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[原创]2012年数学一轮复习精品试题第35讲 合情推理与演绎推理


第三十五讲

合情推理与演绎推理

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.下列推理是归纳推理的是( )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|

PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 C.由圆 x +y =r 的面积 πr ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=πab a b
2 2 2 2

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析:从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归 纳推理,故应选 B. 答案:B 1 1 1 3 5 2.设 n 为正整数,f(n)=1+ + +?+ ,经计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, 2 3 n 2 2 7 f(32)> ,观察上述结果,可推测出一般结论( 2 2n+1 A.f(2n)> 2 n+2 C.f(2n)≥ 2 )

n+2 B.f(n2)≥ 2 D.以上都不对

2+2 3+2 4+2 5+2 3 解析:f(2)= ,f(4)=f(22)> ,f(8)=f(23)> ,f(16)=f(24)> ,f(32)=f(25)> . 2 2 2 2 2 n+2 由此可推知 f(2n)≥ .故选 C. 2 答案:C 3.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线; 已知直线 b∥平面 α, 直线 a?平面 α, 则直线 b∥直线 a”, 结论显然是错误的, 这是因为( A.大前提错误 B.小前提错误 )

1

C.推理形式错误

D.非以上错误

解析:由演绎推理的三段论可知答案应为 A. 答案:A 4.若点 P 是正四面体 A-BCD 的面 BCD 上一点,且 P 到另三个面的距离分别为 h1, h2,h3,正四面体 A-BCD 的高为 h,则( A.h>h1+h2+h3 C.h<h1+h2+h3 )

B.h=h1+h2+h3 D.h1,h2,h3 与 h 的关系不定

解析:由点 P 是正三角形 ABC 的边 BC 上一点,且 P 到另两边的距离分别为 h1,h2, 正三角形 ABC 的高为 h,由面积相等可以得到 h=h1+h2.于是,采用类比方法,平面上的面 积类比空间中的体积,可得答案为 B. 答案:B 5.下图 1 是一个水平摆放的小正方体木块,图 2、图 3 是由这样的小正方体木块叠放 而成, 按照这样的规律继续逐个叠放下去, 那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是 ( )

A.25 C.91

B.66 D.120

分析:求解此题,如果按照前三个图所示的规律继续叠放,叠放至第七个图形后再去数 图中小正方体木块数,自然也可以得出结论,但显然是太麻烦了,故还是应采取归纳推理的 方法求解. 解析:图 1 是 1 个小正方体木块, 图 2 是 2+1×4 个小正方体木块, 图 3 是 3+(1+2)×4 个小正方体木块,
2

按照前三个图所反映出来的规律, 归纳推理可知, 第七个叠放的图形中小正方体的木块 数应是 7+(1+2+3+?+6)×4=91.选 C. 答案:C 6.观察下列数表规律

则从数 2009 到 2010 的箭头方向是(

)

解析:因下行奇数是首项为 1,公差为 4 的等差数列.若 2009 在下行,则 2009=1+(n

-1)×4?n∈N*,故 2009 在下行,又因为下行奇数的箭头为 答案:B

,故选 B.

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1989 7.把正有理数排序: , , , , , , , , , ,?,则数 所在的位置序号 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1949 是________. 1989 分析:求解此题,如果要是按照排序规律写到分数 后,再去数它所在的位置序号, 1949 那简直是不可想象的麻烦事情. 因此, 求解此题就必须考虑如何利用归纳推理的方法来求解 了.所以求解此题的关键就是要从给出的这些分数中找出他们依次出现的特点. 解析:从所给有理数的排序规律可以发现,它们是由分子与分母的和依次为 2,3,4,? 的分数段“拼”成的.

3

1989 因为分数 的分子、分母和为 3938,所以归纳推理可知,它是第 3937 段的第 1949 1949 个数. 故序号为(1+2+?+3936)+1949=7749965. 答案:7749965 评析:一般来说,利用归纳推理的方法来解题或猜想出一般的结论,最关键的是要善于 发现已知个体所隐藏的共同规律.只有找到了这种规律,你才能够进行猜想. 8.已知等差数列{an}中,a10=0,则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19, n∈N*)成立,那么等比数列{bn}中,若 b9=1,则有等式________成立. 解析:这是一个由等差数列与等比数列类比的题目,由于二者的参照物不同,因此我们 要先进行分析,从二者的本质即数列的结构找到突破口,如下表所示: 特征 运算符号 通项 公差(比) 前 n 项和 特殊项 等差数列 和(差) an d Sn 0 左边 n 项, 等式结构 右边 19-n 项 加法 符号转换 减法 关键词 a10=0 除法 b9=1 右边 17-n 项 乘法 等比数列 积(商) bn q Tn 1 左边 n 项,

