区间是() A. ( -1, 0) B. ( 0,1) C. (1, 2) D. ( 2, 3)

?1? è2?

x

[来源:Zxxk.Com]

5.已知非零向量 与 的方向相同,下列等式成立的是() A. C. B. D.

6.要完成下列两项调查: (1)某社区有 100 户高收入家庭,210 户中等收入家庭,90 户低收入家庭, 从中抽取 100 户调查消费购买力的某项指标;(2)从某中学高二年级的 10 名体育特长生中抽取 3 人调查学习负担情况,应采取的抽样方法是() A.(1)用系统抽样法,(2)用简单随机抽样 法 B.(1)用分层抽样法,(2)用系统抽样法 C.(1)用分层抽样法,(2)用简单随机抽样法 D.(1)(2)都用分层抽样法

1

? x ? 1 ? 0, ? 7.设 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 0, ,则 z = x - y 的最大值为() ? x ? y ? 3 ? 0, ?
A. 3 B.1 C. ? 1 D. ? 5 8.某几何体的三视图及其尺寸图,则该几何体的体积为()

A. 6 9.函数 f ( x ) =

B. 9

C. 12

D. 18

?p ? 1 - cos2 ? - x ÷的单调增区间是() è4 ? 2

A. ê2 kp -

é ?

p

pù , 2 kp + ú, k ? Z 2 2?
, kp + 3p ù ú, k ? Z 4?

B. ê2 kp +

é ?

p
2

, 2 kp +

3p ù ú, k ? Z 2?

C. êkp +

é ?

p
4

D. êkp -

é ?

p

pù , kp + ú, k ? Z 4 4?

10.设 a > 1, b > 2 且 ab = 2a + b 则 a + b 的最小值为() A. 2

2

B. 2

2 +1

C. 2

2 +2

D. 2

2 +3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11.不等式 x 2 - 3x + 2 < 0 的解 集是__________.

12.已知角 q 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边为射线 l : y = - 2 x ( x ? 0) ,则

cosq 的值是__________.
13. 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 入 x ? 1 , 则 输 出 y 的 值 是 __________ 。

2

14.若函数 f ( x ) = loga ( x + m) + 1 ( a > 0 且 a ? 1)恒过定点 ( 2, n) ,则 m + n 的值为__________. 15、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a ? 10, b ? 8, A ? 60? . (1)求 sin B 的值; (2)求 cos C 的值.

16、甲,乙两组各 4 名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛,他们答对的题 目个数用茎叶图表示, 如图, 中间一列的数字表示答对题目个数的十位数, 两边的数字表示答对题 目 个数的个位数. (1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差; (2)分别从甲,乙两组中各抽取一名同学,求这两名同学答对题目个数之和为 20 的概率.

17、设 Sn 为数列 ?an ?的前 n 项和,且 Sn ? n2 ? n ? 1 ,n ? N * . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an an ?1 ?

18、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PC ? 5,PB ? 4,AB ? BC ? 2 3, ?ACB ? 30? .

3

(1)求证: AC ? PB ; (2)求三棱锥 P ? ABC 的体积.

19、已知圆 C 的圆心为点 C ?0, 3? ,点 R 3,2 在圆 C 上,直线 l 过点 A??1, 0? 且与圆 C 相交于 P, Q 两点,点 M 是线段 PQ 的中点. (1)求圆 C 的方程; (2)若 AM ? AC ? 9 ,求直线 l 的方程.

?

?

20、已知点 A, B 是函数 y ? 2 x ?x ? ?1,1 ?图像上的两个动点, AB // x 轴,点 B 在 y 轴的右侧,点

?

?

M ?1, m??m ? 2? 是线段 BC 的中点.
(1)设点 B 的横坐标为 a , ?ABC 的面积为 S ,求 S 关于 a 的函数解析式 S ? f ?a ? ; (2)若(1)中的 f ?a ? 满足 f ?a ? ?

m2 ? 2m k ? 1 对所有 a ? ?0,1? , m ? ?4,???恒成立,求实数 6

k 的取值范围.

