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§4.6 简单的三角恒等变换


§ 4.6

简单的三角恒等变换

1.公式的常见变形 (1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tan_αtan_β); tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tan_αtan_β). (2)sin2α= 1-cos 2α ; 2

1+cos 2α cos2α= ; 2 1 sinαcosα= sin2α.

2 α (3)1+cosα=2cos2 ; 2 α 1-cosα=2sin2 ; 2 α α 1+sinα=(sin +cos )2; 2 2 α α 1-sinα=(sin -cos )2. 2 2 2.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ), 其中 sin φ= 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=3sinx+4cosx 的最大值是 7.( × ) (2)设 α∈(π,2π),则 1-cos?π+α? α =sin .( × 2 2 ) ) b a . 2,cos φ= 2 a +b a +b2
2

(3)在非直角三角形中有:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.( √ 5π 1 θ 15 (4)设 <θ<3π,且|cosθ|= ,那么 sin 的值为 .( × ) 2 5 2 5

(5)公式 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的值无关.( × ) π π 3 (6)函数 f(x)=cos2x+ 3sinxcosx 在区间[- , ]上的最大值为 .( √ 4 3 2 )

sin2αcosα-sinα 1.化简: 等于( cos2α A.-sinα C.sinα 答案 C

) B.-cosα D.cosα

2sinα· cos2α-sinα sinα?2cos2α-1? 解析 原式= = cos2α cos2α =sinα. 1 α 2.已知 cosα= ,α∈(π,2π),则 cos 等于( 3 2 A. C. 6 3 3 3 B.- D.- 6 3 3 3 )

答案 B α π 解析 ∵ ∈( ,π), 2 2 α ∴cos =- 2 1+cosα =- 2 2 6 =- . 3 3 )

π 4 π π 3.如果 α∈( ,π),且 sinα= ,那么 sin(α+ )+cos(α+ )等于( 2 5 4 4 4 2 A. 5 3 2 C. 5 答案 D 3 解析 由已知 cosα=- , 5 π π π π ∴sin(α+ )+cos(α+ )= 2sin(α+ + ) 4 4 4 4 3 = 2cosα=- 2. 5 4.(2014· 上海)函数 y=1-2cos22x 的最小正周期是________. 答案 π 2 4 2 B.- 5 3 2 D.- 5

2π π 解析 由题意 y=-cos4x,T= = . 4 2

题型一 三角函数式的化简求值 θ θ ?1+sinθ+cosθ??sin -cos ? 2 2 (1)化简: (0<θ<π)=________. 2+2cosθ

例1

1 π cos2α (2)已知 sinα= +cosα,且 α∈(0, ),则 的值为________. 2 2 π sin?α- ? 4 答案 (1)-cosθ (2)- 解析 (1)原式 θ θ θ θ θ ?2sin cos +2cos2 ??sin -cos ? 2 2 2 2 2 = θ 4cos2 2 θ θ θ ?sin2 -cos2 ? -cos · cosθ 2 2 2 θ =cos · = . 2 θ θ |cos | |cos | 2 2 θ π 因为 0<θ<π,所以 0< < , 2 2 θ 所以 cos >0,所以原式=-cosθ. 2 1 (2)方法一 ∵sinα= +cosα, 2 1 ∴sinα-cosα= , 2 π 1 ∴ 2sin(α- )= , 4 2 π 2 ∴sin(α- )= . 4 4 π π π π 又∵α∈(0, ),∴α- ∈(- , ), 2 4 4 4 π 14 ∴cos(α- )= , 4 4 π π π 2 14 7 ∴cos2α=-sin[2(α- )]=-2sin(α- )cos(α- )=-2× × =- , 4 4 4 4 4 4 7 - 4 cos2α 14 ∴ = =- . π 2 2 sin?α- ? 4 4 14 2

