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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第6节曲线与方程课件理


第6节 曲线与方程

最新考纲 1.了解曲线与方程的对 应关系.

2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法. 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨 迹方程.

知识链条完善
考点专项突破 解题规范夯实

知识链条完善

把散落的知识连起来

【教材导读】 1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件吗? 提示:是.如果曲线C的方程是f(x,y)=0,则曲线C的点的坐标满足 f(x,y)=0, 以f(x,y)=0的解为坐标的点也都在曲线C上,故f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在 曲线 f(x,y)=0 上的充要条件 . 2. 方程 y= x 与 x=y2 表示同一曲线吗 ?

提示:不是同一曲线.

知识梳理
1.曲线与方程 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的 点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的 坐标 都是这个方程的 解 ; (2)以这个方程的 解 为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做 曲线的方程 ,这条曲线叫做 方程的曲线 2.求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;

.

(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0,并化简; (4)查漏补缺.

3.求动点轨迹方程的常用方法 (1)直接法.也叫直译法,即根据题目条件,写出关于动点的几何关系并用坐

标表示,再进行整理、化简.
(2)定义法.先根据已知条件判断动点的轨迹形状,然后根据曲线的定义直 接求动点的轨迹方程.

(3)代入法.也叫相关点法,其特点是,动点M(x,y)与已知曲线C上的点
(x′,y′)相关联,可先用x,y表示x′、y′,再代入曲线C的方程,即得点M 的轨迹方程.

(4)参数法.选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标(x,y),消去参数,即
得其普通方程.

【重要结论】

1.如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条
件是f(x0,y0)=0. 2.“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解”的充分不必要条件. 3.两条曲线有交点的充要条件是两条曲线的方程所组成的方程组有实 数解.

夯基自测
1.(2015 天津模拟)在平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足 ???? ??? ? ??? ? OC =λ 1 OA +λ 2 OB (O 为坐标原点),其中λ 1,λ 2∈R,且λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹 是(

A )
(B)椭圆

(C)圆 (D)双曲线 ???? ??? ? ??? ? 解析:设 C(x,y),则 OC =(x,y), OA =(3,1), OB =(-1,3), ???? ??? ? ??? ? 因为 OC =λ1 OA +λ2 OB ,

(A)直线

? x ? 3?1 ? ?2 , 所以 ? 又λ1+λ2=1, y ? ? ? 3 ? 1 2 ?
所以 x+2y-5=0 表示一条直线.

2.(2015 南昌模拟)已知 A(-2,0),B(1,0)两点,动点 P 不在 x 轴上,且满足
| PA | | AO | = ,其中 O 为坐标原点,则 P 点的轨迹方程是( | PB | | OB |

C )

(A)(x+2) +y =4(y≠0) (B)(x+1) +y =1(y≠0) (C)(x-2)2+y2=4(y≠0) (D)(x-1) +y =1(y≠0) 解析:因为 A(-2,0),B(1,0)两点,动点 P 不在 x 轴上,设点 P(x,y),由
( x ? 2) 2 ? y 2 | PA | | AO | = 得 =2, 2 2 | PB | | OB | ( x ? 1) ? y
2 2 2 2

2

2

化简可得(x-2) +y =4(y≠0).

2

2

3.(2015 固原校级模拟)方程|y|-1= 1 ? ( x ? 1)2 表示的曲线是( A (A)两个半圆 (C)抛物线 (B)两个圆 (D)一个圆

)

解析:方程|y|-1= 1 ? ( x ? 1)2 可化为 (x-1) +(|y|-1) =1(|y|≥1). y≤-1 时,(x-1) +(y+1) =1, y≥1 时,(x-1)2+(y-1)2=1, 所以方程|y|-1= 1 ? ( x ? 1)2 表示的曲线是两个半圆.
2 2 2 2

??? ? ??? ? y 4.平面上有三个不同点 A(-2,y),B(0, ),C(x,y),若 AB ⊥ BC ,则动点 C 的 2

轨迹方程为

.

??? ? ??? ? y y 解析: AB =(2,- ), BC =(x, ), 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 AB ⊥ BC ,得 AB ? BC =0,

即 2x+(-

y y )? =0, 2 2
2

所以动点 C 的轨迹方程为 y =8x(x≠0).