4

2015 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案
二、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分。
2

1. 【答案】B 【解析】 N : x ? x ? 0 ? x ? x ?1? ? 0 ? N ? ?0,1 ? ,\ M ? N = {0,1}. 3 + 4 + c = 0 2. 【答案】D 【解析】

a4 2 = q =4 a2

3. 【答案】C 【解析】设直线 l : 3x ? 2 y ? c ? 0 因为 (1, -2) 在直线上,代点到直线方程得:

? c ? ?7
4. 【答案】D
2 3 ? 1 ?1 ? ? 1 ? ?? 1 ? 【解析】 f ? 2 ? ? f ? 3? ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? 0 ?2? ? ?? 2 ? ? 4 ?8 ? ?

5. 【 答案】A 6. 【答案】C 7. 【答案】B 【解析】y = x - z ,作 l0 : y = x ,当 l0 移至 l1 , l2 两直线交点 H 时截距 ?z 最小, 即 z 最大,H (?1, ?2) ,

zmax = -1 + 2 = 1

8.【答案】A 【解析】 VS ? ABCD ?

1 1 S ABCD ? SB ? ? ? 2 ? 3? ? 3 ? 6 3 3

5

9.【答案】C

?? ? 1 ? cos ? ? 2 x ? 1 ? 1 ?2 ? ? ? 1 sin 2 x , 2 ?? 【解析】 f ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? ? 2 2 2 ?4 ? 2
即求

1 sin 2 x 的单调递减区间: 2
2 k? ? k? ?

?
2

? 2 x ? 2 k? ?

?
4

? x ? k? ?

3? ,k ?Z 4

3? ,k ?Z 2

10.【答案】D

? ab ? 2a ? b 2a ? b 2 1 ? ? ab b a ? 2 1 ? 2a b 【解析】 a ? b ? ?a ? b ?? ? ? ? ? ?3 ?b a? b a 2a b ? ? 0, ? 0 b a 2a b 2a b ? ? ? 2 2 ,? ? ?3? 2 2 ?3 b a b a ?1 ?
当且仅当

? ? a ? 2 ?1 ? 1 b 满足, = 2, b = 2 a 时符号成立,即 ? a ? ?b ? 2 ? 2 ? 2

则最小值为 2

2 + 3。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11.【答案】 (1, 2) 【解析】 x ? 3 x ? 2 ? 0,? ? x ? 2 ?? x ? 1? ? 0,? x 1 ? x ? 2
2

?

?

12.【答案】 -

3 3

【解析】终边在: y ? ? 2 x ? x ? 0 ? ,? cos ? ? 0

? tan ? ? ? 2 3 ? ? cos ? ? ? ? 2 2 3 ? ?sin ? ? cos ? ? 1

6

13.【答案】7 【解析】 x = 1, y = 5 - 2 ? 1 = 3, 3 - 1 > 5 ,否

x = 3, y = 5 - 2 ? 3 = -1, -1 - 3 > 5 ,否

x = -1, y = 5 - 2 ? (-1) = 7, 7 - (-1) > 5,是, y ? 7
14.【答案】0 【解析】 f ( x ) = loga ( x + m) + 1 过定点 ( 2, n) ,则 loga ? 2 ? m? ?1 ? n ,恒成立,

ì 2 + m =1 ì m = -1 ? \í ?í \m + n = 0 ? ? n =1 ? 1= n
a b ? sin A sin B

15.【答案】解:(1)由正弦定理得,

? a ? 10, b ? 8, A ? 60?

? sin B ?

b sin A 2 3 ? a 5 2 3 ,且 a ? b 5 13 5

(2)由(1)得, sin B ?

? cos B ? 1 ? sin 2 B ?
又? A ? 60?

? sin A ?

3 1 , cos A ? 2 2

? cos C ? ? cos ? A ? B ? ? sin A sin B ? cos A cos B ? ? 3 2 3 1 13 ? ? ? 2 5 2 5 6 ? 13 10

7

16.【答案】解:(1)由图可得,甲组答对题目的个数:8,9,11,12

? x甲 ?
2 S甲 ?

8 ? 9 ? 11 ? 12 ? 10 4

1 ? 5 2 2 2 2 ? ? 8 ? 10 ? ? ? 9 ? 10 ? ? ?11 ? 10 ? ? ?12 ? 10 ? ? ? ? 2 4 ?

