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2014高考 数学统计与概率知识点详解大全



概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

第1章
n Pm ?

随机事件及其概率
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

(1)排列 组合公式
n Cm ?

m! (m ? n)! m! n!(m ? n)!

从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。

(2)加法 和乘法原 理

加法原理(两种方法均能完成此事) :m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) :m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有 如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 ? 来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点(基本事件 ? )组成的集合。通常用大写字母 A,B,C,?表示事件,它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件,? 为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件(Ω )的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分, (A 发生必有事件 B 发生) :

(3)一些 常见排列 (4)随机 试验和随 机事件

(5)基本 事件、样本 空间和事 件

A? B
(6)事件 的关系与 运算 如果同时有 A ? B , B ? A ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B: A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件:A ? B,或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A 与 B 的差,记为 A-B,也可 表示为 A-AB 或者 AB ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。

A、B 同时发生:A ? B,或者 AB。A ? B=?,则表示 A 与 B 不可能同时发生,
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
1

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? -A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为 A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。 ②运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率: i ?1

?A ??A
i i ?1

?

?

i

A? B ? A? B, A? B ? A? B

(7)概率 的公理化 定义

设 ? 为样本空间, A 为事件,对每一个事件 A 都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件: 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω ) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 , A2 ,?有

?? ? ? P? ? ? Ai ? ? ? ? P ( Ai ) ? i ?1 ? i ?1
常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。

?1 , ? 2 ?? n ?, 1° ? ? ?
2° P(?1 ) ? P(? 2 ) ? ? P(? n ) ? (8)古典 概型

设任一事件 A ,它是由 ?1 , ? 2 ?? m 组成的,则有

1 。 n

P(A)= ?(?1 ) ? (? 2 ) ? ? ? (? m )? = P(?1 ) ? P(? 2 ) ? ? ? P(? m )

?

m A所包含的基本事件数 ? 基本事件总数 n

(9)几何 概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀, 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述, 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,

P ( A) ?
(10)加法 公式 (11)减法 公式

L( A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 L (?)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B ? A 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时,P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称

P ( AB ) 为事件 A 发生条件下,事 P ( A) (12)条件 P ( AB ) 概率 件 B 发生的条件概率,记为 P( B / A) ? 。 P ( A)
1

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(13)乘法 公式

条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 ? P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式: P( AB) ? P( A) P( B / A) 更一般地,对事件 A1,A2,?An,若 P(A1A2?An-1)>0,则有

P( A1 A2 ? An) ? P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) ?? P( An | A1 A2 ?
An ? 1) 。
①两个事件的独立性 设事件 A 、B 满足 P( AB) ? P( A) P( B) , 则称事件 A 、B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立,且 P( A) ? 0 ,则有

P( B | A) ?

P( AB) P( A) P( B) ? ? P( B) P( A) P( A)

(14)独立 性

若事件 A 、 B 相互独立,则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独 立。 必然事件 ? 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。 ? 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件, P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B 2,?, Bn 满足 1° B1, B 2,?, Bn 两两互不相容, P( Bi ) ? 0(i ? 1,2,?, n) ,

(15)全概 公式

2° 则有

A ? ? Bi
i ?1

n



P( A) ? P( B1) P( A | B1) ? P( B2) P( A | B2) ? ? ? P( Bn) P( A | Bn) 。
设事件 B1 , B2 ,?, Bn 及 A 满足 1° B1 , B2 ,?, Bn 两两互不相容, P( Bi) >0, i ? 1,2,?, n , 2° 则 (16)贝叶 斯公式
n

A ? ? Bi
i ?1

, P( A) ? 0 ,

P( Bi / A) ?

P( Bi ) P( A / Bi )

? P( B
j ?1

n

,i=1,2,?n。

j

) P( A / B j )

此公式即为贝叶斯公式。

n) ,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了
(17)伯努 利概型
1

P( Bi ) , ( i ? 1 ,2 ,?,n ) ,通常叫先验概率。 P( Bi / A) , ( i ? 1 ,2 ,?,

“由果朔因”的推断。 我们作了 n 次试验,且满足 ? 每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生;

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? ?

n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样;

每次试验是独立的,即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与 否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型,或称为 n 重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率,则 A 发生的概率为 1 ? p ? q ,用 Pn(k ) 表 示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0 ? k ? n) 次的概率,

Pn(k ) ? C n p k q n ? k

k

, k ? 0,1,2,?, n 。

第二章
(1)离散 型随机变 量的分布 律

随机变量及其分布

设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,?)且取各个值的概率,即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk,k=1,2,?, 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出:

X x1, x 2,?, xk ,? | P( X ? xk ) p1, p 2,?, pk ,? 。
显然分布律应满足下列条件: (1) pk ? 0 , k ? 1,2,? , (2) k ?1 (2)连续 型随机变 量的分布 密度

?p

?

k

?1


设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数,若存在非负函数 f ( x) ,对任意实数 x ,有

F ( x) ? ? f ( x)dx
??

x



则称 X 为连续型随机变量。 f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数,简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质: 1° 2°

f ( x) ? 0 。

?