答案:y2=8x(x≠0)

x2 2 5.设 P 为双曲线 -y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 4

M 的轨迹方程是

.

解析:设M(x,y),则P(2x,2y),代入双曲线方程得x2-4y2=1. 答案:x2-4y2=1

考点专项突破
2 2

在讲练中理解知识
2 2

考点一 定义法求轨迹方程
【例 1】 已知圆 C1:(x+3) +y =1 和圆 C2:(x-3) +y =9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆 M 圆心的轨迹方程. 解: 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B,则有

|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2, 即动点 M 到两定点 C2,C1 的距离的差是常数 2,且 2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|, 故动圆 M 圆心的轨迹为以定点 C2,C1 为焦点的双曲线的 左支,则 2a=2, 所以 a=1,又 c=3,则 b2=c2-a2=8.
y2 设动圆 M 圆心的坐标为(x,y),则动圆 M 圆心的轨迹方程为 x =1(x≤-1). 8
2

反思归纳

定义法求轨迹方程:

(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲

线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.
(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲 线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.

【即时训练】 (1)已知圆 P 过点 A(1,0)且与直线 l:x=-1 相切,则圆心 P 的轨 迹方程为 .

解析:(1)设动圆半径为 r,P 到 l 的距离为 d,则由题意知, |PA|=r, d=r, 故|PA|=d,又因为 A? l,所以由抛物线的定义可知,点 P 的轨迹是以 A 为 2 焦点,l 为准线的抛物线,其方程为 y =4x.

答案:(1)y2=4x

(2)若动圆 P 过点 N(-2,0),且与另一圆 M:(x-2)2+y2=8 相外切,则动圆 P 的圆 心的轨迹方程是 .
解析:(2)因为动圆 P 过点 N(-2,0), 所以|PN|是动圆的半径. 又因为动圆 P 与圆 M 相外切, 所以有|PM|=|PN|+2 2 , 即|PM|-|PN|=2 2 <|MN|=4, 故点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,实轴长为 2 2 ,焦距为 4 的双曲线的左支, 则 a= 2 ,c=2,所以 b= c 2 ? a 2 = 2 , 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为
x2 y 2 =1(x≤- 2 ). 2 2

x2 y 2 答案:(2) =1(x≤- 2 ) 2 2

考点二 直接法求轨迹方程
【例 2】 (2014 高考新课标全国卷Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的 动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程;
解:(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4, ???? ? 设 M(x,y),则 CM =(x,y-4),
???? MP =(2-x,2-y), ???? ???? ? 由题设知 CM ? MP =0,

故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
解析:(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上, 又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 因为 ON 的斜率为 3,
1 所以 l 的斜率为- , 3 1 8 故 l 的方程为 y=- x+ . 3 3

又|OM|=|OP|=2 2 , O 到 l 的距离为
16 4 10 4 10 ,|PM|= ,所以△POM 的面积为 . 5 5 5

反思归纳

直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略

(1)题目给出等量关系,求轨迹方程,可直接代入即可得出方程.

(2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量
关系,得出方程.

【即时训练】 (1)(2015 深圳调研)已知点 F(0,1),直线 l:y=-1,P 为平面上的动 ? ??? ? ???? ??? ???? 点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且 QP ? QF = FP ? FQ ,则动点 P 的轨迹 C 的方程为(
2 2

)
2 2

(A)x =4y (B)y =3x (C)x =2y (D)y =4x

解析:(1)设点 P(x,y),则 Q(x,-1). ? ??? ? ???? ??? ???? 因为 QP ? QF = FP ? FQ , 所以(0,y+1)?(-x,2)=(x,y-1)?(x,-2), 即 2(y+1)=x -2(y-1),整理得 x =4y, 2 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x =4y.故选 A.
2 2

答案: (1)A

(2)已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ (λ ≠0).则动点P的轨迹C的方程为 .
解析:(2)由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零,所以 kPM?kPN=
y y ? =λ, x ?1 x ?1
2

整理得 x -

y2

?

=1(λ≠0,x≠±1).
2

即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x -

y2

答案:(2)x -

2

y2

?

