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第5课时 独立重复试验与二项分布


临猗中学 zdj

授课时间: 第 5 课时: 教学内容:





(总编第 187 课时) 独立重复试验与二项分布

教学目标:1、知识与技能
理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些实际问题.

2、过程与方法
通过实例探究独立重复试验模型,会求二项分布.

3、情感、态度和价值观
通过本节的学习,体会数学来源于实践又服务于实践,培养学生发现数学的应用 意识.

教学重点:独立重复试验与二项分布 教学难点:独立重复试验与二项分布的应用 教学方法:读、议、讲、练教学法 教 具:

教后反思:

1

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教学过程: 一、温故知新,引入课题
【知识回顾】 ⑴相互独立事件的概念? ⑵相互独立事件同时发生的概率计算公式? 在研究随机现象时,经常要在相同条件下重复做大量试验来发现规律,例如,研究掷硬 币结果的规律,需要做大量的掷硬币试验,显然,在 n 次重复掷硬币的过程中,各次试验的 结果都不会受其他试验结果的影响,这样的试验就是今天我们要学习的独立重复试验. 【提出问题】 ⑴独立重复试验的概念? ⑵二项分布的概念及表示? (学生自学课本 p56?57 ,教师巡视)

二、进行新课
1、独立重复试验的概念 【探究 1】某射手射击一次,击中目标的概率为 0.9 .若该射手连续射击四次,分别记: “在第一次射击中,击中目标”为事件 A1 ; “在第二次射击中,击中目标”为事件 A2 ; “在第三次射击中,击中目标”为事件 A3 ; “在第四次射击中,击中目标”为事件 A4 ; 问:⑴上述问题中,每次射击的条件是否相同?(相同) ⑵每次射击的结果有几种?(2 种,即击中或没击中) ⑶上述事件是否相互独立?(独立) ⑷任何一次射击中,击中目标的概率是否发生变化?(不变) 【定义】一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. 【说明】独立重复试验满足以下四个条件: ⑴每次试验是在同样的条件下重复进行; ⑵每次试验都只要两种结果(即事件发生或不发生) ; ⑶各次试验中事件是相互独立; ⑷任何一次试验中,事件发生的概率不变; 2、二项分布 【探究 2】某射手射击一次,击中目标的概率为 0.9 ,若该射手连续射击四次,恰有 3 枪击 中目标的概率是多少? 【分析】射击四次,恰有 3 次击中目标可分四类: A 1 ? A2 ? A3 ? A4 ; A 1 ? A2 ? A3 ? A4 ; A 1 ? A2 ? A3 ? A4 ; A 1 ? A2 ? A3 ? A4 ; 上述事件, 相当于从 4 个位置中选 3 个位置安排事件发生, 另一个位置安排事 件不发生,此四事件彼此互斥,故所求概率为
P? P A 1 ? A2 ? A3 ? A4 ? P A 3 ? A4 ? P A 1 ? A2 ? A3 ? A4 ? P A 1 ? A2 ? A 1 ? A2 ? A3 ? A4 =
C4 ? 0.9 ? ?1?0.9?
3 3 4?3

?

?

?

?

?

?

?

?



【公 式】 一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事 件 A 发生的概率为 p ,那么在 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率为 此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X ? B ? n, p ? ,并称 p 为成功概率. 【说明】两点分布是 n ? 1 时的二项分布,即两点分布是特殊的二项分布,二项分布中 的每一次试验的结果都服从二项分布. 【课堂练习】下列随机变量 X 不服从二项分布的是( ) A、投掷一枚均匀的骰子 5 次, X 表示点数为 6 出现的次数 B、某射手击中目标的概率为 p ,设每次射击是相互独立的, X 为从开始射击到击
2

P( X ? k ) ? Cn ? p ? ?1? p ?
k k

n ?k

, k ? 0,1, 2, ?, n ;

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中目标所需要的射击次数 C、实力相等的甲、乙两选手进行了 5 局乒乓球比赛, X 表示甲获胜的次数 D、某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为 0.3 , X 表示下载 n 次数据 电脑被病毒感染的次数 【答案】B; 3、例题分析 例 1、 ( p57 例 4)某射手每次射击击中目标的概率为 0.8 ,求这名射手在 10 次射击中, ⑴恰有 8 次击中目标的概率; ⑵至少 8 次击中目标的概率; ⑶第 8 次才击中目标的概率; (结果保留两个有效数字) 【分析】设 X 为击中目标的次数,则 X ? B ?10,0.8?
8 ⑴恰有 8 次击中目标的概率为 P ? X ?8? ? C10 ? ? 0.8? ? ?1?0.8? ? 0.30 ; 8 2

⑵至少 8 次击中目标的概率为
P ? X ?8? ? C10 ? ? 0.8? ? ?1?0.8? ? C10 ? ? 0.8? ? ?1?0.8? ? C10
8 8 2 9 9
7

10

?

