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2013年嘉定高三数学二模试卷文理合卷含答案


2013 年嘉定区高三年级第二次模拟考试 数学试卷(文理合卷)
一.填空题(本大题满分 56 分,共 14 小题,每小题 4 分) 1.函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) 的最小正周期是__________.

2.若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 3x ? a ? 0

的解集为 ( m ,1 ) ,则实数 m ? _________.
x 3. (理)已知集合 A ? ?? 1,0, a?, B ? x 1 ? 3 ? 3 ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围

?

?





x (文)已知集合 A ? ?? 1,0, a?, B ? x 1 ? 3 ? 9, x ? Z ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的值

?

?





4.已知复数 z 满足

i =3,则复数 z 的实部与虚部之和为__________. z ?1

1 2 2013 5.求值: 1 ? 2C2013 ? 4C2013 ??? (?2)2013 C2013 ? ___________.

6.已知向量 a ? (?2,2),b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是____________.

ax
7.设 a ? 0, a ? 1 ,行列式 D ? 2

1 0

3

开始

2
数图像经过点 ?2,1? ,则 a ?

1 中第 3 行 4 ?3

k ?1


第 2 列的代数余子式记作 y ,函数 y ? f ?x ? 的反函 .

k 2 ? 6k ? 5 ? 0


k ? k ?1

8. (理)如图是一个算法框图,则输出的 k 的值 是 _______. (文)已知 cos( ? ? ? ) ?

输出 k

? ? ? ? (0, ), ? ? (? ,0) ,则 sin ? ? _____.
2 2
9. (理)已知 cos( ? ? ? ) ?

3 5 , sin ? ? ? ,且 5 13

结束

理第 8 题,文第 9 题

3 5 ? ? , sin ? ? ? ,且 ? ? (0, ), ? ? (? ,0) ,则 5 13 2 2

sin ? ? ______.
(文)如图是一个算法框图,则输出的 k 的值是____________. 10. (理)设函数 f ( x) ? ?

? 1 ? x 2 , x ? [?1,0) ? ,则将 y ? f (x) 的曲线绕 x 轴旋转一周所得 ? 1 ? x, x ? [0,1] ?

几何体的体积为____________. (文)设函数 y ? 1 ? x 2 的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积__________.
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11. (理)抛掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数是偶数的事件为 A ,向上的点数大于 2 且小于或等于 5 的事件为 B ,则事件 A ? B 的概率 P( A ? B) ? ____________. (文)从 4 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加会议,则选出 3 人中至少有 1 名女生的概 率是__________.

? 1 ( x ? 1) ? 12. (理)设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?| x ? 1 | ,若关于 x 的方程 ? 1( x ? 1) ? 2 2 2 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有三个不同的实数解 x1 , x2 , x3 ,则 x12 ? x2 ? x3 ? ____________.
(文)函数 f ( x) ?| x 2 ? 4 | ? x 2 ? 4 x 的单调递减区间是___________. 13. (理) 函数 f ( x) ?

( x ? 1) 2 ? sin x 的最大值和最小值分别为 M , m , M ? m ? ______. 则 x2 ?1

? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? (文) 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? y 仅在点 ? y ? 1 ? 0. ?
(3,0) 处取到最大值,则实数 a 的取值范围_______________.
14. (理)设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若不等式 an ?
2 2 Sn ? m a12 对任意等差数列 ?an ? 及 n2 任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 _______ .

(文) 设数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,a1 ? 2, a3 ? 6 , 若自然数 n1 , n2 ,...nk ,...满 足 3 ? n1 ? n2 ? ... ? nk ? ...,且 a1 , a3 , an1 ...ank ,...是等比数列,则 nk =_______________. 二.选择题(本大题满分 20 分,共 4 小题,每小题 5 分)

??? ??? ? ? 15. 已知 A ( a1 , b1 ) , B ( a 2 , b2 ) 是坐标平面上不与原点重合的两个点,则 OA ? OB 的充要
条件是 b b A. 1 ? 2 ? ?1 a1 a 2


B. a1 a 2 ? b1b2 ? 0 C.


D. a1b2 ? a 2 b1

a1 b1 ? a 2 b2

16.(理)关于直线 l , m 及平面α ,β ,下列命题中正确的是 A.若 l // ? , ? ? ? ? m, 则 l // m C.若 l // ? , m // ? , 则 l // m B.若 l ? ? , l // ? , 则 ? ? ?