=1(λ≠0,x≠±1).

?

=1(λ ≠0,x≠±1)

考点三 相关点(代入)法求轨迹方程
【例 3】 (2015 大连市双基测试)已知 O 为坐标原点,M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆
??? ? ???? ? ???? x2 y 2 + =1 上的点,且 x1x2+2y1y2=0,设动点 P 满足 OP = OM +2 ON .求动点 P 的 4 2

轨迹 C 的方程.
??? ? ???? ? ???? 解:设点 P(x,y),则由 OP = OM +2 ON ,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2),

x2 y 2 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2,因为点 M,N 在椭圆 + =1 上, 4 2
2 2 2 2 所以 x12 +2 y12 =4, x 2 +2 y 2 =4.故 x2+2y2=( x12 +4 x 2 +4x1x2)+2( y12 +4 y 2 +4y1y2) 2 2 =( x12 +2 y12 )+4( x 2 +2 y 2 )+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2)

因为 x1x2+2y1y2=0,所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2+2y2=20.

反思归纳

相关点求轨迹方程的一般步骤

(1)设点:设动点坐标为(x,y),已知轨迹的点的坐标为(x1,y1);
? x ? f ( x, y), (2)求关系式,求出两点坐标之间的关系 ? 1 ? y1 ? g ( x, y);

(3)代换:将上式关系代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹.

x2 y 2 【即时训练】 P 是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦 a b
? ???? ???? ???? 点,O 为坐标原点, OQ = PF1 + PF2 ,则动点 Q 的轨迹方程是
? ? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? PM 解析:由 OQ = PF1 + PF2 ,又 PF1 + PF2 = =2 PO =-2 OP ,

.

??? ? 1 ???? 1 x y 设 Q(x,y),则 OP =- OQ =- (x,y)=(- ,- ), 2 2 2 2

x y (? )2 (? )2 x y 即 P 点坐标为(- ,- ),又 P 在椭圆上,则有 2 + 2 =1, 2 2 2 2 a b
x2 y2 即 2 + 2 =1. 4b 4a
x2 y2 答案: 2 + 2 =1 4b 4a

备选例题
【例 1】 若过点 P(1,1)且互相垂直的两条直线 l1,l2 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,则 AB 中点 M 的轨迹方程为 .

解析:当直线 l1 的斜率存在时,l2 的斜率也存在,设直线 l1 的方程是 y-1=k(x-1), 则直线 l2 的方程是 y-1=1 (x-1), k 1 1 ,0),l2 与 y 轴的交点为 B(0,1+ ),设 AB 的 k k

所以直线 l1 与 x 轴的交点为 A(1-

1 1 ? x ? (1 ? ), ? ? 2 k 中点 M 的坐标为(x,y),则有 ? ? y ? 1 (1 ? 1 ), ? 2 k ?

两式相加消去 k,得 x+y=1(x≠
1 ), 2 1 ), 2 1 ). 2 1 1 , ),此点在直线 x+y-1=0 上. 2 2

即 x+y-1=0(x≠

所以 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+y-1=0(x≠

当直线 l1(l2)的斜率不存在时,点 M 的坐标为( 综上,AB 中点 M 的轨迹方程为 x+y-1=0.

x2 y 2 【例 2】 已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上有一个顶点到两个焦点的距离分别为 a b

3+2 2 ,3-2 2 .如果直线 x=t(t∈R)与椭圆相交于不同的两点 A,B,且 C(-3,0), D(3,0),求直线 CA 与直线 BD 的交点 K 的轨迹方程.
? x2 2 ?a ? c ? 3 ? 2 2, ? ?a ? 3, 2 2 2 解:由已知 ? ?? b =a -c =1,所以椭圆方程为 +y =1. 9 ? ? ?c ? 2 2, ?a ? c ? 3 ? 2 2

t2 依题意可设 A(t,y0),B(t,-y0),直线 CA 与 BD 的交点 K(x,y),且有 + y 02 =1, 9
2 y0 ? y0 ? y0 2 又 CA:y= (x+3),DB:y= (x-3),y = 2 (x2-9), t ?3 t ?3 t ?9

t2 x2 2 2 1 2 2 将 + y 0 =1 代入可得 y = (x -9), -y =1, 9 9 9 x2 2 所以直线 CA 与直线 BD 的交点 K 的轨迹方程是 -y =1(y≠0). 9

【例 3】 已知△ABC 的两个顶点 A,B 的坐标分别是(0,-1),(0,1),且 AC,BC 所在 直线的斜率之积等于 m(m≠0).求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种 圆锥曲线.

