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2.5 平面向量应用举例


2.5 平面向量应用举例
黄冈市红安三中高一数学每周一练 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)2013 年 1 月 18 日 ?? ?? ? ? ?? ? 1. 已知两个力 F1 ,F2 的夹角为 90? ,它们的合力大小为 10 N ,合力与 F2 的夹角为 60? , ?? ? 那么 F2 的大小为( B )
A. 5 3 N

B. 5 N C. 10 N D. 5 2 N 2. 河水的流速为 2 m / s ,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m / s 的速度驶向对岸,则小 船在静水中的速度大小为( B ) C. 4 6 m / s D. 12 m / s ? ?? ?? ? 【解】设河水的流速为 v1 ,小船在静水中的速度为 v2 ,船的实际速度为 v . ?? ? ? ?? 则 v1 ? 2 , v ? 10 , v ? v1 . ?? ? ?? ? ?? ? ∴ v2 ? v ? v1 , v ? v1 ? 0 , ?? ? ? ?? 2 ?2 ? ?? ?? 2 v ? v1 ? v ? 2v ? v1 ? v1 ? 100 ? 0 ? 4 ? 2 26 . ∴ v2 ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 3. 在 ? ABC 所在的平面内有一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则 ? PBC 与 ? ABC 的 A. 10 m / s B. 2 26 m / s

?

?

面积之比是( C )

1 2 3 C. D. 2 3 4 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 【解】由 PA ? PB ? PC ? AB ,得 CP ? 2 PA ,即点 P 是 CA 边上的三等分点, 2 故 S?PBC : S?ABC ? PC : AC ? 3 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4. 已知平面上三点 A 、 B 、 C 满足 AB ? 6 , BC ? 8 , CA ? 10 ,则 AB ? BC ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于( C ) A. 100 B. 96 C. ? 100 D. ?96 ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 2 【解】∵| AB |=6,| BC |=8,| CA |=10,6 +8 =10 . ∴△ABC 为 Rt△. ? ??? ??? ? 即 AB · BC =0. ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? ? CA ? BC ? AB ? CA ? AC ? ? AC ? ?100 ?? ? ?? ? 5 . 已 知 一 物 体 在 共 点 力 F1 ? ? lg 2 ,lg 2 ? , F2 ? ? lg 5 ,lg 2 ? 的 作 用 下 产 生 位 移 ? s ? ? 2 lg 5 ,1? ,则共点力对物体做的功 W 为( D ) A. lg 2 B. lg 5 C. 1 D. 2 ?? ?? ? ? ? 【解】 W ? F1 ? F2 ? s ? ? lg 2 ? lg 5 , 2 lg 2 ? ? ? 2 lg 5 ,1? ? 2 lg 5 ? 2 lg 5 ? 2 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6. 已知向量 a , e 满足: a ? e , e ? 1 ,对任意 t ? R ,恒有 a ? te ≥ a ? e ,则( C ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A.a ? e B.a ? a ? e C.e ? a ? e D. a ? e ? a ? e ? ?2 ? ?2 ?2 ? 2 【解】由条件可知 a ? te ≥ a ? e 对 t ? R 恒成立,又∵ e ? e ? 1 . ? ? ? ? 2 ∴ t ? 2 a ? e t ? 2a ? e ? 1 ≥ 0 对 t ? R 恒成立, ? ? 2 ? ? 即 ? ? 4 a ? e ? 8a ? e ? 4 ≤ 0 恒成立。
A. B.

1 3

?

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?

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?

?

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?

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?

? ? ? ?

1

∴ a?e ?1

? ? ? ? ? ? ? ? ?2 即 a ? e ? 1 ? e ,∴ e ? a ? e ? 0 ,∴ e ? a ? e . ? ? ? ? ? ? x ? y1 7. 已知向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,若 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? ?6 ,则 1 的值 x2 ? y2

?

? ?

?

2

≤ 0 恒成立,∴ a ? e ? 1 .

? ?

?

?

?

?

为( B )

5 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 【解】∵ a ? 2 , b ? 3 ,又 ?6 ? a ? b ? 2 ? 3 ? cos a,b 得 cos a,b ? ?1 ? ? ? ? ∴ a 与 b 共线且反向,∴ 3a ? ?2b ,即 3 ? ? x1 , y1 ? ? ?2 ? ? x2 , y2 ?
A. B. ? C. D. ?

2 3

2 3

5 6

x ? y1 2 2 x2 , y1 ? ? y2 ,∴ 1 3 3 x 2 ? y2 ??? ? ???? ? ? ??? ??? ? AB AC 8. 已知非零向量 AB 与 AC 满足 ? ??? ? ???? ? ? AB AC ?
得: x1 ? ? 为( D ) A. 三边均不相等的三角形 C. 等腰非等边三角形 9 . 已 知 OA ? 1 , OB ?

2 ?? . 3
? ??? ? ? ? BC ? 0 , 且 ? ?