1 方法二 ∵sinα= +cosα, 2 1 ∴sinα-cosα= , 2 1 ∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα= , 4 3 ∴2sinαcosα= , 4 π ∵α∈(0, ), 2 ∴sinα+cosα= sin2α+cos2α+2sinαcosα = ∴ 3 7 1+ = , 4 2 ?cosα+sinα??cosα-sinα? cos2α = π 2 sin?α- ? ?sinα-cosα? 4 2 14 . 2

=- 2(sinα+cosα)=-

思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特 征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找 式子和三角函数公式之间的共同点. 1+cos2α 1 (1)若 = ,则 tan2α 等于( sin2α 2 5 A. 4 4 C. 3 5 B.- 4 4 D.- 3 )

π 4 π (2)设 α 为锐角,若 cos(α+ )= ,则 sin(2α+ )的值为________. 6 5 12 17 答案 (1)D (2) 2 50 1+cos2α 2cos2α cosα 1 解析 (1) = = = , sin2α 2sinαcosα sinα 2 ∴tanα=2,∴tan2α= 2tanα 4 4 = =- . 3 1-tan2α 1-4

π 4 (2)∵α 为锐角,cos(α+ )= , 6 5 π 3 ∴sin(α+ )= , 6 5 π π π 24 ∴sin(2α+ )=2sin(α+ )cos(α+ )= , 3 6 6 25

π π 7 cos(2α+ )=2cos2(α+ )-1= , 3 6 25 π π π ∴sin(2α+ )=sin(2α+ - ) 12 3 4 = 2 π π 17 2 [sin(2α+ )-cos(2α+ )]= . 2 3 3 50

题型二 三角函数的求角问题 例2 3π A. 4 π C. 4 (1)已知锐角 α,β 满足 sinα= 5 3 10 ,cosβ= ,则 α+β 等于( 5 10 )

π 3π B. 或 4 4 π D.2kπ+ (k∈Z) 4

π π α (2)已知函数 f(x)=tan(2x+ ),若 α∈(0, )且 f( )=2cos2α,则 α=________. 4 4 2 π 答案 (1)C (2) 12 解析 (1)由 sinα= 5 3 10 2 5 10 ,cosβ= 且 α,β 为锐角,可知 cosα= ,sinβ= , 5 10 5 10

2 5 3 10 5 10 2 故 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × = , 5 10 5 10 2 π 又 0<α+β<π,故 α+β= . 4 α (2)由 f( )=2cos2α, 2 π 得 tan(α+ )=2cos2α, 4 π sin?α+ ? 4 =2(cos2α-sin2α), π cos?α+ ? 4 sinα+cosα 整理得 =2(cosα+sinα)(cosα-sinα). cosα-sinα π ∵α∈(0, ),∴sinα+cosα≠0. 4 1 1 ∴(cosα-sinα)2= ,即 sin2α= . 2 2 π π 由 α∈(0, ),得 2α∈(0, ), 4 2 π π ∴2α= ,即 α= . 6 12 思维升华 (1)由三角函数值求角,一定要考虑角的范围;(2)通过求角的某种三角函数值来求

角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数 π? 值,选正弦或余弦函数;若角的范围是? ?0,2?,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选 π π? 余弦较好;若角的范围为? ?-2,2?,选正弦较好. (1)已知 sinα= 5π π π π A. B. C. D. 12 3 4 6 (2)在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanA· tanB,则 C 等于( π 2π π π A. B. C. D. 3 3 6 4 答案 (1)C (2)A π π 解析 (1)∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< . 2 2 又 sin(α-β)=- 又 sinα= 10 3 10 ,∴cos(α-β)= . 10 10 ) 5 10 ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于( 5 10 )

5 2 5 ,∴cosα= , 5 5

∴sinβ=sin[α-(α-β)] =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β) = 5 3 10 2 5 10 2 × - ×(- )= . 5 10 5 10 2

