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吉林省吉林市普通高中2014届高三上学期期末复习检测数学(文)试题


吉林市普通高中 2013—2014 学年度高中毕业班上学期期末复习检测

数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷 上答题无效。 注意事项: 1、答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形 码上的准考证号,并将条形码 粘贴在答题卡指定的位置上。 2、选

择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卡面清洁,不折叠、不破损。
[来源:学科网]

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)
N=

一.选 择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 已 知集合 M ? ?5,6,7,8,9? 和 N ? ?1,3,5,7,9,11? ,则 M A. C.

?5,7,9? ?1,3,5?
1 i

B. D.

?1,3,5,7,9?
?

2. 复数 i ? ? A. C.

2i
0

B. D.

? 2i

i 2

3. 一项射击实验的标靶为圆形.在子弹命中标靶的前提下,一次射击能够击中标靶的 内接正方形的概率是 A. C.

50% 0.2?

B.

3

? 2 D. ?

4. 执行如图所示的程序框图,若每次分别输入如下四个函数: ① f ( x) ? x ? 1 ;
?1, x ? 0 ② f ( x) ? ? ; ??1, x ? 0

③ f ( x) ? x ? x ?1 ; ④ f ( x) ? lg x . 则输出函数的序号为 A. ① B. ② C. ②③
1

D.

①④

5. 已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a4 ? a10 ? A.
? 3

4? ,则 tan a7 的值为 3
C.
? 3

B.

3

D.

?

3 3

6. 已知曲线 C: x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 与直线 L: y ? 2 ? k ( x ? 2) ,则 C 与 L 的公共点 A. 有 2 个 B. 最多 1 个 C. 至少 1 个 D. 不存在

E 为棱 BB1 的中点(如图 1) 7. 正方体 ABCD ? A ,用过点 A, E, C1 的平 1B 1C1D 1中
面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为
A D B

C

E

A1 D1 C1

B1

图1 A. B. C.

D.

8. 设函数 f ( x ) ? sin(2 x ? A. B. C. D.

?
3

) ,则下列结论正确的是

f ( x) 的图像关于直线 x ?

?
3

对称

f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称 4 f ( x) 的最小正周期为 ? f ( x) 在 [0, ] 上为增函数 6

?

?

9. 已知等边 ?ABF 的顶点 F 是抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 的焦点,顶点 B 在抛物线的准 线 l 上且 AB ⊥l,则点 A 的位置 A. 在 C1 开口内 C. 在 C1 开口外 B. 在 C1 上 D. 与 p 值有关

2

10. 已知正数 a , b 满足 4a+b=30 ,使得 A.(5,10) B. (6,6)

1 1 ? 取最小值的实数对 ( a, b) 是 a b
C. (10,5) D. (7,2)

11. 设函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)( x ? d ) 其中 a ? b ? c ? d ,则 f ?( x) ? 0 有 A. 分别位于区间 (a, b),(b, c),(c, d ) 内的三个根 B. 四个不等实根 C. 分别位于区间 (??, a),(a, b),(b, c),(c, d ) 内的四个根 D. 分别位于区间 (??, a),(a, b),(b, c) 内的三个根 12. 关于 x 的方程 e
x ?1

? kx ? 0 (其中 e ? 2.71828 是自然对数的底数)的有三个不

同实根,则 k 的取值范围是 A. C. {-2,0,2} { k | k ?1}
2

B. (1,+∞) D. {k |k > e}

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二. 填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分)

?x ? y ? 5 ? 0 ? 13. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? x 的 最小值为 ?x ? 3 ? 0 ?
14.若 A、B、C、D 四点共线,且满足 AB ? (3a, 2a)(a ? 0) , CD ? (2, t ) ,则

.

t?

.

15. 若 ? 为锐角,且 cos(? ?

?
6

)?

3 ? ,则 sin(2? ? ) ? 5 3
.(只填序号)

.

16. 下列说法正确的是

① 函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的交点个数为 0 或 1; ② “ a ? c ? b ? d ”是“ a ? b 且 c ? d ”的充分而不必要条件; ③ 命题“存在 x ? R ,使得 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R ,都有 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”.
2 2

3

三. 解答题 17. ( 本小题满分 10 分 ) 已知 A、B、C 为△ ABC 的三个内角,且其对边分别为 a、b、c . 若

p ? (2cos

B B B B ,sin ), q ? (cos , ?2sin ), 且 p q ? ?1 . 2 2 2 2

(I) 求B ; ( II ) 若 b ? 2 3 ,三角形面积 S ?

3 ,求 ac 、 a ? c 的值.

[来源:学科网]

18.

(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an an ?1 ?