??? ???? ? AB AC 1 则 ??? ? ???? ? , ?ABC ? AB AC 2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? 3 , OA ? OB , 点 C 在 ?AOB 内 , ?AOC ? 30? , 设

B. 直角三角形 D. 等边三角形

??? ? ??? ? ??? ? m OC ? mOA ? nOB ,则 ? ( B ) n 1 3 3 A. B. 3 C. 3 3 D. 3 2 ??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? 【解】∵ OC ? OA ? mOA ? nOB ? OA ? m , OC ? OB ? mOA ? OB ? nOB ? 3n ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? OC ? OA cos 30? m OC ? OA m ? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? 1 ,∴ ? 3 . ∴ ? ? 3n OC ? OB OC ? OB cos 60? n
10.已知非零向量 a 、 b 满足 a ? b ? a ? b ?

? ? ? ? 2 3 ? a ,则 a ? b 与 a ? b 的夹角为( B ) 3 A. 30? B. 60? C. 120? D. 150? ? ? ? ? ?2 4 ?2 ? ?2 ? ?2 ? 2 a2 【解】由 a ? b ? a ? b 得: a ? b ? 0 ;由 a ? b ? a 得: b ? . 3 3 ? ? ? ? ?2 ?2 a?b ? a?b ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b 1 ∴ cos a ? b,a ? b ? ? ? ? ? ? ? ,∴ a ? b,a ? b ? 60? 4 ?2 2 a?b ? a?b a 3 选择题答题卡
? ? ? ?

?

?

?

??
3 C

?

题 号 答 案

1 B

2 B

4 C

5 D

6 C

7 B

8 D

9 B

10 B

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知正方形 OABC 的边长为 1 ,点 D 、 E 分别为 AB 、 BC 的中点,则 cos ?DOE ?
2

4 5 ??? ? ???? 12. 已知 AB ? ? 4 , 2 ? , AC ? ? 3 , 4 ? ,则 ? ABC 的面积为 .5 ?? ?? ?? ?? 13. 已知 e1 ? ? 1, 0 ? , e2 ? ? 0 ,1? ,动点 P 从 P0 ? ?1, 2? 开始沿着与 e1 ? e2 相同的方向作匀 ?? ?? ?? ?? 速直线运动, 速度大小为 e1 ? e2 . 另一点 Q 从 Q0 ? ?2, ?1? 出发, 沿着与向量 3e1 ? 2e2 ?? ?? 相同的方向作匀速直线运动, 速度大小为 3e1 ? 2e2 . 设 PQ 在 t ? 0 秒时分别在 P0 ,Q0
.

? ? ? ? ? 14.已知 a ? ? 1, 2 ? , b ? ? 1 ,1? ,且 a 与 a ? ? b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围是
5 且? ? 0 3 ? ? ? ? ? ? 【解】∵ a 与 a ? ? b 均不是零向量,夹角为锐角,∴ a ? a ? ? b ? 0 ,
________. ? ? ?

处,则当 PQ ? P0Q0 时, t ?

.2

?

?

而 a ? a ? ? b ? ? 1, 2 ? ? ? 1 ? ? , 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 5 ? 3? ,∴ ? ? ? 当 a 与 a ? ? b 同向时, a ? ? b ? ma ( m ? 0 ) ,即 ?1 ? ? , 2 ? ? ? ? ? m, 2m ? ∴?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

5 . 3

?1 ? ? ? m ?? ? 0 5 ,得 ? ,∴ ? ? ? 且 ? ? 0 . 3 ? 2 ? ? ? 2m ?m ? 1
2 2

15.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 3 ,则

??? ??? ? ? OA ? OB ? ________. ? 2 【解】∵ AB ? 2 3 , OA ? OB ? 2 ,∴ ?AOB ? 120? . ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∴ OA ? OB ? OA ? OB ? cos 120? ? ?2 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16.(本小题满分 12 分) 如图, 已知 ? ABC 的两边 AB ,AC 的中点分别为 M 、N , BN 的延长线上取点 P , 在 使 NP ? BN ,在 CM 延长线上取点 Q ,使 MQ ? CM . 用向量方法证明: P 、 A 、 Q 三 点共线。 【解】设 AB ? a , AC ? b

??? ? ??? ? ? ? ??? ???? ??? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? AP ? AN ? NP ? AN ? BN ? AN ? AN ? AB ? b ? a ??? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AQ ? AM ? MQ ? AM ? CM ? AM ? AM ? AC ? a ? b ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ∴ AP ? ? AQ ,∴ AP // AQ . ∴ P 、 A 、 Q 三点共线。

P N A M Q

C

B

17.(本小题满分 12 分)

3 km 的河,水流速度为 2 km / h ,在河两岸有两个码头 A 、 B ,已知 AB ? 3 km ,船在水中最大航速为 4 km / h ,问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速 度可使它最快到达彼岸 B 码头?用时多少? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? 【解】如图所示,设 AC 为水流速度, AD 为航行速度, AE ? AC ? AD . ??? ???? ? 当 AE ? AC 时船能最快到达 B 码头。 在 Rt ?ADE 和平行四边形 ACED 中, ???? ???? ??? ? DE ? AC ? 2 , AD ? 4 , ?AED ? 90? .

一条宽为

3

∴ AE ?

??? ?