D.若 l // ? , m ? l ,则 m ? ? ( )

(文)关于直线 l , m 及平面α ,β ,下列命题中正确的是 A.若 l // ? , ? ? ? ? m, 则 l // m C.若 l // ? , m // ? , 则 l // m B.若 l ? ? , m // ? , 则 l ? m

D.若 l // ? , m ? l ,则 m ? ?

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第2页

17. 过点 P(1,1) 作直线 l 与双曲线 x ?
2

y2 ? 1交于 A、B 两点,使点 P 为 AB 中点,则这样 2
( B.存在无数条 D.不存在 )

的直线 l A.存在一条,且方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 C.存在两条,方程为 2x ? ? y ? 1? ? 0

18. (理)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ?

x 2 ? b ) 在区间 (??,??) 上既是奇
( )

函数又是增函数,则函数 g ( x) ? log a | x | ?b 的图象是

( 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ? 2x ? 1, g ( x) ? 1 ? x 2 , 构 造 函 数 F ( x) , 定 义 如 下 : 当

| f ( x) |? g ( x)时, F ( x) ?| f ( x) |,当| f ( x) |? g ( x)时, F ( x) ? ? g ( x) ,那么 F ( x) (
A.有最小值 0,无最大值 C.有最大值 1,无最小值 三.解答题(本大题满分 74 分,共 5 小题) 19. (理) (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 A 6 分) 如图: 已知 AB ? 平面 BCD ,BC ? CD , AD 与平面 BCD 所成的角为 30 ? ,且 AB ? BC ? 2 . (1)求 AD 与平面 ABC 所成角的大小; C (2)求点 B 到平面 ACD 的距离. (文) (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) B B.有最小值 ? 1 ,无最大值 D.无最小值,也无最大值



D

如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上, AB 为圆 O 的直径,圆柱 OO1 的表面积 为 24? , OA ? 2 , ?AOP ? 120? . (1)求三棱锥 A ? APB 的体积; 1 (2)求异面直线 A B 与 OP 所成角的大小. (结果用 1
第 3 页A

A1

O1

B1

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O
P

B

反三角函数值表示) .

20. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对应的边 a , b , c 成等比数列. (1)求证: 0 ? B ?

?

3 1 ? sin 2 B (2)求 y ? 的取值范围. sin B ? cos B
21.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? a x ? (k ? 1)a ? x (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值; (2) (理)若 f (1) ?



? 2 ,求 m 的值.

3 ,且 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 2

( 文 ) 若 f (1) ? 0 , 试 说 明 函 数 f (x) 的 单 调 性 , 并 求 使 不 等 式

f ( x 2 ? tx) ? f (4 ? x) ? 0 恒成立的 t 的取值范围.

22.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分) 如图,已知点 F (0 , 1) ,直线 m : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作 m 的垂线, 垂足为点 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) (理) 过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作直线 m? 与
O x

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

y F

轨迹 C 交于不同两点 A 、B , 且线段 AB 的垂直平分线与 y 轴 的交点为 D(0 , y0 ) ,求 y0 的取值范围;

m

(3) (理)对于(2)中的点 A 、 B ,在 y 轴上是否存在一点 D ,使得△ ABD 为等边 三角形?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由. (2) (文) 过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作方向向量为 d ? (a , 1) 的直线 m? 与轨迹
?