4

19.(本小题满分 12 分) 某河流上的一座水利发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河 流上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关。据统计,当 X=70 时,Y=460; X 每增加 10,Y 增加 5. 已知近 20 年的 X 值为: 140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220 , 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. (I)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

4 20

3 20

(II) 求近 20 年降雨量的中位数和平均降雨量; (III)假定 2014 年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并 将频率视为概率,求 2014 年六月份该水力发电站的发电量不低于 520(万 千瓦时)的概率.

5

20. (本题满分 12 分)

D ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , 如图,在四棱锥 P ? A B C 中,
PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 2 .
( I ) 求证: CE ∥平面 PAB ; ( II ) 求四面体 PACE 的体积.
[来源:学 &科&网]

P

E A B C D

6

21.

(本小题满分 12 分) 已知圆锥曲线 C 的焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为 ( I ) 求曲线 C 的标准方程; ( II ) 若曲线 C 的一条切线 l 交 x、y 轴正半轴交于 A, B 两点,求 S?AOB 的最小值和此时直线 l 的方 程.

3 ,其上的动点 P 满足 | PF 1 | ? | PF 2 |? 4 , 2

[来源:学科网 ZXXK]

22.

(本小题满分 12 分)

7

已知函数 f ( x) ? ln x ( 1) 若直线 y ? kx ? 1 与函数 f ( x) 的图象相切,求实数 k 的值; (2) 若函数 g ( x) ? f (ee ) , a ? b ,试证明
x

g (a ) ? g (b) g (b) ? g (a ) > . 2 b?a

[来源:Zxxk.Com]

8

吉林市普通中学 2013—2014 学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测

数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题 AADDA CCCBA AC 二、填空题: 13:-9 ; 14:

4 24 ; 15: ; 16: (1)(3) 3 25

17 、答案:解:(1)

p ? (2cos

B B B B ,sin ), q ? (cos , ?2sin ), 2 2 2 2
(2 分)

? p q ? 2cos 2

B B ? 2sin 2 ? 2cos B , 2 2 1 ,又 B ? (0, ? ) 2

又 p q ? ?1

? cos B ? ?
2? . 3

(3 分)

?B ?

(4 分)

(2)

S

ABC

?

1 3 ac sin B ? ac ? 3 , 2 4
2 2 2 2

? ac ? 4,
2

(6 分)

由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac 又 b ? 2 3 , ac ? 4,

(8 分) (10 分)

?16 ? (a ? c)2 ,故 a ? c ? 4 .

18、答案:1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ;

(1 分)
2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2n ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? ? 2n ? 1
2

?

?

?

?

(3 分)

对 a1 =3 仍成立。

(4 分) (5 分) (7 分)

所以,数列 {an } 的通项公式: an ? 2n ? 1 2)由 1)知

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ??? ? ??? ? ?? 2? ?? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 7 9 ?

所以, Tn ?

1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? 2n ? 1 2 n ? 3 ? ?

1?1 1 ? n ? ? ? ?? 2 ? 3 2n ? 3 ? 6n ? 9
3 7 2 , , 20 20 20

(12 分)

19、19 答案:1)

(3 分)
9

2)中位数是 160

(4 分)

1 平均降雨量 x ? ? 70 ? 110 ? 3 ? 140 ? 4 ? 160 ? 7 ? 200 ? 3 ? 220 ? 2 ? ? 156 (6 分) 20 1 X? B 3)由已知可设 Y ? 2
因为,X=70 时 Y=460 所以,B=425 所以, Y ?

1 X ? 425 2

(9 分)

当 Y ? 520 时,X ? 190 所以,发电量不低于 520(万千瓦时)包含降雨量 200 和 220 两类,它们彼此互斥 所以,发电量低于 520(万千瓦时)的概率 P ? 法二:P( “发电量不低于 520 万千瓦时” ) =P(Y ? 520)=P(X ? 190) =P(X=200)+P(X=220)=

(11 分) (12 分)

3 2 1 ? ? 20 20 4
(9 分) (11 分)

3 2 1 ? ? 20 20 4

故今年六月份该水利发电站的发电量不低于 520(万千瓦时)的概率为:

1 4

(12 分)

20、答案: 答案:1) 法一: 取 AD 得中点 M,连接 EM,CM. 则 EM//PA 因为 EM ? 平面PAB, PA ? 平面PAB,
P

所以, EM / /平面PAB

(2 分)
E

在 Rt ACD 中, ?CAD ? 60?, CM ? AM 所以, ?ACM ? 60? 而 ?BAC ? 60? ,所以,MC//AB.
A

D

(3 分)

B C

M

因为 MC ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, 所以, MC / /平面PAB 又因为 EM (4 分)
P

MC ? M

所以, 平面EMC / /平面PAB 因为 EC ? 平面EMC, 所以,EC / /平面PAB 法二: 延长 DC,AB,交于 N 点,连接 PN.
B C E

(6 分)
A D

因为 ?NAC ? ?DAC ? 60?, AC ? CD 所以,C 为 ND 的中点. 因为 E 为 PD 的中点 (3 分)
N

10

所以,EC//PN 因为 EC ? 平面PAB, PN ? 平面PAB,

所以,EC / /平面PAB
2)

(6 分)

法一:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ? 平面ABCD 所以, PA ? CD 又因为 CD ? AC, AC (8 分)

(7 分)

PA ? A
(10 分)

所以, CD ? 平面PAC 因为 E 是 PD 的中点 所以点 E 平面 PAC 的距离 h ?