?0.8?10

? 0.68 ;

⑶第 8 次才击中目标的概率为 ?1?0.8? ? ? 0.8? ? 0.000010 ; 例 2、设有两门高射炮,每门击中敌机的概率都是 0.6 ,求: ⑴同时发射一门炮弹,恰有一门击中敌机的概率; ⑵同时发射一门炮弹,敌机被击中的概率; ⑶若有一架敌机入侵我领空,欲以 99﹪以上的概率击中它,问至少需要多少门这样 的高射炮?(取 lg 2 ? 0.3 )
1 【分析】⑴恰有一门击中敌机的概率为 C2 ? 0.6 ? ?1?0.6? ? 0.48 ;

⑵敌机被击中的概率为 1 ? ?1?0.6? ? ?1?0.6? ? 0.84 ⑶设需要这样的高射炮 n 门,由题可得 1 ? ?1?0.6?n ? 99﹪
n ? 0.4 ? 0.01
? n lg 0.4 ? lg 0.01

? n ? 2lg 2?1? ? ?2

? lg 2 ? 0.3 ? n ? 5 ? 至少需要 6 门这样的高射炮。 【方法感悟】对于“至少” 、 “至多”的概率问题,一般采取转化为互斥事件的和事 件来求概率,或转化为对立事件求概率. 【课堂练习】 p58 1、2、3;

三、归纳小结,强化思想
本节课同学们要理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些实际问题. 【梳理整合】 二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,用X 表示事件A发生的次数,设每次试验 k p k 1? p n ? k , 事件A发生生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P?? ?k ?=Cn ? ? 其中k ?0,1,2,?,n,此时称随机变量X 服从二项分布,记作X 服从B? n, p ?,其中p为成功概率;

四、作业设计

习题 2.2 :A 组 3、4 题; B 组 1、2、3; 【课后拓展延伸】 1、设随机变量 X ? B ? 2, p ? , Y ? B ? 3, p ? ,若 P ? X ?1? ? 2、每次试验的成功率为 p ? 0? p?1? ,重复进行 10 次试验,其中前 7 次都未成功后 3 次都成 功的概率为( )
3 3 A、 C10 p ?1? p ? 7 3 3 B、 C10 p ?1? p ? 3

3 ,则 P ?Y ?1? ? 4

; 【答案】 ;

7 8

C、 p3 ?1? p ?

7

D、 p7 ?1? p ?

3

【答案】C;

3、甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 3 : 2 ,比赛时均正常发挥技术 水平,则在 5 局 3 胜中,甲打完 4 局才胜的概率为( )
2 A、 C3 ? ? ? ?

? 3? ? 2? ?5? ? 5?

3

2 B、 C3 ? ? ? ?

? 3? ? 2? ?5? ? 3?

2

3 C、 C4 ? ? ? ?

? 3? ? 2? ?5? ? 5?

3

3 D、 C4 ? ? ? ? 【答案】A;

? 2? ?1? ? 3 ? ? 3?

3

4、在 4 次独立重复试验中,事件 A 发生的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的概率为 则事件 A 在 1 次试验中发生的概率为( )

65 , 81

3

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A、

1 3

B、

2 5

C、

5 6

D、以上都不对

【答案】A;

5、有 3 条自来水管道向某地区供水,每条管道正常供水的概率都是 0.8 ,只要有一条不出故 障就能保证该地区正常供水, 则该地区正常供水的概率是__________; 【答案】0.992 ; 6、如果在一次试验中,某事件 A 发生的概率为 ,那么在 4 次独立重复试验中,事件 A 发 生偶数次的概率为 ; 【答案】
1 2 41 ; 81 1 3

7、位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向 上或向右, 并且向上、 向右移动的概率为 , 质点 P 移动 5 次后位于点 ? 2,3? 的概率是 (
1? A、 ? ? ? ? 2?
5 2 ?1? B、 C5 ? ? 5 3 ?1? C、 C5 ? ? 5 2 2 ?1? D、 C5 ? C5 ? ? ? 5



? 2? ?2? ?2? ? 1? ? 2? 8、如果 X ? B ? 20, ? , Y ? B ? 20, ? ,那么当 X , Y 变化时,下面关于 P ? X ? xk ? = P ?Y ? yk ? 成立 ? 3? ? 3?

【答案】B;

的点 ? xk , yk ? 的个数为( ) A、10 B、20 C、21 D、0 【答案】C; 9、 口袋里放有大小相等的 2 个红球和 1 个白球, 有放回地每次摸取 1 个球, 定义数列 ?an ? 的 通项公式为 an ? ? 为 ;
28 ; S7 ? 3 说明摸取 7 次中,有 2 次摸到红球,5 次摸到白球,故所求概率为 729
5

? ??1,第n次摸到红球 ,如果 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,那么 S7 ? 3 的概率 ? ?1,第n次摸到白球

【答案】
2

28 2 ? 2? ?1? ; C7 ? ? ? ? ? 729 ? 3? ? 3?

10、 掷一枚质地均匀的骰子 n 次, 设出现 k 次点数为 1 的概率为 Pn ? k ? , 若 n ? 20 , 则当 Pn ? k ? 取最大值时, k 为( ) A、3 B、4 C、8 D、10
? ? 1? ?, 6?

2 【答案】 A; 掷一枚质地均匀的骰子 20 次, 其中出现点数为 1 的次数为 X , 则 X ? B ?,0
k 则 Pn ? k ? ? C20 ? ?

?5? ?6?

20? k

?1? ? ? ?6?

k

?

Pn ? k ? 1 ? 21 ? ? ? ?1? Pn ? k ?1? 5 ? k ?

1 ? 21 ? ?1? ? 1 , P n ?k ? ? P n ? k ?1? ? k ? 1 ? 21 ? 当 k ? 4 时, ? ?1? ? 1 , Pn ? k ? ? Pn ? k ?1? 5? k ?

当 1 ? k ? 3 时, ? 5

因此,当 k ? 3 时, Pn ? k ? 最大.

4


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