π ∴β= . 4 (2)由已知可得 tanA+tanB= 3(tanA· tanB-1), tanA+tanB ∴tan(A+B)= =- 3, 1-tanAtanB 2 π 又 0<A+B<π,∴A+B= π,∴C= . 3 3 题型三 三角变换的应用 例 3 已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin2α-tanα 的值; π 2π (2)若函数 f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα,求函数 y= 3f( -2x)-2f2(x)在区间[0, ]上 2 3 的取值范围. 解 (1)∵角 α 终边经过点 P(-3, 3), 1 3 3 ∴sinα= ,cosα=- ,tanα=- , 2 2 3

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα =- 3 3 3 + =- . 2 3 6

(2)∵f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα=cosx, π ∴y= 3cos( -2x)-2cos2x 2 = 3sin2x-1-cos2x π =2sin(2x- )-1, 6 2π ∵0≤x≤ , 3 4π ∴0≤2x≤ , 3 π π 7π ∴- ≤2x- ≤ , 6 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x- )≤1, 2 6 π ∴-2≤2sin(2x- )-1≤1, 6 π 2π 故函数 y= 3f( -2x)-2f2(x)在区间[0, ]上的取值范围是[-2,1]. 2 3 思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点,解题时要注意观察角、式子 间的联系,利用整体思想解题. π (1)函数 f(x)= 3sinx+cos( +x)的最大值为( 3 1 A.2B. 3C.1D. 2 π (2)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是________. 4 答案 (1)C (2)π π π 解析 (1)f(x)= 3sinx+cos cosx-sin sinx 3 3 1 3 π = cosx+ sinx=sin(x+ ).∴f(x)max=1. 2 2 6 (2)f(x)= = 2 2 sin2x- cos2x- 2(1-cos2x) 2 2 )

2 2 π sin2x+ cos2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4

2π ∴T= =π. 2

二审结论会转换 典例:(12 分)(2013· 山东)设函数 f(x)= π 个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π? (2)求 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值. 审题路线图 (1)求 ω 3 - 3sin2ωx-sinωxcosωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一 2

求 f(x)的周期 T π 对称中心与对称轴的最近距离 = 4 4

T=π

求出 ω=1 3 (2)求 f(x)在[π, π]上的最值 2 π 由(1)得 f(x)=-sin(2x- ) 3 π 3 求 f(x)=-sin(2x- )在[π, π]上的最值 3 2 π 利用换元思想,将 2x- 作为一个整体 3 π 求 2x- 的范围 3 3 由 π≤x≤ π 2 5 π 8 π≤2x- ≤ π 3 3 3 结合正弦函数的图象 -1≤f(x)≤ 规范解答 3 . 2

解 (1)f(x)= = =

3 - 3sin2ωx-sinωxcosωx 2

1-cos2ωx 1 3 - 3× - sin2ωx 2 2 2 3 1 cos2ωx- sin2ωx 2 2

π? =-sin? ?2ωx-3?. 2π π 依题意知 =4× ,ω>0,所以 ω=1.[6 分] 2ω 4 π? (2)由(1)知 f(x)=-sin? ?2x-3?. 3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 所以- π? 3 ≤sin? ?2x-3?≤1. 2 3 .[10 分] 2

所以-1≤f(x)≤

3π 3 π, ?上的最大值和最小值分别为 和-1.[12 分] 故 f(x)在区间? 2? ? 2 温馨提醒 (1)讨论三角函数性质要先利用三角变换将函数化成 y=Asin(ωx+φ)的形式;(2)

π 解题中将 2x- 视为一个整体,可以借助图象求函数最值. 3

方法与技巧 1.三角函数的求值与化简要有联系的观点,注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系, 然后进行变换. 2.利用三角函数值求角要考虑角的范围. 3. 与三角函数的图象与性质相结合的综合问题. 借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析 式整理为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后借助三角函数图象解决. 失误与防范 1.利用辅助角公式,asinx+bcosx 转化时一定要严格对照和差公式,防止搞错辅助角. 2.计算形如 y=sin(ωx+φ), x∈[a,b]形式的函数最值时,不要将 ωx+φ 的范围和 x 的范围混 淆.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) π? 2 1.(2013· 课标全国Ⅱ)已知 sin2α= ,则 cos2? ?α+4?等于( 3 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 答案 A π π α+ ? 1+cos?2α+ ? 1+cos2? 4 2? 1-sin2α ? ? ? π π? ? 因为 cos ? = = ,所以 cos2 ? ?α+4? = ?α+4? = 2 2 2
2

