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圆的方程、直线与圆的位置关系


翰林教育

高二数学

陶老师

圆的方程、直线与圆的位置关系
一、内容提示: 1. 圆的方程: 圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (圆心 ( a , b) ,半径为 r ) 圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 (其中 D ? E ? 4 F ? 0 ) ,
2 2

圆心为点 ( ?
2 2

D E ,? ) ,半径 r ? 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F 2
D E ,? ) 2 2

(Ⅰ)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程表示一个点,这个点的坐标为 ( ? (Ⅱ)当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。
2 2

2. 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 (Ⅰ)若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离,即直线与圆没有公共点;

(Ⅱ) d ? r ? 相切,即直线与圆只有一个公共点; (Ⅲ) d ? r ? 相交,即直线与圆有两个公共点。 3. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1, O2 ,半径分别为 r 1, r 2 , O1O2 ? d 。

d ? r1 ? r2 ? 外离; d ? r1 ? r2 ? 外切;

r 1 ?r 2 ?d ?r 1 ?r 2 ? 相交; d ? r1 ? r2 ? 内切; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含。

二、例题分析:

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【例 1】 求经过原点, 且过圆 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 21 ? 0 和直线 x ? y ? 5 ? 0 的两个交点的 圆的方程。

【例 2】已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 C : ( x ? 7) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 36 . (1)判断直线 l 圆的位置关系; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.

三、典题精练:
2 2 1. 圆 ( x ? 2) ? y ? 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为(

) D.

A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5

B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 5

C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5

x2 ? ( y ? 2)2 ? 5
2 2 2. 若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

)

A. x ? y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

3. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( B. 1 ? 2 C. 1 ?

A. 2

2 2
)

D. 1 ? 2 2

4. 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0

C. x ? 3 y ? 4 ? 0

D.

x ? 3y ? 2 ? 0
5. 圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ,则圆 C 的方程 为____________. (4,5) 6. 从点 P 向圆(x-2)2+y2=4 引切线,求切线方程。

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A ? 3, 3) 7. 自 ( 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 C :
x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0
相切,求光线 l 所在直线方程。

8. 求经过直线 l : 2 x ? y ? 4 ? 0 及圆 C: x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点,且面积最小的 圆的方程。

9. 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 , 求圆 C 的方程。

四、方法反馈: 1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时,要充分利用圆的几何性质,从而达到简 化运算的目的: (1)当圆与直线 l 相离时,圆心到 l 的距离大于半径;过圆心且垂直于 l 的直线与圆的两 个交点,分别是圆上的点中到 l 的距离的最大、最小的点。 (2)当圆与直线 l 相切时,圆心到 l 的距离等于半径;圆心与切点的连线垂直于 l ;过圆 外一点可作两条圆的切线,且此两切线长相等。 (3)当圆与直线 l 相交时,圆心到 l 的距离小于半径,过圆心且垂直于 l 的直线平分 l 被圆 截得的弦;连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦;过圆内一点的所有弦中,最短的弦是垂直 于过这点的直径的那条弦,最长的弦是过这点的直径。 2、求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点在圆上还是在圆外,再设切线方程为 点斜式,用圆心到直线的距离等于半径或利用 ? =0 求出切线的斜率,从而求得切线的方程, 但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时,其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在, 由此而产生漏解。 3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程,可设切线方程为斜截式,具体操作方法同上。 但此种情形的圆的切线应有两条。

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