??

??

f ( x)dx ? 1



(3)离散 与连续型 随机变量 的关系

P( X ? x) ? P( x ? X ? x ? dx) ? f ( x)dx
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X ? xk ) ? pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。

1

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(4)分布 函数

设 X 为随机变量, x 是任意实数,则函数

F ( x ) ? P( X ? x )
称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。

P(a ? X ? b) ? F (b) ? F (a)

可以得到 X 落入区间 (a, b] 的概率。分布

函数 F ( x) 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。 分布函数具有如下性质: 1° 2° 3° 4° 5°

0 ? F ( x) ? 1,

? ? ? x ? ?? ;

F ( x) 是单调不减的函数,即 x1 ? x2 时,有 F ( x1) ? F ( x 2) ;
F ( ?? ) ? lim F ( x ) ? 0 ,
x ? ??

F (??) ? lim F ( x) ? 1 ;
x ? ??

F ( x ? 0) ? F ( x) ,即 F ( x) 是右连续的; P( X ? x) ? F ( x) ? F ( x ? 0) 。
xk ? x
x

对于离散型随机变量, F ( x) ?

?p

k



对于连续型随机变量, F ( x ) ? (5)八大 分布 0-1 分布 二项分布

??

? f ( x)dx



P(X=1)=p, P(X=0)=q

在 n 重贝努里试验中,设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量,设为 X ,则 X 可能取值为 0,1,2,?, n 。
k P( X ? k ) ? Pn(k ) ? C n p k q n?k







q ? 1 ? p,0 ? p ? 1, k ? 0,1,2,?, n ,
则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为

X ~ B(n, p) 。
当 n ? 1时, P( X ? k ) ? p q
k 1? k

, k ? 0.1 ,这就是(0-1)分

布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。

1

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泊松分布

设随机变量 X 的分布律为

P( X ? k ) ?

?k
k!

e ?? , ? ? 0 , k ? 0,1,2? ,

则称随机变量 X 服从参数为 ? 的泊松分布,记为 X ~ ? (? ) 或 者 P( ? )。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ ,n→∞) 。 超几何分布
k n?k k ? 0,1,2 ?, l CM ? CN ?M P( X ? k ) ? , n l ? min( M , n) CN

随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。 几何分布

P( X ? k ) ? q k ?1 p, k ? 1,2,3,? ,其中 p≥0,q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。 设随机变量 X 的值只落在[a,b]内,其密度函数 f ( x) 在[a,b] 上为常数

均匀分布

1 ,即 b?a
a≤x≤b 其他,

? 1 , ? f ( x) ? ? b ? a ? ?0,

则称随机变量 X 在[a,b]上服从均匀分布,记为 X~U(a,b)。 分布函数为 0, x<a, a≤x≤b x>b。

F ( x) ? ? f ( x)dx ?
??

x

x?a , b?a
1,

当 a≤x1<x2≤b 时,X 落在区间( x1 , x 2 )内的概率为

P( x1 ? X ? x 2 ) ?

x 2 ? x1 。 b?a

1

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指数分布

? e ? ?x ,
f ( x) ?
0,

x ? 0, x ? 0,

其中 ? ? 0 ,则称随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布。 X 的分布函数为

1 ? e ? ?x ,
F ( x) ?
0,

x ? 0,
x<0。

记住积分公式:
??

?x
0

n

e ? x dx ? n!

正态分布

设随机变量 X 的密度函数为 , ? ? ? x ? ?? , 2? ? ? ? 0 为常数, ? 其中 ? 、 则称随机变量 X 服从参数为 ? 、

f ( x) ?

1

e

?

( x?? )2 2? 2

的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 X ~ N ( ? ,? ) 。
2

f ( x) 具有如下性质:


f ( x) 的图形是关于 x ? ? 对称的;

2° 当 x ? ? 时, f ( ? ) ?
2

1 2? ?

为最大值;

(t ? ? )2 ,? )x,则 X ? 若 X ~ N (? 的分布函数为 1 2 2?

F ( x) ?

2??

?

