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2.1.2分数指数幂


知识回顾:
整数指数幂概念 n … a a? a? a ? ? a=
n

(n N*)

?

a0= 1
1 a-n= n a

a
(a

?0

? 0, n ?N*)

根式运算性质 (n为奇数) a n n = a (n为偶数)

a

整数幂的运算性质 (1) am? an= am+ (m ,n n m n (2) (a ) = amn (m,n
(3)(ab)n=

anbn

(n

?

? Z) ? Z)

Z)

问题:

对于整数指数幂运算性质(2), 当a>0,m,n是分数时是否也成立呢?

练习(1): ( 4 3 )4= 3
5

( 5 6 ) 5= 6
6

(?2) = -2
5

( ?4) 6 = -4 =4
4 20 =

练习2
5

当a>0时 3 9 a =

a

a

10 =

3

a

2

=

4

a

5

=

从上面练习中你能总结出规律吗?

当a>0时
3

a

9

=a =a

3

?a ?a

9 3

4 20

a

5 2

20 4 10 5

5

a

10 =

a ?a

当根式的被开方数的指数能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式

当m被n整除时

n

a ?a
m

m n

3

a a

2

=

a a

2 3 5 4

4

5

=

当根式的被开方数的指数 不能被根指数整除时, 根式也可以写成分数指数幂的形式
n

a ?a
m

m n

( a )n=am成立,即 a 可以看成
是am的n次方根

m n

m n

正数的正分数指数幂的意义是

a

m n

=

n

am
1

(a>0,m,n?N*, 且n>1) (a>0,m,n ? N*且n>1)

问题:正数的负分数指数幂情况怎样?
a
m ? n

=

a

m n

问题:对于0的分数指数幂怎么处理呢? 0的正分数指数幂等于0. 0的负分数的指数幂没有意义 注意:规定了分数指数幂的意义以后,

指数的概念就从整数指数推广到有理数指数幂

问题:整数指数幂的运算性质能否推广到有理数呢?


有理数指数幂的运算性质
(1) ar as=ar+s
?

(a>0, r,s

? Q)

(2): (ar)s=ars

(a>0,r,s ? Q)

(3): (ab)r=arbr (a>0,b>0,r ? Q)

请大家思考:
指数的概念推广以后,指数和底数有什么要求? 指数可以为有理数,底数是 正 数 注意: 若a>0,P是一个无理数,则ap表示一个确定的实数 这说明:上述有理数幂的运算性质,对于 无理数指数幂都适用

知识探究(三):无理数指数幂的意义

思考1:我们知道 2 =1.414 21356…,

那么5

2

的大小如何确定?

2 的过剩近似值

1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563

5 11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752

2 的过剩近似值

5

2的不足近似值

2的不足近似值

9.518 9.672 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738

269 669 171 305 461 508 516 517 517

2 52

694 973 039 174 907 928 765 705 736

1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562

例题: (1)求值
3 ? 1 ?3 16 4 ( ) ( ) 100 8 81 4 (2)用分数指数幂的形式表示下列各式

2 3

1 ?2

(式中的a>0)
a ? a,
2

a

3

?

3

a ,

2

. a a.

例3.计算下列各式(式中字母都是正数)

(1) (2) (3) (4)

(2a b )(?6a b ) ? ( ?3a b ); (m n ) ; ( 3 25 ? 125) ? 4 5; a
2 2
1 4 3 ?8 8

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

a a

3

.

巩固练习:
1.化简:( x ? y ) ? ( x ? y ) 2.已知 f ( x) ? ? , x1 ? x2 ? 0,试求
x
1 2 1 2 1 4 1 4

.
f ( x1 ) ? f ( x 2 )

的值.
3.用根式表示
2 1 ? (m 4 n 3 )

, 其中 m, n ? 0 .

巩固练习:
4. 已知x + x =3,求下列各式的值:
(1) x ? x , (2) x ? x .
1 2 1 ? 2 3 2 3 ? 2
3 36 2 ( )

-1

5. 求值: 25 ;
3

3 2

2 27 3

;

49

;

25 ( ) 4

?

3 2

; 81?

4

3 92

;

2 3 ? 1.5 ? 12
6. 已知 x ? a ? b , 求
?3 ?2
4 2

6

x ? 2a ?3 x ? a ?6

的 值.

课堂小结: 1:要注意n次方根的意义 2:幂的运算性质可以从整数指 数扩充到有理数指数的形式 3:用分数指数表示根式的目的是为 将根式运算转化为指数运算 幂运算的性质主要是建立在同底 的基础上,在运算中要注意化同底


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