)

解析

2 1- 3 1 1-sin2α = = ,故选 A. 2 2 6 4 π 2 2.若 sinα= ,则 sin(α+ )- cosα 等于( 5 4 2 2 2 A. 5 4 2 C. 5 答案 A π 2 π π 2 4 2 2 2 解析 sin(α+ )- cosα=sinαcos +cosαsin - cosα= × = . 4 2 4 4 2 5 2 5 1 3.在△ABC 中,tanB=-2,tanC= ,则 A 等于( 3 π A. 4 π C. 3 答案 A 解析 tanA=tan[π-(B+C)] tanB+tanC =-tan(B+C)=- 1-tanBtanC 1 -2+ 3 3π B. 4 π D. 6 ) 2 2 B.- 5 4 2 D.- 5 )

=- =1. 1 1-?-2?× 3 π 又 A 为△ABC 的内角.故 A= . 4

1 10 π π π 4.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为( tanα 3 4 2 4 A.- 2 2 3 2 7 2 B. C. D. 10 10 10 10

)

答案 A 1 10 sinα cosα 10 解析 由 tanα+ = 得 + = , tanα 3 cosα sinα 3 ∴ 1 10 3 = ,∴sin2α= . sinαcosα 3 5

π π π ∵α∈( , ),∴2α∈( ,π), 4 2 2 4 ∴cos2α=- . 5 π π π ∴sin(2α+ )=sin2αcos +cos2αsin 4 4 4 = 2 3 4 2 ×( - )=- . 2 5 5 10 2 ,则 sin4θ+cos4θ 的值为( 3 11 B. 18 D.-1 )

5.已知 cos2θ= 13 A. 18 7 C. 9 答案 B

解析 sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ 1 1 11 =1- sin22θ=1- (1-cos22θ)= . 2 2 18 6.已知 sin(α-45° )=- 答案 4 5 2 ,0° <α<90° ,则 cosα=___________________________. 10

解析 ∵0° <α<90° ,∴-45° <α-45° <45° , 7 2 ∴cos(α-45° )= 1-sin2?α-45° ?= , 10 ∴cosα=cos[(α-45° )+45° ] 4 =cos(α-45° )cos45° -sin(α-45° )sin45° = . 5 π? 2sin x+1 7.设 x∈? ?0,2?,则函数 y= sin2x 的最小值为__________________________________. 答案 3
2

2sin2x+1 2-cos2x 解析 方法一 因为 y= = , sin2x sin2x 2-cos2x π 0, ?, 所以令 k= .又 x∈? ? 2? sin2x 所以 k 就是单位圆 x2+y2=1 的左半圆上的动点 P(-sin2x,cos2x)与定点 Q(0,2)所成直线的斜率. 2sin2x+1 又 kmin=tan60° = 3,所以函数 y= 的最小值为 3. sin2x 2sin2x+1 3sin2x+cos2x 方法二 y= = sin2x 2sinxcosx = 3tan2x+1 3 1 = tanx+ . 2tanx 2 2tanx

π ∵x∈(0, ),∴tanx>0. 2 3 1 ∴ tanx+ ≥2 2 2tanx (当 tanx= 3 1 tanx· = 3. 2 2tanx

3 π ,即 x= 时取等号) 3 6

即函数的最小值为 3. π 8.已知 tan( +θ)=3,则 sin2θ-2cos2θ 的值为________. 4 4 答案 - 5 π 解析 ∵tan( +θ)=3, 4 ∴ 1+tanθ 1 =3,解得 tanθ= . 2 1-tanθ

∵sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1 = = cos2θ-sin2θ 2sinθcosθ - -1 sin2θ+cos2θ sin2θ+cos2θ 1-tan2θ 2tanθ -1 2 - 1+tan θ 1+tan2θ