(2)由图可得,乙组答对题目的个数:8,8,9,11 设事件“两名同学答对题目个数之和为 20”为事件 A , 以 ? x, y ? 记录甲, 乙两组同学答对题目的个数, 满足“从甲,乙两组中各抽取一名同学”的事件有:

?8,8? , ?8,8? , ?8,9? , ?8,11? , ?9,8? , ?9,8? , ?9,9? , ?9,11? , ?11,8? , ?11,8? , ?11,9? , ?11,11? , ?12,8? , ?12,8? , ?12,9? , ?12,11? ,共 16 种
满足事件 A 的基本事件为: ?9,11? , ?11,9? , ?12,8? , ?12,8? ,共 4 种

? P ? A? ?

4 1 ? 16 4
1 . 4

答:两名同学答对题目个数之和为 20 的概率为

1 7.【答案】解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, Sn ? n2 ? n ? 1

① ②

Sn?1 ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 1

① ? ② 得: Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1)

an ? (2n ?1) ? 1 ? 2n
但 a1 ? 3 不符合上式,因此: an ? ?

?3, (n ? 1) ?2n,(n ? 2)

(2)当 n ? 1 时, T1 ?

1 1 1 ? ? a1a2 3 ? 4 12

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an an?1 2n ? 2(n ? 1) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

8

?Tn ? ?

1 1 1 1 ? ? ??? a1a2 a2 a3 a3a4 an an ?1

1 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 12 4 ? 2 3 3 4 n n ?1 ? ? 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 12 4 2 n ? 1 5 1 ? ? 24 4(n ? 1)
且 T1 ?

5 1 1 符合上式,因此: Tn ? ? 12 24 4(n ? 1)

18. 【答案】解:(1)证明:取 AC 中点 D ,连接 PD 、 BD 在 ? ABC 中: AB ? BC ,

D 为 AC 中点

? BD ? AC
在 ?PAC 中 PA ? PC ,

D 为 AC 中点

? PD ? AC

[来源:Zxxk.Com]

又? BD ? PD ? D , BD 、 PD ? 面PBD

? AC ? 面PBD ? PB ? 面PBD ? AC ? PB
(2)方法一: VP? ABC ? VP? ABD ? VP?BCD

? VA?PBD ? VC ?PBD

[来源:学科网]

在 ?ABC 中, AB ? BC , ?ACB ? 30 ,
0

D 是 AC 中点

? BD ? 3 , AD ? DC ? 3
在 ?PCD 中, PD ? DC , PC ? 5 , DC ? 3

? PD ? 4

1 3 183 ? S?PBD ? ? 42 ? ( ) 2 ? 3 ? 2 2 4

9

1 VA? PBD ? ? S?PBD ? AD 3 1 183 ? ? ?3 3 4 ? 183 4

又 VC ? PBD ? VA? PBD ?

183 4
183 2

?VP ? ABC ? VA? PBD ? VC ? PBD ?
(2)方法二:取 BD 中点 M ,连接 PM 由(1)可知 AC ? 面PBD 又? PM ? 面PBD

? AC ? PM
在 ?ABC 中,? AB ? BC , ?ACB ? 30 ,
0

D 是 AC 中点

? BD ? 3 , AD ? DC ? 3
在 ?PCD 中,? PD ? DC , PC ? 5 , DC ? 3

? PD ? 4 ? PBD 为等腰三角形 ? PM ? BD
又? AC ? BD ? D , AC、BD ? 面ABC

? PM ? 面ABC , 即 PM 为三棱锥 P ? ABC 的高 h
易得 PM ?

61 2
1 S ?ABC h 3

?VP ? ABC ?