??

e

dt

。 。

参数 ? ? 0 、 ? ? 1 时的正态分 布称为标准正态分布, 记为

X ~ N (0,1) ,其密度函数记为 x2 1 ?2 ? ( x) ? e 2? , ? ? ? x ? ?? ,
分布函数为

? ( x) ?

1 2?

?( x) 是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
Φ (-x)=1-Φ (x)且 Φ (0)= 如果 X ~ N ( ? , ? ) ,则
2

??

?e

x

?

t2 2

dt 。

1 。 2 X ??

? ?x ??? ?x ??? P( x1 ? X ? x 2 ) ? ?? 2 ? ? ?? 1 ?。 ? ? ? ? ? ?

~ N (0,1) 。

1

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(6)分位 数 (7)函数 分布

下分位表: P( X ? ?? )=? ; 上分位表: P( X ? ?? )=? 。 离散型 已知 X 的分布列为

x1, x 2, ? , xn, ? X , P ( X ? xi ) p1, p 2, ? , pn, ? Y ? g ( X ) 的分布列( y i ? g ( x i ) 互不相等)如下: g ( x1), g ( x 2), ?, g ( xn), ? Y , P(Y ? yi ) p1, p 2, ?, pn, ? 若有某些 g ( xi ) 相等,则应将对应的 p i 相加作为 g ( xi ) 的概率。
连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)=P(g(X)≤ y),再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。

第三章
(1)联合 分布 离散型

二维随机变量及其分布
如果二维随机向量 ? (X,Y)的所有可能取值为至多可列

个有序对(x,y) ,则称 ? 为离散型随机量。 设 ? =(X,Y)的所有可能取值为 ( xi , y j )(i, j ? 1,2, ?) , 且事件{ ? = ( x i , y j ) }的概率为 pij,,称

P{( X , Y ) ? ( xi , y j )} ? p ij (i, j ? 1,2, ?)
为 ? =(X,Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分 布有时也用下面的概率分布表来表示:

Y X x1 x2

y1 p11 p21

y2 p12 p22

? ? ?

yj p1j p2j

? ? ?

?
xi

?
pi1

?
?

?
p ij

?
?

?

?

?

?

?

这里 pij 具有下面两个性质: (1)pij≥0(i,j=1,2,?) ; (2)

??
i j

pij ? 1.

1

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连续型

对 于 二 维 随 机 向 量 ? ? (X ,Y ) , 如 果 存 在 非 负 函 数

f ( x, y)(?? ? x ? ??,?? ? y ? ??) ,使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d} 有

P{( X , Y ) ? D} ? ?? f ( x, y)dxdy,
D

则称 ? 为连续型随机向量;并称 f(x,y)为 ? =(X,Y)的分布 密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。 分布密度 f(x,y)具有下面两个性质: (1) f(x,y)≥0; (2) (2)二维 随机变量 的本质 (3)联合 分布函数

? ?

?? ??

? ? ??

f ( x, y)dxdy ? 1.

? ( X ? x, Y ? y) ? ? ( X ? x ? Y ? y)
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数

F ( x, y) ? P{ X ? x, Y ? y}
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函 数。 分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 , 以 事 件

{(?1 , ? 2 ) | ?? ? X (?1 ) ? x,?? ? Y (? 2 ) ? y} 的概率为函数值的一个实值函
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质: (1) 0 ? F ( x, y) ? 1; (2)F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的,即 当 x2>x1 时,有 F(x2,y)≥F(x1,y);当 y2>y1 时,有 F(x,y2) ≥F(x,y1); (3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的,即

F ( x, y) ? F ( x ? 0, y), F ( x, y) ? F ( x, y ? 0);
(4) F (??,??) ? F (??, y) ? F ( x,??) ? 0, F (??,??) ? 1. (5)对于 x1 ? x 2,y1 ? y 2,

F ( x 2,y 2 ) ? F ( x 2,y1 ) ? F ( x1,y 2 ) ? F ( x1,y1 ) ? 0 .
(4)离散 型与连续 型的关系

P( X ? x,Y ? y) ? P( x ? X ? x ? dx,y ? Y ? y ? dy) ? f ( x,y)dxdy

1

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(5)边缘 分布

离散型

X 的边缘分布为

Pi? ? P( X ? xi ) ? ? pij (i, j ? 1,2, ?) ;
j

Y 的边缘分布为

P? j ? P(Y ? y j ) ? ? pij (i, j ? 1,2, ?) 。
i

连续型

X 的边缘分布密度为

f X ( x) ? ?

??