C 交于不同两点 A 、 B ,问是否存在实数 a 使得 FA ? FB ?若存在,求出 a 的范围;若不
存在,请说明理由; (3) (文)在问题(2)中,设线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点为 D(0 , y0 ) ,求 y0 的取值范围.
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23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分) (理)已知三个互不相等的正数 a , b , c 成等比数列,公比为 q .在 a , b 之间和 b ,

c 之间共插入 n 个数,使这 n ? 3 个数构成等差数列.
(1)若 a ? 1 ,在 b , c 之间插入一个数,求 q 的值; (2)设 a ? b ? c , n ? 4 ,问在 a , b 之间和 b , c 之间各插入几个数,请说明理由; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a ,b 之间,t 个位于 b , c 之间,试比较 s 与 t 的 大小. (文)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且对于任意 n ? N ,总有 S n ? 2(an ? 1) .
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在 an 与 a n ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成等差数列,当公差 d 满足

3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这个等差数列所有项的和 T ;
(3)记 an ? f (n) ,如果 cn ? n ? f (n ? log
2

,问是否存在正实数 m , m) ( n ? N * )

使得数列 {cn } 是单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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2012 学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试 数学试卷(参考答案)
一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1. ? 2。

1 2

3。 (理) (0 , 1)

(文) 1

4。

4 3

5。 ? 1 10。 (理) ?

6. [?2 , 6] (文) 4? (文)?

7。 4

8. (理) 6 (文)

33 65 31 35

9。 (理)

33 65

(文) 6

11. (理)

5 6

(文)

12。 (理)5

(文) (?? ,2]

13。 (理) 2

?1 ? ,? ? ? ?2 ?

14. (理)

1 5

(文) 3

k ?1

二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15.B 16。B 17。D 18。 (理)A (文)B

三、解答题 19. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) (理) (1) 解: 因为 AB ? 平面 BCD , 所以 AB ? CD , BC ? CD , 又 所以 CD ? 平面 ABC , ?DAC 就是 AD 与平面 ABC 所成的角. ………………2 分 因为 AB ? 平面 BCD , AD 与平面 BCD 所成的角为 30 ? ,故 ?ADB ? 30? , 由 AB ? BC ? 2 ,得 AD ? 4 , AC ? 2 2 , 所以 cos?DAC ? ………………4 分

AC 2 , ? AD 2
………………6 分

所以 AD 与平面 ABC 所成角的大小为 45 ? .

(2)设点 B 到平面 ACD 的距离为 d ,由(1)可得 BD ? 2 3 , CD ? 2 2 , 则 V A? BCD ?

1 1 4 2 S ?BCD ? AB ? ? BC ? CD ? AB ? ,………………8 分 3 6 3

VB ? ACD ?

1 1 4 S ?ACD ? d ? ? AC ? CD ? d ? d .………………10 分 3 6 3

由 VA? BCD ? VB? ACD ,得 d ?

2.

所以点 B 到平面 ACD 的距离为 2 .………………12 分

(文)解: (1)由题意 S表 ? 2? ? 2 ? ??? 2 ? AA ? 24? ,解得 AA ? 4 . 1 1
2

………………2

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分 在△ AOP 中, OA ? OP ? 2, ?AOP ? 1200 ,所以 AP ? 2 3 . 在△ BOP 中, OB ? OP ? 2, ?BOP ? 600 ,所以 BP ? 2 . 所以 VA1 ? APB ? ………………4 分

1 1 1 8 3 S ?APB ? AA1 ? ? ? 2 3 ? 2 ? 4 ? . 3 3 2 3

………………6 分

(2)取 AA1 中点 Q ,连接 OQ , PQ ,则 OQ // A B , 1 得 ?POQ 或它的补角为异面直线 A B 与 OP 所成的角. 1 又 AP ? 2 3 , AQ ? AO ? 2 ,得 OQ ? 2 2 , PQ ? 4 , 由余弦定理得 cos ?POQ ? ………………8 分

PO2 ? OQ2 ? PQ2 2 , ?? 2PO ? OQ 4
2 . 4

………………10 分

所以异面直线 A B 与 OP 所成角的大小为 arc cos 1

………………12 分

20. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 解: (1)由已知, b ? ac ,所以由余弦定理,
2

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac ? 得 cos B ? 2ac 2ac
2 2 由基本不等式 a ? c ? 2ac ,得 cos B ?

………………2 分

2ac ? ac 1 ? .………………4 分 2ac 2

所以 cosB ? ?

? ?1 ? , 1? .因此, 0 ? B ? .………………6 分 3 ?2 ?