??? 2 ???? 2 ? AD ? DE ? 2 3 ,用时

3 2 3

? 0.5 ( h ).

1 ,∴ ?EAD ? 30? . 2 答:船实际航行速度大小为 4 km / h ,与水流成 120? 角时能最快到达 B 码头,用时半
此时 sin ?EAD ? 小时。 18.(本小题满分 12 分) ?ABC 是等腰直角三角形, ?B ? 90? , D 是 BC 边的中点, BE ? AD ,垂足为 E , 延长 BE 交 AC 于 F ,连结 DF ,求证: ?ADB ? ?FDC . 【证】如图,以 B 为原点, BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 设 C ? 2, 0? ,则 A? 0, 2? , D ?1, 0? ,∴ AC ? ? 2 , ?2 ? 设 AF ? ? AC

????

???? ??? ? ??? ??? ???? ? ? 则 BF ? BA ? AF ? ? 0 , 2? ? ? 2? , ?2? ? ? ? 2? , 2 ? 2? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? 又 DA ? ? ?1, 2 ? ,由题设 BF ? DA ,∴ BF ? DA ? 0 .
2 . 3 ??? ? 4 2 ? ???? ??? ??? ? 1 2 ? ? ? ? ???? ∴ BF ? ? , ? , DF ? BF ? BD ? ? , ? ,又 DC ? ? 1, 0 ? ? 3 3? ? 3 3? ??? ??? ? ? ???? ???? DA ? DB 5 DF ? DC 5 ∴ cos ?ADB ? ??? ??? ? , cos ?FDC ? ???? ???? ? ? ? 5 5 DA ? DB DF ? DC
∴ ?2? ? 2 ? 2 ? 2? ? ? 0 ,∴ ? ? 又 ?ADB 、 ?FDC ? ? 0,? ? ,∴ ?ADB ? ?FDC 。

19.(本小题满分 13 分) 如图所示,正方形 ABCD 中, P 为对角线 BD 上的一点, PECF 是矩形,用向量方法 证明 PA ? EF , PA ? EF . 【证】建立如图所示的平面直角坐标系, 设正方形的边长为 a , DF ? t ( 0 ? t ? a ), 则 A ? 0,a ? , P ? t ,t ? , F ? t , 0? , E ? a,t ? ∴ PA ? ? ? t ,a ? t ? , FE ? ? a ? t ,t ? . ∴ PA ? t ? ? a ? t ? , EF
2 2

????

??? ?

??? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

∴ EF ? PA ,即 PA ? EF . 又 FE ? PA ? ? t ? ? a ? t ? ? ? a ? t ? ? t ? 0 ∴ EF ? PA ,即 PA ? EF .

????

??? ?

? ?a ? t ? ? t2 .
2

??? ??? ? ?
??? ?

??? ?

20.(本小题满分 13 分) 如图所示,在 ? ABC 中, AB ? AC , D 是 BC 的中点, DE ? AC , E 是垂足, F 是
4

DE 的中点,求证 AF ? BE . 【证】∵ AB ? AC ,且 D 是 BC 的中点, ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ AD ? BC ,∴ AD ? BC ? 0 . ???? ???? ??? ??? ? ? 又 DE ? AC ,∴ DE ? AC ? 0 . ??? ???? ? ∵ BD ? DC , F 是 DE 的中点, ???? 1 ???? ∴ EF ? ? DE . 2 ???? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ AF ? BE ? AE ? EF ? BD ? DE ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? AE ? BD ? EF ? BD ? EF ? DE ? AD ? DE ? BD ? EF ? BD ? EF ? DE

?

??

?

?

?

???? ??? 1 ???? ??? 1 ???? ???? 1 ???? ??? 1 ???? ???? ? ? ? ? DE ? BD ? DE ? BD ? DE ? DE ? DE ? BD ? DE ? DE 2 2 2 2 ???? ???? ???? ???? ??? ? 1 1 ? DE ? DC ? DE ? DE ? EC ? 0 . 2 2 ???? ??? ? ∴ AF ? BE ,∴ AF ? BE .

?

?

21.(本小题满分 13 分) 的坐标。

如图所示,以原点和 A? 5, 2? 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB , ?B ? 90? ,求点 B

【解】设 B ? x, y ? ,则 OB ? ∵ A? 5, 2? ,∴ AB ? 由 OB ?

??? ?

x2 ? y2 .
2 2

??? ?

? x ? 5? ? ? y ? 2? ??? ? 2 2 AB 得 ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? x 2 ? y 2
??? ?
??? ? ??? ?

??? ?

整理得: 10 x ? 4 y ? 29 …………①

又 OB ? ? x, y ? , AB ? ? x ? 5 , y ? 2 ? ,且 OB ? AB , ∴ OB ? AB ? 0 ,∴ x ? ? x ? 5? ? y ? ? y ? 2? ? 0 即 x 2 ? y 2 ? 5 x ? 2 y ? 0 …………② 由①②解得: ?

??? ?

??? ??? ? ?

∴ B ?1.5, 3.5? 或 B ? 3.5, ?1.5? .

? x ? 1.5 ? x ? 3.5 或? ? y ? 3.5 ? y ? ?1.5

5


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