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高中数学联赛培训讲义:集合函数方程+三角变换三角不等式


高中数学联赛培训讲义:集合函数方程+三角变换三角不等式
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的 教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高。

第一讲 集合、函数、方程
例 1.集合{x|-1≤log 1 10<-
x

1 ,1<x∈N}的真子集个数为 2

。(96 年全国高中联赛)

【分析】先求出所给集合的元素个数,那么真子集的个数为 2 n -1 【解】

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1

【小结】运用对数运算法则和解不等式,掌握集合、真子集、换底、同底法、分数性质。 1 1 练习①.已知集合 A={y|2<y<3},x= + ,则 x 与 A 的关系是 。(83 年) 1 1 log 1 log 1 3 3 2 5

②(93 年)若 M={(x,y)||tgπy|+sin 2 πx=0},N={(x,y)|x 2 +y 2 ≤2},则|M∩N| 。 A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 附:|A|表示 A 的元素个数 (93 年)

③若非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? A∩B 成立的所 。 (98 年) 有 a 的集合是

例 2.f(x) (x∈R)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x 1998 ,则:f(

f(

101 104 )、f( )由小到大的排列是 。 (98 年全国高中联赛) 17 15 【分析】利用周期函数、偶函数的性质,将函数自变量转化到区间[0,1],再比大小。 【解】 【小结】周期函数的性质、偶函数性质、幂函数单调性;转化思想。
1

m

98 )、 19

练习①设 f(x)是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数,已知当 x∈[2,3]时, 。 (90 年) f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是 A. f(x)=x+4 B. f(x)=2-x C. f(x)=3-|x+1| D. f(x)=2+|x+1|

②若 a>1,b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,则 lg(a-1)+lg(b-1)的值 A.等于 lg2 B.等于 1 C.等于 0 D.不是与 a、b 无关的常数

。 (98 年)

③设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且满足下列关系:f(10+x)=f(10-x), 。 (92 年) f(20-x)=-f(20+x),则 f(x)是 A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数

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【小结】巧妙地构造函数,利用函数的奇偶性、单调性;简单的函数方程。 则 k 的取值范围是 A. k>0 。 B. 0<k≤ (95 年) 1
2n ? 1

例 3.设 x 与 y 为实数,满足(x-1) 3 +1997(x-1)=-1,(y-1) 3 +1997(y-1)=1,则 x+y= 。 (97 年全国高中联赛) 【分析】构造函数 f(t)=t 3 +1997t,将两等式变成函数值,再利用函数性质。 【解】

练习①已知方程|x-2n|=k x (n∈N)在区间(2n-1,2n+1)上有两个不相等的实数根,

C.

1 1 <k≤ 2n ? 1 2n ? 1

D.以上都不正确

② 用 [x] 表 示 不 大 于 实 数 x 的 最 大 整 数 。 方 程 lg 2 x - [lgx] - 2 = 0 的 实 根 个 数 是 。 (95 年)

③设函数 y=f(x)对一切实数 x 都满足 f(3+x)=f(3-x),且方程 f(x)=0 恰有 6 个不 。 (91 年) 同的根,则这 6 个实根的和为
2

m

第二讲 三角变换、三角不等式
1 例 1.设 x∈(- ,0),以下三数 a=cos(sinxπ)、b=sin(cosxπ)、c=cos(x+1)π的 2

大小关系是 (96 年全国高中联赛) A. c<b<a B. a<c<b C. c<a<b 【分析】先判别符号,再比较同符号的几个。 【解】

D. b<c<a

【小结】比大小,可以先与 0、1 比较,先后利用函数单调性、比较法等。也可特值法。 ? 练习①.已知 0<b<1,0<a< ,则下列三数 x=(sinα) logb cos ? 、y=(cosα) logb cos ? 、
4

z=(sinα)

log b sin ?

的从小到大排列为

。 (94 年)

②.设α∈( 为

?
4

,

?
2

),则(cosα) cos ? 、 (sinα) cos ? 、 (cosα) sin ? 从小到大的排列 。 (90 年)

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为 ③ . 四 个 数 log sin 1 cos1 、 log sin 1 tg1 、 log cos1 sin1 、 log 。 (95 年)
cos 1

tg1 从 小 到 大 的 排 列

例 2. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边边长分别是 a、b、c,若 c-a 等于 AC 边上的高 h, C?A C?A +cos 的值等于 。 (9 年全国高中联赛) 则 sin
2 2

【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,通过三角变换解决问题。 【解】

【小结】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角变换。 练习①. cos 2 10°+cos 2 50°-sin40°sin80°=

②.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边边长分别是 a、b、c,已知三内角成等差数列,且 c

m
。 (91 年)

3

-a 等于 AC 边上的高 h,则 sin

C?A 的值等于 2

。 (91 年) (b≠1),且
sin B C 、 都是方 sin A A

③. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边边长分别是 a、b、c 程 log
b

x=log b (4x-4)的根,则△ABC



(92 年)

A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

例 3.设 x≥y≥z≥ 【解】

?
12

,且 x+y+z=

?
2

,求 cosxsinycosz 的最大值和最小值。(97 年)

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【小结】积化和差;放缩法。 ? 练习①.已知 0<θ<π,则 sin (1+cosθ)的最大值是
2

②.已知 f(x)=asinx+b 3 x +4 (a、 b 为实数), 且 f(lglog 3 10)=5, 则 f(lglg3)= A. –5 B. –3 C. 3 D.随 a、b 取不同值而取不同值 (93 年)

m
。 (94 年) 。 件是 ③.设 a、b、c 是实数,那么对任意实数 x,不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条 。 (94 年) A. a 与 b 同时为 0,且 c>0 B.
a 2 ? b 2 =c

C.

a 2 ? b 2 <c

D.

a 2 ? b 2 >c

4

④.已知 x、 y∈[- (提示:构造函数法)

?
4

,

?