1 ? sin 2B (sin B ? cos B) 2 ?? ? (2) y ? ? ? sin B ? cos B ? 2 sin? B ? ? , sin B ? cos B sin B ? cos B 4? ?
………………9 分 由(1) 0 ? B ? , 所以, y ?

?
3

,所以

?
4

? B?

?
4

?

1 ? sin 2 B 的取值范围是 1 , 2 . sin B ? cos B

?

7? ?? ? 2 ? ? , 1? , ,所以 sin ? B ? ? ? ? 12 4? ? 2 ? ? ?

?

………………12 分

21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) (理)解: (1)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即a
?x

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ,
x ?x

………………2 分

即 (k ? 1)(a ? a

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 , (k ? 2)(a x ? a ?x ) ? 0 ,
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因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 .

………………4 分

解法二:因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 1 ? (k ? 1) ? 0 , k ? 2 . 当 k ? 2 时, f ( x) ? a x ? a ? x , f (? x) ? a ? x ? a x ? ? f ( x) , f (x) 是奇函数. 所以 k 的值为 2 . (2)由(1) f ( x) ? a x ? a ? x ,因为 f (1) ? 解得 a ? 2 . ………………4 分

3 1 3 ,所以 a ? ? , 2 a 2
………………6 分

故 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x , g ( x) ? 2 2 x ? 2 ?2 x ? 2m(2 x ? 2 ? x ) , 令t ? 2 ? 2
x ?x

,则 2

2x

?3 ? ? 2 ?2 x ? t 2 ? 2 ,由 x ? [1 , ? ?) ,得 t ? ? , ? ? ? , ?2 ? ?3 ? , ? ?? ?2 ?

所以 g ( x) ? h(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m) 2 ? 2 ? m 2 , t ? ?

………………9 分

3 9 ?3 ? ?3? 时, h(t ) 在 ? , ? ? ? 上是增函数,则 h? ? ? ?2 , ? 3m ? 2 ? ?2 , 2 4 ?2 ? ?2? 25 解得 m ? (舍去) . ………………11 分 12 3 2 当 m ? 时,则 f (m) ? ?2 , 2 ? m ? ?2 ,解得 m ? 2 ,或 m ? ?2 (舍去) . 2
当m ? 综上, m 的值是 2 . ………………13 分 ………………14 分

( 文 ) 解 :( 1 ) 由 题 意 , 对 任 意 x?R ,

f ( ? x) ? ? f ( x) , 即

a ? x ? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ,
………………2 分 即 (k ? 1)(a x ? a ? x ) ? (a x ? a ? x ) ? 0 , (k ? 2)(a x ? a ?x ) ? 0 , 因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 . ………………4 分

解法二:因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 1 ? (k ? 1) ? 0 , k ? 2 .
x ?x ?x x 当 k ? 2 时, f ( x) ? a ? a , f (? x) ? a ? a ? ? f ( x) , f (x) 是奇函数.

所以 k 的值为 2 .

………………4 分

1 x ?x (2)由(1)知 f ( x) ? a ? a ,由 f (1) ? 0 ,得 a ? ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 . a
………………6 分
x ?x x ?x 当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是减函数, y ? ?a 也是减函数,所以 f ( x) ? a ? a 是减函数.

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………………7 分 由 f ( x 2 ? tx) ? f (4 ? x) ? 0 ,所以 f ( x 2 ? tx) ? ? f (4 ? x) ,………………8 分 因为 f (x) 是奇函数,所以 f ( x 2 ? tx) ? f ( x ? 4) .
2

………………9 分

因为 f (x) 是 R 上的减函数,所以 x ? tx ? x ? 4 即 x 2 ? (t ? 1) x ? 4 ? 0 对任意 x ? R 成 立, 所以△ ? (t ? 1) 2 ? 16 ? 0 , 解得 ? 3 ? t ? 5 . 所以, t 的取值范围是 (?3 , 5) . ………………11 分 ………………12 分 ………………13 分 ………………14 分

22. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分) (理)解: (1)设 P( x , y ) ,由题意, Q( x , ? 1) , QP ? (0 , y ? 1) , QF ? (? x , 2) ,

FP ? ( x , y ? 1) , FQ ? ( x , ? 2) ,
由 QP ? QF ? FP ? FQ,得 2( y ? 1) ? x ? 2( y ? 1) ,
2