由题设, 若 ak=0, 那么有 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a2k-1-n(n<2k-1, n∈N*)成立. 由 等差数列与等比数列的加乘转换性质, 我们可以类比得出这样的结论: b1b2· ?· bn=b1b2· ?· b2k
-1-n

(n<2k-1,n∈N*)成立.结合本题 k=9,得 2k-1-n=17-n,故本题应填:b1b2· ?· bn

=b1b2· ?· b17-n(n<17,n∈N*).
4

答案:b1b2· ?· bn=b1b2· ?· b17-n(n<17,n∈N*) 评析:本题为往年一高考题,类比结论有较高的难度,本题易出现的错误是多方面的, 可能仍然写成和的形式,也可能不会应用 b9=1 这一条件进行类比. 9.(2010· 陕西)观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43 =(1+2+3+4)2,?,根据上述规律,第四个等式为________. 解析:观察前 3 个等式发现等式左边分别是从 1 开始的两个数、三个数、四个数的立方 和,等式右边分别是这几个数的和的平方,因此可得第四个等式是:13+23+33+43+53=(1 +2+3+4+5)2=152. 答案:13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或 152) 10.下图中的线段规则排列,试猜想第 8 个图形中的线段条数为________.

分析:先求出这 4 个图形中的线段条数,然后归纳出数字的规律,再利用这个规律求第 8 个图形中的线段条数. 解析: 图形①~④中线段的条数分别为 1,5,13,29, 因为 1=22-3,5=23-3,13=24-3,29 =25-3,因此可猜想第 8 个图形中的线段条数应为 28 1-3=509.


答案:509 评析:本题主要考查归纳推理,属于图表归纳型,解答此类问题一般有两个途径:一是 利用前若干个图形中子图形的个数来归纳;二是利用图形变化的规律来归纳. 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.观察下列等式: 3 ①sin210° +cos240° +sin10° cos40° = ; 4
5

3 ②sin26° +cos236° +sin6° cos36° = . 4 由上面两题的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想. 3 解:由①②可看出,两角差为 30° ,则它们的相关形式的函数运算式的值均为 . 4 猜想:若 β-α=30° ,则 β=30° +α, 3 sin2α+cos2β+sinαcosβ= , 4 3 也可直接写成 sin2α+cos2(α+30° )+sinαcos(α+30° )= . 4 下面进行证明: 1-cos2α 1+cos(2α+60° ) 左边= + +sinαcos(α+30° ) 2 2 = 1-cos2α 1+cos2αcos60° -sin2αsin60° + +sinα(cosα· cos30° -sinαsin30° ) 2 2

1-cos2α 1 1 1 1 3 3 = - cos2α+ + cos2α- sin2α+ sin2α- 2 2 2 4 4 4 4 3 = =右边. 4 3 故 sin2α+cos2(α+30° )+sinαcos(α+30° )= . 4 1 1 1 12. 在△ABC 中, AB⊥AC, AD⊥BC 于 D, 求证: 2= 2+ 2, 那么在四面体 ABCD AD AB AC 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 解:如图(1)所示,由射影定理 AD2=BD· DC,AB2=BD· BC,AC2=BC· DC,



1 1 = AD2 BD· DC BC2 BC2 = 2 . BD· BC· DC· BC AB · AC2
6



又 BC2=AB2+AC2, ∴ AB2+AC2 1 1 1 = + . 2= AD AB2· AC2 AB2 AC2

1 1 1 所以 2= 2+ 2. AD AB AC 猜想:类比 AB⊥AC,AD⊥BC 猜想 1 1 1 1 四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD.则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD 如图(2),连接 BE 交 CD 于 F,连接 AF.

∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF?面 ACD, ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中, AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, ∴ 1 1 1 . 2= 2+ AF AC AD2 1 1 1 1 = + + ,故猜想正确. AE2 AB2 AC2 AD2



13.下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图. (1)数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们分别围成了多少个区域?请
7

将结果填入下表(按填好的例子做).

顶点数 (a) (b) (c) (d) 4

边数 6

区域数 3

(2)观察上表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (3)现已知某个平面图有 2008 个顶点,且围成了 2008 个区域,试根据以上关系确定这 个平面图的边数. 解:(1)填表如下: 顶点数 (a) (b) (c) (d) 4 8 6 10 边数 6 12 9 15 区域数 3 5 4 6

(2)由上表可以看出,所给的四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系: 4+3-6=1 8+5-12=1 6+4-9=1 10+6-15=1 由此,我们可以推断:任何平面图的顶点数、边数及区域数之间,都有下述关系: 顶点数+区域数-边数=1. (3)由(2)中所得出的关系,可知所求平面图的边数为:
8

边数=顶点数+区域数-1=2008+2008-1=4015.

9


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