3 ? ? x ? sin x ? 2a ? 0 ], a∈R, 且? , 则 cos(x+2y)= 3 4 ? ?4 y ? sin y cos y ? a ? 0 (94 年)



第三讲 数列、数列递推、数学归纳法
例 1.等比数列{a n }首项 a 1 =1536,公比 q=-
1 。 用π n 表示它的前 n 项之积, 则π n(n 2 C. π 12 D. π 13 (96 年全国高中联赛)

∈N)最大是 。 A. π 9 B. π 11 【分析】先求出π n 的表达式,再讨论该式的最大值问题。 【解】

【小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。 练习①.设 x≠y,且两数列 x,a 1 ,a 2 ,a 3 ,y 和 b 1 ,x,b 2 ,b 3 ,y,b 4 均为等差数列, 那么 。 (88 年)
b4 ? b3 = a 2 ? a1

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②. 设 x,y,z 是实数,3x、4y、5z 成等比数列,且 。 (92 年) 值是 的是

1 z 1 x 1 、 、 成等差数列,则 + 的 x x y z z

③.设等差数列{a n }满足 3a 8 =5a 13 ,且 a 1 >0,S n 为前 n 项之和。则 S n (n∈N)中最大 。 A. S 10 B. S 11 C. S 20 D. S 21 (95 年)

例 2.已知数列{a n }满足 3a n ?1 +a n =4 (n≥1),且 a 1 =9,其前 n 项之和为 S n ,则满 1 足不等式|S n -n-6|< 的最小整数 n 是 。 (94 年全国高中联赛) 125 【分析】先求 S n 【解】

m
5

【小结】构造法。数列前 n 项和公式。 练习①.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97 2 ,则这样的 数列共有 。 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 (97 年)

②.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n 2 +n)x 2 -(2n+1)x+1 与 x 轴交于 A n 、B n 两点, 则|A 1 B 1 |+|A 2 B 2 |+…+|A 1992 B 1992 |= 。 (92 年) 以|A n B n |表示该两点间距离,

③.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为

。(89 年)

例 3.设正数列 a 0 ,a 1 ,a 2 ,…,a n ,… 满足 a n a n ? 2 - a n ?1 a n ? 2 =2a n ?1 (n≥2) ,

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A. x 100 =-a, S 100 =2b-a C. x 100 =-b, S 100 =b-a B. x 100 =-b, S 100 =2b-a B. x 100 =-a, S 100 =b-a

且 a 0 =a 1 =1,求 a 100 / a 99 的值。 【分析】将已知的代数式进行变形,构造一个新的数列使问题简化。 【解】

【小结】构造法。 练习①.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组:第一组{1}、 组中。 (91 年) 第二组{3,5,7}、第三组{9,11,13,15,17}、…。则 1991 位于第

②. 已知数列{x n }满足 x n ?1 =x n -x n ?1 (n≥2),x 1 =a,x 2 =b,记 S n =x 1 +x 2 +… 。 (97 年) +x n 。则下列结论正确的是

m

6

③.已知集合 M={x,xy,lg(xy)}, N={0,|x|,y}, 并且 M=N, 那么(x+ +(x 3 +
1 y
3

1 1 )+ (x 2 + 2 ) y y

)+…+(x 2001 +

1 y
2001

)的值等于



(87 年)

2001 年全国高中数学联合竞赛试题
第一试 (2001 年 10 月 14 日 8:00—9:40) 一、选择题(每小题 6 分,满分 36 分) 1. 已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为( A.1 B.2 C.4 D.不确定 2. 命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中,必存在到各棱离相等的点; 命题 1 长方体中,必存在到各面离相等的点; 以上三个命题中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以π为周期、在(0,

)

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3. 4. A.k=8 3 B.0<k≤12 C.k≥12 5. 7. 椭圆ρ=
1 的短轴长等于______________. 2 ? cos ?

递增的偶函数是( ) A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx| 如果满足∠ABC=60°, AC=12, BC=k 的△ABC 恰有一个, 那么 k 的取值范围是( D. 0<k≤12 或 k=8 3

m
? )上单调 2

)

若(1+x+x2)1000 的展开式为 a0+a1x+a2x2+……+a2000x2000,则 a0+a3+a6+a9+……+ ) a1998 的值为( 333 B.3666 C.3999 D.32001 A.3 6. 已知 6 枝玫瑰花与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元, 二 4 枝玫瑰花与 5 枝康乃馨的价格 之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰花的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是( ) A.2 枝玫瑰花价格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 二、填空题(每小题 9 分,满分 54 分)

8.

若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=

3 -i,则 z1z2=_____________. 2

7

9.

正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是_____________.
1 3 ? 2 ? 的解集为________________. log 1 x 2
2

10. 不等式

11. 函数 y=x+ x 2 ? 3x ? 2 的值域为_______________. A F B 12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块种种植一 种植物,相邻的两块种植不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择, E C D 则有________种栽种方案. 三、解答题(每小题 20 分,满分 60 分) 13. 设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 b1=a12, b2=a22, b3=a32(a1<a2),又
n? ?

lim (b1+b2+……+bn)= 2 +1,试求{an}的首项与公差.

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14. 设曲线 C1: (1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示) (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 大值(用 a 表示)

x2 ? y 2 =1(a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方仅有一个公共点 P a2 1 时,试求△OAP 的面积的最 2

15. 用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的 组件,组装中应该如何选取电阻,才能使该组件的总电阻值最小?证明你的结论.

m
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