解:设顶点 C(x,y),由题意,知 化简得-mx +y =1(x≠0).
2 2

y ?1 y ?1 ? =m, x x

当 m<-1 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,-1)两点; 当 m=-1 时,轨迹上表示以(0,0)为圆心,半径是 1 的圆,且除去(0,1),(0,-1) 两点; 当-1<m<0 时,轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,-1)两点; 当 m>0 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,-1)两点.

【例4】 已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A,B为抛物线上的两动点,且 满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y),直线 OA 的方程为 y=kx,
? y ? kx, 1 ? 显然 k≠0,则直线 OB 的方程为 y=- x.由 ? 2 k ? ? y ? 4 px,

解得 A 点的坐标为(

4p 4p 2 , ), 同理可得 B 点的坐标为 (4pk ,-4pk), 2 k k

1 4 p( ? k ) 1 k 从而知当 k≠±1 时,kAB= = . 1 1 ?k 4 p( 2 ? k 2 ) k k

故得直线 AB 的方程为 y+4pk=

1 1 ?k k

(x-4pk ),

2

即(

1 -k)y+4p=x, k 1 -k)x. k
2 2




直线 OM 的方程为 y=-(

可知 M 点的坐标同时满足①②, 由①及②消去 k 得 4px=x +y , 2 2 2 即(x-2p) +y =4p (x≠0), 当 k=±1 时,容易验证 M 点的坐标仍适合上述方程. 故点 M 的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2(x≠0).

解题规范夯实

把典型问题的解决程序化
求轨迹方程

【典例】(2013 高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N: 2 2 (x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲 线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P、圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

2

2

审题点拨 关键点 已知圆 M,圆 N 动圆 P 与圆 M 外切,与圆 N 内切 所获信息 可以确定它们圆心和半径 根据相切确定|PM|+|PN|为定值,利用椭圆 定义求得曲线 C

l 与圆 P,圆 M 都相切,当圆 P 能确定出半径最长时的圆 P 的方程 的半径最长时 解题突破:(1)利用外切和内切的关系,确定|PM|+|PN|=4>|MN|.P 的轨迹是 椭圆求得曲线 C 的方程;(2)确定出圆 P 的半径最大时的圆的方程,再讨论 l 的倾斜角为 90°和不为 90°时,求弦 AB 的长

满分展示: 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1; 圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R.………………2 分 (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.…………3 分 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、 右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为
3 的椭圆(左顶点除外),

x2 y 2 其方程为 + =1(x≠-2).………………………5 分 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 D(x,y), 由于|DM|-|DN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4.……7 分 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合, 可得|AB|=2 3 .…………………………………………9 分 若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则
| QP | R = ,可求得 Q(-4,0), | QM | r1

所以可设 l:y=k(x+4), 由 l 与圆 M 相切得
| 3k | 1? k2

=1,解得 k=±

2 . 4

2 2 x2 y 2 当 k= 时,将 y= x+ 2 代入 + =1, 4 3 4 4
并整理得 7x2+8x-8=0,…………………………10 分 解得 x1,2=

?4 ? 6 2 . 7
18 . 7

所以|AB|= 1 ? k 2 |x2-x1|= 当 k=-

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4

综上,|AB|=2 3 或|AB|=

18 .…………………12 分 7

答题模板:第一步:确定圆心、半径,设出动点坐标. 第二步:利用相切确定等量关系|PM|+|PN|=4. 第三步:利用定义去求出曲线 C 的方程. 第四步:确定半径最长时圆 P 的方程. 第五步:求 l 的倾斜角为 90°时|AB|=2 3 . 第六步:求 l 的倾斜角不为 90°时,利用弦长公式求得|AB|.


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