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坐标系与投影


关于坐标系和投影的相关知识探讨
1、坐标系 坐标系由原点和坐标轴组成。 坐标系如笛卡尔坐标系、极坐标系、球面坐标系和柱面坐标系。 我们比较熟悉的为平面坐标系、 空间直角坐标系 (前两者属于笛卡 尔坐标系)和球面坐标系。比如说一个点坐标是(-2850017.472, 4690744.523,3237959.973)就是指空间直角坐标,而我们经常看 到的 Google Ea

rth 上的点的坐标 (37°20′17″N, 112°33′20″ E)就是指球面坐标。 测量学上,坐标系怎样定义的呢? 地球是一个不规则的类椭球, 怎样用严格的数学方式表示它, 应该是测绘学家们所追求的高峰。为了表示地球上每一个点的位 置, 是不是要建立一个统一的世界坐标系呢?建立坐标系是不是要 确定坐标原点和坐标轴呢?那怎样建立呢? 测量学家们把地球当作一个规则的椭球来处理, 这下就好办 多了,椭球中心就原点呗,长轴短轴就作为坐标轴,这样一个坐标 系就出来了啊。可是有人会问,那这个椭球怎么表示呢?嘛嘛的, 我也想问,原来这是科学家们利用天文观测得到的,而且不同的科 学家得到的椭球还不一样,比如,一个叫 Krasovsky 的人搞了个克 拉索夫斯基椭球,还有人搞了什么 IUGG-1975、WGS-84、GRS80 椭 球,他们主要特点是长半轴和扁率不同。可是又有人会问,搞这么 多椭球干嘛, 有一个不就行啦。 呵呵, 我们知道, 地球坑坑洼洼的,

用严密的椭球来表示肯定有误差, 有的国家为了使自己的国家与椭 球面吻合(最好大家都站在椭球面上),这样根据各自的情况就定 义了不同的参考椭球,比如北京 54 坐标系就采用了苏联老大哥的 克拉索夫斯基椭球。可是问题又来了,怎样才算吻合得好呢?肯定 会有人站在椭球面上,有人站在椭球面下,真头疼。此时,测量学 家们引入了大地基准面(貌似 Datum,编者加)来衡量椭球与大地 的吻合度。大地基准面是由大地水准面而来,是指平均海平面延伸 到大陆得到的一个封闭曲面。比如,在建立北京 54 坐标系时,专 家们肯定会选择与中国的大地水准面吻合比较好的椭球。 此时的椭 球称为参考椭球,建立的坐标系称为参心坐标系,我国的北京 54 和西安 80 坐标系都是参心坐标系,是一种局部范围的坐标系。然 而这种坐标系对于全球定位来说极其不便,误差很大,所以山姆大 叔率先针对 GPS 系统设计了全球大地坐标系 WGS-84 坐标系统,这 时的大地原点不再是参考椭球的中心,而是地球的质心。我国现有 的国家 2000 坐标系也是一种全球大地坐标系, 其与 WGS-84 坐标系 稍微有点差异。 下面是几种常见坐标系的椭球参数:

其中北京 54 坐标系和西安 80 坐标系是参心坐标系, 而 WGS-84 坐标系与国家 2000 坐标系是地心坐标系,坐标原点是地球质心。 好啦,这样大家明白了坐标系的定义了吧,首先,需要定义 参考椭球体, 有了参考椭球还需要大地基准面 (全球大地坐标系就 不要了,即 WGS-84 与国家 2000 坐标系),然后需要定义坐标系原 点和坐标轴的指向。这样一个坐标系就建立了! 2、投影 大家会想,有了坐标就行了,为什么还要搞个让人迷糊的投 影?呵呵,前面我们讲到的是以椭球体为参考来进行空间定位,一 点都不直观, 如果哪天你和妹纸约会, 妹纸说她在 (-2850017.472, 4690744.523,3237959.973)或者(112°E,38°N),尼玛坑爹, 这到底在哪个国家,离哥哥我有多远啊,不知道啊,不至于拿个尺 子去测吧。这时候,泡妞高手们想出了一个办法,把球面投影到一 个平面,用一个平面坐标(x,y)来表示地面点的位置,两点之间