??

f ( x, y)dy;

Y 的边缘分布密度为

f Y ( y) ? ? f ( x, y)dx.
??

??

(6)条件 分布

离散型

在已知 X=xi 的条件下,Y 取值的条件分布为

P (Y ? y j | X ? x i ) ?

p ij pi?
p ij p? j



在已知 Y=yj 的条件下,X 取值的条件分布为

P( X ? x i | Y ? y j ) ?
连续型

,

在已知 Y=y 的条件下,X 的条件分布密度为

f ( x | y) ?

f ( x, y ) ; f Y ( y)

在已知 X=x 的条件下,Y 的条件分布密度为

f ( y | x) ?
(7)独立 性 一般型 离散型

f ( x, y ) f X ( x)

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

p ij ? p i ? p ? j
有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断,充要条件: ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形

连续型

二维正态分 布

f ( x, y ) ?

1 2?? 1 ? 2 1 ? ? 2

?

e

? ? x ? ? ? 2 2 ? ( x ? ? )( y ? ? ) ? y ? ? 1 1 ? 1 2 2 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 (1? ? 2 ) ? 2 ? ?? 1 ?

? ? ? ?

2?

? ? ?

,

? =0

1

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随机变量的 函数

若 X1,X2,?Xm,Xm+1,?Xn 相互独立, h,g 为连续函数,则: h(X1,X2,?Xm)和 g(Xm+1,?Xn)相互独立。 特例:若 X 与 Y 独立,则:h(X)和 g(Y)独立。 例如:若 X 与 Y 独立,则:3X+1 和 5Y-2 独立。

(8)二维 均匀分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

? 1 ?S ? D f ( x, y ) ? ? ?0, ? ?

( x, y ) ? D 其他

其中 SD 为区域 D 的面积,则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布,记为(X,Y)~ U(D) 。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。

y
1

D1 O
图 3.1 1

x

y
1 D2

O

1

2 x

图 3.2

y d c O a
图 3.3

D3

b

x

1

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(9)二维 正态分布

设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

f ( x, y ) ?

1 2?? 1 ? 2 1 ? ? 2

?

e

? ? x ? ? ? 2 2 ? ( x ? ? )( y ? ? ) ? y ? ? 1 ? 1 2 2 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 (1? ? ) ? 2 ? ?? 1 ? 1
2

? ? ? ?

2?

? ? ?

,

其中 ?1 , ? 2,? 1 ? 0, ? 2 ? 0, | ? |? 1 是 5 个参数,则称(X,Y)服从二维正态分 布, 记为(X,Y)~N( ?1 , ? 2,? 1 , ? 2 , ? ).
2 2

由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布, 即 X~N( ? 1 , ? 1 ), Y ~ N ( ? 2,? 2 ).
2 2

但是若 X~N( ? 1 , ? 1 ), Y ~ N ( ? 2,? 2 ) ,(X,Y)未必是二维正态分布。
2 2

(10)函数 分布

Z=X+Y

根据定义计算: FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P( X ? Y ? z )
??

对于连续型,fZ(z)=

??

? f ( x, z ? x)dx
2 2

两个独立的正态分布的和仍为正态分布( ?1 ? ? 2 , ? 1 ? ? 2 ) 。 n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。

? ? ? Ci ? i , ? 2 ? ? Ci2? i2
i i

Z=max,min( X1,X2,?Xn)

若 X1, X 2 ? X n 相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为

Fx1 ( x),Fx2 ( x) ? Fxn ( x) ,则 Z=max,min(X1,X2,?Xn)的分布
函数为:

Fmax ( x) ? Fx1 ( x) ? Fx2 ( x) ? Fxn ( x) Fmin ( x) ? 1 ? [1 ? Fx1 ( x)] ? [1 ? Fx2 ( x)]?[1 ? Fxn ( x)]

1

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? 2 分布

设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , ? , X n 相互独立,且服从标准正态分 布,可以证明它们的平方和

W ? ? X i2
i ?1

n

的分布密度为
n u ?1 ? ? 1 2 u e 2 ? n ? n ? ? f (u ) ? ? 2 2 ?? ? ? ? 2? ? 0 , ?
2

u ? 0, u ? 0.
2

我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 ? 分布, 记为 W~ ? (n) , 其中

? n ? ? ? ?1 ?? ? ? ? x 2 e ? x dx. ?2? 0
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数。

n

? 2 分布满足可加性:设
Yi ? ? 2 (ni ),


Z ? ? Yi ~ ? 2 (n1 ? n 2 ? ? ? n k ).
i ?1

k

1

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t 分布

设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且

X ~ N (0,1), Y ~ ? 2 (n),
可以证明函数

T?
的概率密度为

X Y /n

? n ? 1? n ?1 ?? ? 2 ? 2 ? ? t 2 ? ? ? f (t ) ? 1? ? n? ?n?? ? ? n? ? ? ? ? 2?
t1?? (n) ? ?t? (n)
F 分布

(?? ? t ? ??).