4 3 4 = - -1=- . 5 5 5 1 5 π π 9.已知 tanα=- ,cosβ= ,α∈( ,π),β∈(0, ),求 tan(α+β)的值,并求出 α+β 的值. 3 5 2 2 解 由 cosβ= 5 π ,β∈(0, ), 5 2

2 5 得 sinβ= ,tanβ=2. 5

tanα+tanβ ∴tan(α+β)= 1-tanαtanβ 1 - +2 3 = =1. 2 1+ 3 π π π 3π ∵α∈( ,π),β∈(0, ),∴ <α+β< , 2 2 2 2 5π ∴α+β= . 4 1 π 10.已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. 3 6 5π (1)求 f( )的值; 4 π π 10 6 (2)设 α,β∈[0, ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. 2 2 13 5 解 (1)由题设知: 5π 5π π π f( )=2sin( - )=2sin = 2. 4 12 6 4 10 π (2)由题设知: =f(3α+ )=2sinα, 13 2 6 π =f(3β+2π)=2sin(β+ )=2cosβ, 5 2 5 3 即 sinα= ,cosβ= , 13 5 π 12 4 又 α,β∈[0, ],∴cosα= ,sinβ= , 2 13 5 ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 12 3 5 4 16 = × - × = . 13 5 13 5 65 B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 11.cos20° cos40° cos60° · cos80° 等于( 1 A. 4 1 C. 16 答案 C sin20° cos20° cos40° cos80° 解析 原式= 2sin20° = sin40° cos40° cos80° 4sin20° 1 B. 8 1 D. 32 )



sin80° cos80° sin160° 1 = = . 8sin20° 16sin20° 16

12.定义运算? π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3 答案 D

?a b?=ad-bc,若 cosα=1,?sinα sinβ ?=3 3,0<β<α<π,则 β 等于( ? ? 7 ? 2 ?c d ? ?cosα cosβ? 14

)

3 3 解析 依题意有 sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)= , 14 π π 又 0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 13 故 cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= , 14 1 4 3 而 cosα= ,∴sinα= , 7 7 于是 sinβ=sin[α-(α-β)] =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β) = 4 3 13 1 3 3 3 × - × = , 7 14 7 14 2

π 故 β= ,故选 D. 3 π 2 13.sin(α+ )= ,则 sin2α=________. 4 4 3 答案 - 4 π 2 2 2 解析 sin(α+ )= sinα+ cosα= , 4 2 2 4 1 ∴sinα+cosα= , 2 (sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα 1 =1+sin2α= , 4 3 故 sin2α=- . 4 1 14.(2013· 北京)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; π ? 2 (2)若 α∈? ?2,π?,且 f(α)= 2 ,求 α 的值. 1 解 (1)f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x 2

1 =cos2xsin2x+ cos4x 2 π? 1 2 = (sin4x+cos4x)= sin? ?4x+4?, 2 2 π 2 ∴f(x)的最小正周期 T= ,最大值为 . 2 2 (2)由 f(α)= π? 2 ,得 sin? ?4α+4?=1. 2

π ? 9π π 17π ∵α∈? ?2,π?,则 4 <4α+4< 4 , π 5 9 所以 4α+ = π,故 α= π. 4 2 16 π 3 15.(2014· 天津)已知函数 f(x)=cosxsin(x+ )- 3cos2x+ ,x∈R. 3 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4 1 3 3 解 (1)由已知,有 f(x)=cosx· ( sinx+ cosx)- 3cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sinx· cosx- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin2x- (1+cos2x)+ 4 4 4 1 3 = sin2x- cos2x 4 4 1 π = sin(2x- ). 2 3 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π π π (2)因为 f(x)在区间[- ,- ]上是减函数,在区间[- , ]上是增函数, 4 12 12 4 π 1 π 1 π 1 f(- )=- ,f(- )=- ,f( )= , 4 4 12 2 4 4 π π 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值为 ,最小值为- . 4 4 4 2


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