1 1 61 ? ? ? 6? 3 ? 3 2 2 183 ? 2

10

19. 【答案】解:(1) R ? 2 ,圆的方程为 x2 ? (y? 3)2 ? 4 (2)方法一:① k 不存在时

x ? ?1 ,则 P(?1,3 ? 3) , Q(?1,3 ? 3) , M(?1,3)

???? ??? ? 显然有 AC ? AB =9
② k 存在时 设 y ? k ( x ? 1) ∴ l 的方程为 y ? kx ? k

P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 )

???? ? ??? ? ∴ AC ? (1,3) , AM ? ( x0 ?1, y0 )
∴有 x0 ? 1 ? 3 y0 ? 9 即
x1 ? x2 y ? y2 ?1? 3? 1 ?9 2 2

? y ? kx ? k 联立 ? 2 2 ? x ? ( y ? 3) ? 4
则 (1 ? k 2 ) x2 ? (2k 2 ? 6k ) x ? k 2 ? 6k ? 5 ? 0 ∴ x1 ? x2 ?
6k ? 2k 2 6k 2 ? 2k 3 y ? y ? ? 2k , 1 2 1? k 2 1? k 2

∴ x0 ?

x1 ? x2 3k ? k 2 y1 ? y2 3k 2 ? k 3 ? y ? ? ?k , 0 2 1? k 2 2 1? k 2

代入方程: x0 ? 1 ? 3 y0 ? 9 得:

3k ? k 2 3k 2 ? k 3 ? 1 ? 3[ ? k] ? 9 1? k 2 1? k 2

解得: k ?

4 3

综上所述, l 的方程 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0

11

方法二: AM ? AC ? AM ? ( AM ? MC) ? AM ? AM ? MC ? AM ? AM ? MC

2

2

? M 是线段 PQ 的中点,

???? ? ???? ? ? 根据垂径定理,即 CM ? PQ ,即 AM ? MC ? 0

? AM ? 9,? AM ? 3,
CA ? 12 ? (3 ? 0) 2 ? 10
在 Rt ?ABC 中, CM ?

2

CA ? AM ? 10 ? 9 ? 1

2

2

①若 k 存在时,设直线 l 为 y ? 0 ? k ( x ? 1) 即 kx ? y ? k ? 0 圆心 C (0,3) 到直线 l 的距离 d ?

?3? k k ?1
2

? 1 ,解得 k ?

4 3

? 直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0
②若 k 不存在时,过 A(?1,0) 的直线为 x ? ?1 也满足 C (0,3) 到直线 x ? ?1 的距离为 1 . 综上所述,直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 x ? 1 ? 0 . 方法三: A(?1,0) , C (0,3) ,设点 M ( x0 , y0 ) ,则:

???? ? ???? ? ??? ? AC ? (1,3) , AM ? ( x0 ?1, y0 ) , CM ? ( x0 , y0 ? 3)
由题意得: AM ? AC ? x0 ? 1 ? 3 y0 ? 9 ,得 x0 ? 8 ? 3 y0 ① 又因为 M 是弦 PQ 的中点,因此 AM ? CM ,

???? ? ??? ?

???? ?

???? ?

???? ? ???? ? AM ? CM ? x0 ( x0 ?1) ? y0 ( y0 ? 3) ? 0 ,将①式代入,得:
(8 ? 3 y0 )(9 ? 3 y0 ) ? y0 ( y0 ? 3) ? 0 ,整理得:
[来源:学科网]

( y0 ? 3)(10 y0 ? 24) ? 0 ,解得: y0 ? 3 或 y0 ?
得 M 的坐标为 (?1,3) ,或 ( ,

12 5

4 12 ) ,因此直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 x ? 1 ? 0 . 5 5

12

20. 【答案】解:(1)设 B(a,2a), A(?a,2a), M (1, m),则C (2 ? a,2m ? 2a)

1 ? S ? f (a) ? ? 2a ? (2m ? 2a ? 2a) ? ?4a 2 ? 2ma . 2
(2)由f (a) ?

m2 m2 ? 2m k ? 1得 ? 4a 2 ? 2m a ? ? 2m k ? 1 6 6
m m ,? m ? 4,? ? 1, 4 4

f (a) ? ?4a 2 ? 2ma的对称轴为 a ?

?在a ? (0,1]上的最大值为? 4 ? 2m ,
? ?4 ? 2m ? m2 ? 2m k ? 1恒成立 , 6

? 2m k ?

m2 m 3 ? 1 恒成立. ? 2m ? 3 恒成立,即 k ? ? 12 2m 6

?

m 3 2 当且仅当 m ? 3 2 时成立, ? ? 12 2m 2 2 ? 1. 2

?k ?

13


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