我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布,记为 T~t(n)。

设 X ~ ? (n1 ), Y ~ ? (n 2 ) , 且 X 与 Y 独 立 , 可 以 证 明
2 2

F?

X / n1 的概率密度函数为 Y / n2

? ? n1 ? n 2 ? ? ? ?? n1 ? 2 ? ? ? ? ? ? f ( y ) ? ? ? n1 ? ? n 2 ? ? n 2 ? ? ? ?? ? ? ? ?2? ? 2 ? ? ?

? 2 n21 ?1 ? n1 ? ? ? y ? ?1 ? n y ? ? 2 ? ? ? 0, y ? 0

n1

?

n1 ? n2 2

,y?0

我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1,第二个自由度为 n2 的 F 分布,记为 F~f(n1, n2).

F1?? (n1 , n 2 ) ?

1 F? (n 2 , n1 )

第四章
(1)

随机变量的数字特征
离散型 连续型

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

一 随 变 的 字 征

维 机 量 数 特

期望 期望就是平均值

设 X 是离散型随机变量, 其分布 律 为 P( X ? xk ) = pk , k=1,2,?,n,

设 X 是连续型随机变量, 其概率密 度为 f(x),
??

E( X ) ?

E ( X ) ? ? xk pk
k ?1

n

??

? xf ( x)dx

(要求绝对收敛)

(要求绝对收敛) 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)
n
??

E (Y ) ? ? g ( x k ) p k
k ?1

E (Y ) ?

??

? g ( x) f ( x)dx
??

方差 2 D(X)=E[X-E(X)] , 标准差

D( X ) ? ?[ xk ? E ( X )] pk
2 k

D( X ) ? ? [ x ? E ( X )] 2 f ( x)dx
??

? ( X ) ? D( X ) ,
矩 ①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩,记为 vk,即 ν k=E(X )=
k

①对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点 矩,记为 vk,即 ν k=E(X )=
k

?x
i

k i

pi ,

?

??

??

x k f ( x)dx,

k=1,2, ?. ②对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学期

k=1,2, ?. ②对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学期望为 X

望为 X 的 k 阶中心矩, 记为 ? k , 的 k 阶中心矩,记为 ? k ,即 即

? k ? E ( X ? E ( X )) k
.
=

? k ? E ( X ? E ( X )) k
.
= ,

? (x
i

i

? E( X )) pi
k

?

??

??

( x ? E( X )) k f ( x)dx,

k=1,2, ?.

k=1,2, ?.

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

切比雪夫不等式

设随机变量 X 具有数学期望 E(X)=μ ,方差 D(X)=σ ,则对于 任意正数ε ,有下列切比雪夫不等式

2

P( X ? ? ? ? ) ?

?2 ?2
P( X ? ? ? ? )

切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下,对概率

的一种估计,它在理论上有重要意义。 (2) 期 望 的 性 质 (1) E(C)=C (2) E(CX)=CE(X) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y), E (

? Ci X i ) ? ? Ci E ( X i )
i ?1 i ?1

n

n

(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X 和 Y 独立; 充要条件:X 和 Y 不相关。 (3) 方 差 的 性 质 (1) (2) (3) (4) (5) D(C)=0;E(C)=C 2 D(aX)=a D(X); E(aX)=aE(X) 2 D(aX+b)= a D(X); E(aX+b)=aE(X)+b 2 2 D(X)=E(X )-E (X) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X 和 Y 独立; 充要条件:X 和 Y 不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 期望 0-1 分布 B(1, p) 二项分布 B(n, p) 泊松分布 P(? ) 方差

(4) 常 见 分 布 的 期 望 和 方差

p np

p(1 ? p)
np(1 ? p)

?
1 p

?
1? p p2
nM ? M ?? N ? n ? ?1 ? ?? ? N ? N ?? N ? 1 ?

几何分布 G ( p)

超几何分布 H (n, M , N )

nM N a?b 2 1 ?

均匀分布 U (a, b) 指数分布 e(? )

(b ? a ) 2 12

1

?2

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

正态分布 N ( ? , ? )
2

?
n 0

?2
2n

? 2 分布
t 分布 (5) 二 维 随 机 变 量 的 数 字 特 征 期望
n

n (n>2) n?2
??