………………2 分

化简得 x 2 ? 4 y .所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 2 ? 4 y . (2)轨迹 C 为抛物线,准线方程为 y ? ?1 , 即直线 m ,所以 M (0 , ? 1) , 设直线 m ? 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 ) ,由 ? 由△ ? 16k ? 16 ? 0 ,得 k ? 1 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k ,
2 2

………………4 分 ………………6 分

? y ? kx ? 1 , ?x ? 4 y ,
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,
2

………………8 分 ………………9 分 ………………11 分 ………………12 分

所以线段 AB 的中点为 (2k , 2k 2 ? 1) , 令 x ? 0 ,得 y0 ? 2k 2 ? 1. 因为 k ? 1 ,所以 y0 ? (3 , ? ?) .
2

所以线段 AB 垂直平分线的方程为 ( x ? 2k ) ? k[ y ? (2k 2 ? 1)] ? 0 ,………………10 分

(3)由(2) x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 4 ,所以 | AB |? ,

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )(16 k 2 ? 16 ) ? 4 (k 2 ? 1)( k 2 ? 1) .
假设存在点 D(0 , y0 ) ,使得△ ABD 为等边三角形, ………………14 分

3 ………………15 分 | AB | . 2 | y ? 1 | 2(k 2 ? 1) 2 因为 D(0 , 2k ? 1) ,所以 d ? 0 ? ? 2 k 2 ? 1 ,………………16 分 2 2 1? k k ?1
则 D 到直线 AB 的距离 d ?

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所以 2 k 2 ? 1 ? 2 3 k 2 ? 1 ? k 2 ? 1 ,解得 k ?
2

4 . 3

………………17 分 ………………18 分

所以,存在点 D? 0 ,

? ?

11? ? ,使得△ ABD 为等边三角形. 3?

(文) (1)设 P( x , y ) ,由题意, Q( x , ? 1) , QP ? (0 , y ? 1) , QF ? (? x , 2) ,

FP ? ( x , y ? 1) , FQ ? ( x , ? 2) ,
由 QP ? QF ? FP ? FQ,得 2( y ? 1) ? x 2 ? 2( y ? 1) ,

………………2 分

化简得 x 2 ? 4 y .所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 2 ? 4 y .………………4 分 (2)轨迹 C 为抛物线,准线方程为 y ? ?1 ,即直线 m ,所以 M (0 , ? 1) ,……………5 分 当 a ? 0 时,直线 m ? 的方程为 x ? 0 ,与曲线 C 只有一个公共点,故 a ? 0 .…………6 分 所以直线 m ? 的方程为

? x ? ay ? a , x ? y ? 1 ,由 ? 2 得 a 2 y 2 ? (2a 2 ? 4) y ? a 2 ? 0 , a ?x ? 4 y ,
2

由△ ? 4(a 2 ? 2) 2 ? 4a 4 ? 0 ,得 0 ? a ? 1 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 所以 x1 ? x 2 ?

………………8 分

4 ? 2 , y1 y 2 ? 1 , a2
………………9 分

4 , x1 x2 ? 4 , a

若 FA ? FB ,则 FA ? FB ? 0 ,即 ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y 2 ? 1) ? 0 ,

? 4 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 0 , 4 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 0 , ?a ?
解得 a ?
2

………………11 分

1 2 .所以 a ? ? . 2 2

………………12 分

(3)由(2) ,得线段 AB 的中点为 ?

?2 2 ? , 2 ?1? ,线段 AB 的垂直平分线的一个法向量为 ?a a ?
AB
的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为

? n ? (a , 1)







线



2? ? 2 ? ? a? x ? ? ? ? y ? 2 ? 1? ? 0 , a? ? a ? ?
令 x ? 0 , y0 ?

………………15 分

2 ? 1, a2

………………16 分

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第 10 页

因为 0 ? a ? 1 ,所以
2

2 ?1 ? 3. a2
………………18 分

所以 y0 的取值范围是 (3 , ? ?) .