求距离是不是很容易啊?这时候你会发现那个妹子不就是隔壁那 妞嘛,200 米不到(囧!哈哈)。当然,投影最大的目的不是方便 把妹纸,而是地图。所以投影就是把球面坐标转化为平面坐标,也 就是 3D 到 2D 的转换。 投影有很多种,按性质分,比如等角投影,等积投影,等距 投影,任意投影等。大家都知道,球面展开成平面,肯定是一个不 严密 (也可说不完美) 的过程, 会有不同程度的变形。 如何选择呢? 比如在航海上,就需要等角投影,如果方向错了就会差很多,我猜 如果哥伦布那时知道这些就不会跑到美洲还以为到了印度吧。 如果 需要丈量面积,那就要选择等积投影了。 3、测量坐标的表示方式 常见的测量坐标包括大地坐标(大地纬度 B、大地经度 L、大 地高程 H)、空间直角坐标(X、Y、Z)、平面坐标(x、y、H)。 具体见下三图。

大地坐标

4、坐标转换 终于讲到重点了,各种坐标怎样转换是大家最关心的。首先有 一点要牢记: 同一参考椭球下, 大地坐标与空间直角坐标之间的转换是严密 的(数学关系对应),它们与平面坐标的转换是不严密的,需要做 投影转换 (想想也明白, 把球面展成平面那可是难住了好多科学家 呀)。而不同参考椭球之间的坐标转换永远都是非严密的。 坐标转换原理: 同一椭球下的转换 同一椭球下,大地坐标(B、L、H)与空间直角坐标(X、Y、 Z)之间的转换是严密的,其公式为:

而大地坐标(B、L、H)与空间直角坐标(X、Y、Z)向平面直 角坐标的转换属于非严密的,需要进行球面到平面的投影选择,通 常将空间直角坐标转换为大地坐标, 然后在大地坐标和平面直角坐 标之间采用高斯正算和反算公式进行计算。 不同椭球下的转换 不同参考椭球下的坐标转换实质是基准的转换。 如空间定位技 术所采用的全球基准与地面网所采用的局部基准间的转换。 通常的 转换模型有布尔莎-沃尔夫模型 (七参数法) 和莫洛金斯基模型 () 。 这两种模型都常用且非常相似, 布尔莎模型在进行全球或者较大范 围内较为常用, 但是莫洛金斯基模型可以克服布尔莎模型中旋转参 数与平移参数相关性高的问题。 两个坐标系的转换通常有三维七参数模型和二维四参数模 型。 布尔莎模型又称为七参数转换,或者七参数赫尔默特变换。 该模型共采用 7 个参数,分别为三个平移参数(ΔX、ΔY、ΔZ)和 三个旋转参数(ωx、 ωy、ωz)和一个尺度参数 k。

上式是一个 WGS84 下的空间直角坐标转换到 CGCS2000 下的空 间直角坐标的布尔莎模型,有七个未知参数,简单的求解,只需要 3 个公共点就可以了,如果要得到严密解,就需要更多的公共点进 行最小二乘平差解算。而对于大地坐标,可以转成空间直角坐标再 解算,也可以直接利用布尔莎模型。 5、遥感制图的投影和坐标系选择 关于遥感影像的坐标系和投影,大家经常会听到所谓的地理 坐标系(Geographic coordinate system)和投影坐标系

(Projection coordinate system)的概念。打开 Arcgis 的坐标 系文件夹也会发现这两个子文件夹。地理坐标系是以经纬度表示 的,是一种球面坐标系,而投影坐标系是米或者千米等为单位的, 是一种以 xy 表示的平面坐标系。 下面是 Arcgis 中两种坐标系的定 义:

(a) 地理坐标系

(b)投影坐标系

上图中的左图 a 是 WGS-84 下的地理坐标系, 我们可以看出它 定义了一个 WGS-84 椭球体,然后是 WGS84 下的基准面。有了 Spheroid 和 Datum 就可以使用地理坐标系了。右图 b 是西安 80 坐 标系下的投影坐标系,投影方式是高斯-克吕格投影。可以看出, 它除了 Gauss-Kruger 投影参数外,还定义了 Xian-1980 地理坐标 系。

有人会问,为什么投影坐标系要带一个地理坐标系呢?我们 知道投影本质就是把球面投影到平面, 那么投影就必须定义是用哪 个球面坐标系来投影。比如 UTM 投影坐标系,我们熟知的是 WGS84 坐标系来投影,其实我们也可以用国家 2000 坐标系来投影,就我 所知,在月球探索过程中,人们也用到了 UTM 投影,而这时用来投 影的坐标系就是月球坐标系了。 我国常用地图投影的选择: 在我国,大中比例尺(≥1:50 万)的地图一般选择高斯-克 吕格投影, 高斯-克吕格投影有 3°和 6°分带两种, 1:2.5 万-1:50 万比例尺地形图采用经差 6 度分带,1:1 万比例尺的地形图采用经 差 3 度分带。小比例尺的地图(比如全中国地图)应采用等角正轴 割圆锥投影,也就是兰勃特投影(Lambert Conformal Conic), 但是小比例尺海图多选择等角正轴圆柱投影,也就是墨卡托投影。 另外我们平时下载的遥感影像大都是 WGS-84 下的地理坐标系或者 UTM 投影坐标系。 下面就一个例子具体说下地理坐标系到投影坐标系的转换 (投影的选择): 比如:北京的中心经纬度大致在(117°E,40°N),那么其 在北京 54 投影坐标系下 6°分带就应该选择 Beijing 1954 GK Zone 20.prj 或者 Beijing 1954 GK Zone 20N.prj (后者会在横坐标前 加上带号),中央经线=带号(比如 20)*6-3。而在西安 80 投影 坐标系下 6°分带应该选择 Xian 1980 GK Zone 20.prj。北京地

区的遥感影像的 UTM 投影一般会选择 WGS 1984 UTM Zone 50N,因 为 Zone 为 20*6-3 的中央经线为 117,左 114,右 120,正好覆盖 北京,而东半球要加 30(全球 360/6 共 60 个 Zone)所以是 50N, N 表示北半球。 此外, 需要说明的是, 跨带投影会造成较大的变形。 很多人下载全球的植被图、 夜间灯光图等, 想要裁剪出自己需要的 区域,原始数据往往是 WGS84 下的地理坐标系,而矢量数据多是 UTM 或者 TM 等投影坐标系,这时需要将矢量数据转换到地理坐标 系再去裁剪,如果反过来将全球图去投影,会发现变形得很难看。 6、好用的坐标转换工具 (1) 坐标转换工具 用过很多坐标转换工具,也自己写过,现在给大家推荐一款: GPS 工具箱,发现它很容易用,精度也不错,这是下载地址: http://download.csdn.net/detail/rsyaoxin/5611283。可能大 家平时会用的比较多的是 Coord 这个软件, 但是我发现它结果老是 不对,下面是几个软件的比较,第一个是 GPS 工具箱,第二个是我 自己写的一个小软件,第三个是 Coord,结果明显不对,不知道是 不是我下载的 Coord 有问题。至于我自己写的这个工具,待有时间 完善后我也会分享给大家用。

(2)开源坐标和投影转换库:Proj4。 它的功能主要有经纬度坐标与地理坐标的转换,坐标系的 转换,包括基准变换等。这是官方网站:

http://trac.osgeo.org/proj/,可以下载到源码和文档,源码是 C++所写,需要编译才能集成到你的程序使用。下面是我编译好的 一个版本: http://download.csdn.net/detail/rsyaoxin/5611299


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