E ( X ) ? ? xi p i?
i ?1

E( X ) ?

?? ??

? xf

X

( x)dx

E (Y ) ? ? y j p ? j
j ?1

n

E (Y ) ?

??

? yf

Y

( y )dy

函数的期望

E[G( X , Y )] =

E[G( X , Y )] =

?? G( x , y
i i j

j

) pij

?? ??

-? -?

? ? G( x, y) f ( x, y)dxdy
??

方差

D( X ) ? ?[ xi ? E ( X )] pi?
2 i

D( X ) ? ? [ x ? E ( X )] 2 f X ( x)dx
??

D(Y ) ? ? [ x j ? E (Y )] 2 p? j
j

D(Y ) ? ? [ y ? E (Y )] 2 f Y ( y )dy
??

??

协方差

对于随机变量 X 与 Y, 称它们的二阶混合中心矩 ?11 为 X 与 Y 的协方 差或相关矩,记为 ? XY 或 cov(X , Y ) ,即

? XY ? ?11 ? E[( X ? E ( X ))(Y ? E (Y ))].
与记号 ? XY 相对应, X 与 Y 的方差 D (X) 与D (Y) 也可分别记为 ? XX 与 ? YY 。

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

相关系数

对于随机变量 X 与 Y,如果 D(X)>0, D(Y)>0,则称

? XY
D( X ) D(Y )
为 X 与 Y 的相关系数,记作 ? XY (有时可简记为 ? ) 。 | ? |≤1, 当| ? |=1 时, 称 X 与 Y 完全相关: P( X ? aY ? b) ? 1 完全相关 ?

?正相关,当? ? 1时(a ? 0), ?负相关,当? ? ?1时(a ? 0),

而当 ? ? 0 时,称 X 与 Y 不相关。 以下五个命题是等价的: ① ? XY ? 0 ; ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵

? ? XX ? ?? ? YX

? XY ? YY

? ? ? ?
k l

混合矩

对于随机变量 X 与 Y,如果有 E ( X Y ) 存在,则称之为 X 与 Y 的

k+l 阶混合原点矩,记为? kl ;k+l 阶混合中心矩记为:

u kl ? E[( X ? E ( X )) k (Y ? E (Y )) l ].
(6) 协 方 差 的 性质 (7) 独 立 和 不 相关 (i) (ii) (iii) (iv) (i) (ii) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 若随机变量 X 与 Y 相互独立,则 ? XY ? 0 ;反之不真。 若(X,Y)~N( ?1 , ? 2 , ? 1 , ? 2 , ? ) ,
2 2

则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。

第五章

大数定律和中心极限定理

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

(1)大数定律

X ??

切比雪 夫大数 定律

设随机变量 X1,X2,?相互独立,均具有有限方差,且被同一 常数 C 所界:D(Xi)<C(i=1,2,?),则对于任意的正数ε ,有

?1 n ? 1 n lim P? X ? E( X i ) ? ? ? ? ? i ? ? ? 1. n ?? n i ?1 ? n i ?1 ?
特殊情形:若 X1,X2,?具有相同的数学期望 E(XI)=μ , 则上式成为

?1 n ? ? lim P? X ? ? ? ? ? i ? ? 1. n ?? ? n i ? 1 ? ?
伯努利 大数定 律 设μ 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 在 每次试验中发生的概率,则对于任意的正数ε ,有

?? ? lim P? ? p ??? ? ? ? 1. n ?? ? n ?
伯努利大数定律说明,当试验次数 n 很大时,事件 A 发生 的频率与概率有较大判别的可能性很小,即

n ??

?? ? lim P? ? n ? p ??? ? ? 0. ? ?

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大 数定律 设 X1,X2,?,Xn,?是相互独立同分布的随机变量序列,且 E (Xn)=μ ,则对于任意的正数ε 有

?1 n ? lim P? X i ?? ? ? ? ? ? ? ? 1. n ?? ? n i ?1 ?
(2)中心极限定 理 列维- 林德伯 格定理 设随机变量 X1,X2,?相互独立,服从同一分布,且具有 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 :

X ? N (? ,

?2
n

)

E ( X k ) ? ? , D( X k ) ? ? 2 ? 0(k ? 1,2, ?) ,则随机变量

Yn ?

?X
k ?1

n

k

? n?

n?

的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x,有

? n ? X k ? n? ? ? ? 1 ? ? lim Fn ( x) ? lim P ? k ?1 ? x? ? n ?? n ?? n? 2? ? ? ? ? ? ?
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

?

x

??

e

?

t2 2

dt.