23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分) (理)解: (1)因为 a , b , c 是互不相等的正数,所以 q ? 0 且 q ? 1 . 由已知, a , b , c 是首项为 1 ,公比为 q 的等比数列,则 b ? q , c ? q 2 ,…2 分 当插入的一个数位于 b , 之间, 设由 4 个数构成的等差数列的公差为 d , ? 则 c 消去 d 得 2q ? 3q ? 2 ? 0 ,
2

?q ? 1 ? d
2 ? q ? 1 ? 3d



因为 q ? 1 ,所以 q ? 2 .

………………4 分

(2)设所构成的等差数列的公差为 d ,由题意, d ? 0 ,共插入 4 个数. ………………5 分 若在 a , b 之间插入 1 个数,在 b , c 之间插入 3 个数,则 ? 于是

b?a c?b ? , 2b ? 2a ? c ? b , q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 .………………7 分 2 4 ?b ? a ? 4d 若在 a , b 之间插入 3 个数,在 b , c 之间插入 1 个数,则 ? , c ? b ? 2d ? b?a c?b 1 ? 于是 , 2c ? 2b ? b ? a 解得 q ? (不合题意,舍去) ………………9 分 . 4 2 2 ?b ? a ? 3d 若 a , b 之间和 b , c 之间各插入 2 个数,则 ? ,b ? a ? c ? b, ?c ? b ? 3d 解得 q ? 1 (不合题意,舍去) ………………11 分 综上, a , b 之间插入 1 个数,在 b , c 之间插入 3 个数. ………………12 分
(3)设所构成的等差数列的公差为 d ,

?b ? a ? 2d , ?c ? b ? 4d

b?a b?c ,又 c ? b ? (t ? 1)d , d ? ,…………14 分 s ?1 t ?1 b?a c?b q ? 1 q ( q ? 1) t ?1 ? ? ? q .………………16 分 所以 ,即 ,因为 q ? 1 ,所以 s ?1 t ?1 s ?1 t ?1 s ?1 所以,当 q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t ;当 0 ? q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t .
由题意, b ? a ? ( s ? 1)d , d ? ………………18 分 (文) (1)当 n ? 1 时,由已知 a1 ? 2(a1 ? 1) ,得 a1 ? 2 . 当 n ? 2 时,由 S n ? 2(an ? 1) , S n?1 ? 2(an?1 ? 1) ,两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 , 即 an ? 2an?1 ,所以 {an } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列. 所以, an ? 2 n ( n ? N ) .
*

………………4 分

高三数学试卷

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(2)由题意, an?1 ? an ? (n ? 1)d ,故 d ?

a n ?1 ? a n 2n ,即 d ? ,………………6 分 n ?1 n ?1

因为 3 ? d ? 4 ,所以 3 ? 所以 d ?

2n ? 4 ,即 3n ? 3 ? 2 n ? 4n ? 4 ,解得 n ? 4 ,…………8 分 n ?1

16 16 .所以所得等差数列首项为 16 ,公差为 ,共有 6 项.………………10 分 5 3 6 ? (16 ? 32) ? 144 . 所以这个等差数列所有项的和 T ? ………………11 分 2 所以, n ? 4 , T ? 144 . ………………12 分
(3)由(1)知 f (n) ? 2 ,所以 cn ? n ? f (n ? log
n

2

m) ? n ? 2

n?log

2

m

? n ? 2 n?log2 m

2

? n ? 2 2n?log2 m ? n ? (2log2 m ) 2n ? n ? m2n .………………14 分
由题意, cn?1 ? cn ,即 (n ? 1) ? m 2n?2 ? n ? m 2n 对任意 n ? N 成立,
*

n 1 * ? 1? 对任意 n ? N 成立.………………16 分 n ?1 n ?1 1 1 * 因为 g ( n) ? 1 ? 在 n ? N 上是单调递增的,所以 g (n) 的最小值为 g (1) ? . n ?1 2 ? 1 2? 2 ?. 所以 m ? .由 m ? 0 得 m 的取值范围是 ? 0 , ? 2 2 ? ? ?
所以 m ?
2

所以,当 m ? ? 0 ,

? ? ?

2? ? 时,数列 {cn } 是单调递减数列. 2 ? ?

………………18 分

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