1 CD ? 3 2

S

PAC

?

1 ? 2? 2 ? 2 2

所以,四面体 PACE 的体积 V ?

1 S 3

PAC

1 2 3 ? h ? ? 2? 3 ? 3 3

(12 分)

法二:由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 2 3 因为, PA ? 平面ABCD 所以, VP ? ACD ?

1 S 3

ACD

1 4 3 ? PA ? ? 2 ? 2 3 ? 3 3

(10 分)

因为 E 是 PD 的中点 所以,四面体 PACE 的体积 V ?

1 2 3 VP ? ACD ? 2 3

(12 分)

21 (1)

x2 ? y2 ? 1 4

(3 分)

说明 求 a、c、b 各一分

(2)由已知直线 l 的斜率存在且不为 0,l 交 x、 y 轴正半轴交于 A、 B 两点可设方程为 y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0) (4 分)

? y ? kx ? b ? 2 消去 y 得 ?x 2 ? y ? 1 ? ?4

2 (4 k 2 ? 1x )2 ? 8 kbx ? 4 b? 4 ? 0 (6 分)

? ? 64k 2b2 ? 4(4k 2 ? 1)(4b2 ? 4) ? 0

?b2 ? 4k 2 ? 1
11

(8 分)

S ?AOB ?

1 b 1 b2 1 1 1 ? b ? ? 4k ? ? 2k ? ?2 2 k 2 k 2 k 2k

(9 分)

当且仅当 2k ?

1 1 (k ? 0),即k ? ? 时等号成立,此时 b ? 2 (11 分) 2k 2
1 x? 2 2
(12 分)

直线 l 的方程 y ? ?

?AOB面积的最小值为2 .

22 (1)

f ( x) ? ln x ? f ?( x) ?

1 ( x ? 0) x

(1 分)

直线 y ? kx ? 1 与函数 f ( x) 的图象相切,可设切点坐标( x0 , y0 )

? f ?( x0 ) ?

1 1 ? k ( x0 ? 0) 可得 x0 ? 代入 y ? kx ? 1 解出 y0 ? 2 k x0

(3 分)

将切点坐标代入 f ( x) ? ln x 得 f ( ) ? ln

1 k

1 ?2 k

?k ?

1 e2

(5 分)

(2) g ( x) ? f (ee ) ? ln ee ? ex

x

x

(6 分)

?

g (a) ? g (b) g (b) ? g (a) ea ? eb eb ? ea (b ? a)(ea ? eb ) ? 2(eb ? ea ) ? ? ? ? 2 b?a 2 b?a 2(b ? a)
[(b ? a)(1 ? eb?a ) ? 2(eb?a ? 1)]e? a ? 2(b ? a) ?
说明

[(b ? a)e(b?a ) ? 2e(b?a ) ? (b ? a) ? 2]e? a 2(b ? a)

(7 分)

可以不是这个结构 整理正确就可以赋相同分值

b ? a且e? a ? 0 ?
令t ? b ? a
t t

e? a ?0 2(b ? a)
说明

(8 分)

可以不进行等量代换。构造其他函数结构正确得 1 分,整理分析函数性质 正确再 得 2 分 应用性质并写清结论再得 1 分

设 h(t ) ? te ? 2e ? t ? 2(t ? 0)

? h?(t )? tet ? et ? 1 t (?

(9 分) 0)

设m(t ) ? tet ? et ? 1(t ? 0)

?m?( t ) ? tt e ? 0 ( t? 0 ) (10 分)

? m(t ) 在 t ? (0, ??) 上单调递增,又 m(0) ? 0 ? m(t ) ? 0即h?(t ) ? 0 在 t ? (0, ??) 恒成立。
12

? h(t ) 在 t ? (0, ??) 上单调递增,又 h(0) ? 0 ? h(t ) ? 0 在 t ? (0, ??) 恒成立。

?
?

[(b ? a)e(b?a ) ? 2e(b?a ) ? (b ? a) ? 2]e? a ?0 2(b ? a)

g (a ) ? g (b) g (b) ? g (a ) ? ?0 2 b?a g (a ) ? g (b) g (b) ? g (a ) 即 a ? b 时, > 2 b?a

(12 分)

13


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