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

棣莫弗 -拉普 拉斯定 理

设随机变量 X n 为具有参数 n, p(0<p<1)的二项分布,则对于 任意实数 x,有
2

(3)二项定理

t ? ? 1 x ?2 ? X n ? np ? ? lim P? ? x? ? ???e dt. n ?? np ( 1 ? p ) 2 ? ? ? ? ? M 若当 N ? ?时, ? p(n, k不变) ,则 N
k n?k CM CN k k ?M ? Cn p (1 ? p) n ?k n CN

( N ? ?).

超几何分布的极限分布为二项分布。 (4)泊松定理 若当 n ? ?时, np ? ? ? 0 ,则
k k Cn p (1 ? p) n ?k ?

?k
k!

e ??

(n ? ?).

其中 k=0,1,2,?,n,?。 二项分布的极限分布为泊松分布。

第六章 样本及抽样分布
(1)数理 统计的基 本概念 总体 在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全 体称为总体 (或母体) 。 我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量(或随机向量) 。 总体中的每一个单元称为样品(或个体) 。 我们把从总体中抽取的部分样品 x1 , x 2 , ? , x n 称为样本。样本 中所含的样品数称为样本容量, 一般用 n 表示。 在一般情况下, 总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机 变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时, x1 , x 2 , ? , x n 表示 n 个随机变量(样本) ;在具体的一次 抽取之后, x1 , x 2 , ? , x n 表示 n 个具体的数值(样本值) 。我们 称之为样本的两重性。 样本函数和 统计量 设 x1 , x 2 , ? , x n 为总体的一个样本,称

个体 样本

? ??

( x1 , x 2 , ? , x n )

为样本函数,其中 ? 为一个连续函数。如果 ? 中不包含任何未 知参数,则称 ? ( x1 , x 2 , ? , x n )为一个统计量。

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

常见统计量 及其性质

样本均值 样本方差

x?

1 n ? xi . n i ?1

1 n S ? ( x i ? x) 2 . ? n ? 1 i ?1
2

样本标准差 样本 k 阶原点矩

S?

1 n ( x i ? x) 2 . ? n ? 1 i ?1

Mk ?

1 n k ? xi , k ? 1,2, ?. n i ?1

样本 k 阶中心矩

? ? Mk

1 n ( xi ? x) k , k ? 2,3, ?. ? n i ?1

E ( X ) ? ? , D( X ) ?

?2
n



E ( S 2 ) ? ? 2 , E (S *2 ) ?
其中 S * ?
2

n ?1 2 ? , n

1 n ? ( X i ? X ) 2 ,为二阶中心矩。 n i ?1
2

(2)正态 总体下的 四大分布

正态分布

设 x1 , x 2 , ? , x n 为来自正态总体 N ( ? , ? ) 的一个样本,则样 本函数

u
t 分布

def

x??

?/ n

~ N (0,1).
2

设 x1 , x 2 , ? , x n 为来自正态总体 N ( ? , ? ) 的一个样本,则样 本函数

t

def

x?? s/ n

~ t (n ? 1),

其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

? 2 分布

设 x1 , x 2 , ? , x n 为来自正态总体 N ( ? , ? ) 的一个样本,则样
2

本函数

w
2

def

(n ? 1) S 2

?

2

~ ? 2 (n ? 1),
2

其中 ? (n ? 1) 表示自由度为 n-1 的 ? 分布。 F 分布 设 x1 , x 2 , ? , x n 为来自正态总体 N ( ? , ? 1 ) 的一个样本,而
2 2 y1 , y 2 , ?, y n 为来自正态总体 N ( ? , ? 2 ) 的一个样本,则样本

函数

F
其中

def

S12 / ? 12
2 2 S2 /? 2

~ F (n1 ? 1, n 2 ? 1),

1 n1 S ? ( x i ? x) 2 , ? n1 ? 1 i ?1
2 1

1 n2 S ? ( yi ? y) 2 ; ? n 2 ? 1 i ?1
2 2

F (n1 ? 1, n2 ? 1) 表示第一 自由度为 n1 ? 1 ,第二自由度 为 n 2 ? 1 的 F 分布。
(3)正态 总体下分 布的性质

X 与 S 2 独立。

第七章

参数估计

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

(1) 点 估计

矩估计

设总体 X 的分布中包含有未知数 ? 1 ,? 2 , ?,? m , 则其分布函数可以表成

F ( x;? 1 , ? 2 , ?, ? m ). 它的 k 阶原点矩 v k ? E ( X k )( k ? 1,2, ? , m) 中也
包 含 了 未 知 参 数 ? 1 , ? 2 , ?, ? m , 即 v k ? v k (? 1 , ? 2 , ?, ? m ) 。 又 设

x1 , x 2 , ?, x n 为总体 X 的 n 个样本值,其样本的 k 阶原点矩为

1 n k ? xi (k ? 1,2,?, m). n i ?1
这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程,即有
? 1 n ? ? ? v ( ? , ? , ? , ? ) ? ? xi , m ? 1 1 2 n i ?1 ? ? ? ? ? 1 n 2 ? v ( ? , ? , ? , ? ) ? ? xi , 2 1 2 m ? n i ?1 ? ? ? ?????????? ? ? n ? ? ? ?v (? , ? , ? , ? ) ? 1 x im . ? m 1 2 m ? n i ?1 ?

由上面的 m 个方程中,解出的 m 个未知参数 (? 1 ,? 2 , ?,? m ) 即为参数 ( ? 1 , ? 2 , ?, ? m )的矩估计量。

?

?

?

?) 为 g (? ) 的矩估计。 若 ? 为 ? 的矩估计, g ( x) 为连续函数,则 g (?

?

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

极大似 然估计

当总体 X 为连续型随机变量时,设其分布密度为

f ( x;? 1 , ? 2 , ? , ? m ) , 其 中 ? 1 ,? 2 ,?,? m 为 未 知 参 数 。 又 设 x1 , x 2 , ?, x n 为总体的一个样本,称

L(? 1 , ? 2 , ? , ? m ) ? ? f ( xi ;? 1 , ? 2 , ? , ? m )
i ?1

n

为样本的似然函数,简记为 Ln. 当总体 X 为离型随机变量时,设其分布律为

P{ X ? x} ? p( x;? 1 , ? 2 , ? , ? m ) ,则称

L( x1 , x 2 ,?, x n ;? 1 ,? 2 , ?,? m ) ? ? p( xi ;? 1 ,? 2 ,?,? m )
i ?1

n

为样本的似然函数。 若似然函数 L( x1 , x 2 , ?, x n ;? 1 ,? 2 ,?,? m ) 在 ? 1 ,? 2 , ? ,? m 处取 到最大值,则称 ? 1 ,? 2 , ? ,? m 分别为 ? 1 ,? 2 ,?,? m 的最大似然估计值, 相应的统计量称为最大似然估计量。
? ? ? ? ? ?

? ln Ln ?? i
?

? i ?? i

?

? 0, i ? 1,2, ? , m

?) 为 g (? ) 的极大 若 ? 为 ? 的极大似然估计, g ( x) 为单调函数,则 g (?
似然估计。 (2) 估 计量的 评选标 准 无偏性 设 ? ? ? ( x1 , x 2 , ?, x n ) 为未知参数 ? 的估计量。若 E ( ? )= ? ,则称
? ?
?

? 为 ? 的无偏估计量。
E( X )=E(X) , E(S )=D(X) 有效性 设 ? 1 ? ? 1 ( x1 , x, 2 , ?, x n ) 和 ? 2 ? ? 2 ( x1 , x, 2 , ?, xn ) 是未知参数 ? 的两个无偏估计量。若 D (? 1 ) ? D (? 2 ) ,则称 ? 1 比 ? 2 有效。
? ?
2

?

?

?

?

?

?

?

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

一致性

设 ? n 是 ? 的一串估计量,如果对于任意的正数 ? ,都有
n ??
?

?

lim P(| ? n ? ? |? ? ) ? 0,

?

则称 ? n 为 ? 的一致估计量(或相合估计量) 。
?

?) ? 0(n ? ?), 则 ? 为 ? 的一致估计。 若 ? 为 ? 的无偏估计,且 D(?
只要总体的 E(X)和 D(X)存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。 (3) 区 间估计 置信区 间和置 信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数 ? 。 如果我们从样本 x1 , x, 2 , ?, x n 出 发 , 找 出 两 个 统 计 量

?

? 1 ? ? 1 ( x1 , x, 2 , ?, x n )



? 2 ? ? 2 ( x1 , x, 2 , ? , x n ) (? 1 ? ? 2 ) , 使 得 区 间 [? 1 , ? 2 ] 以
1 ? ? (0 ? ? ? 1) 的概率包含这个待估参数 ? ,即
P{? 1 ? ? ? ? 2 } ? 1 ? ? ,
那么称区间 [? 1 , ? 2 ] 为 ? 的置信区间, 1 ? ? 为该区间的置信度(或置 信水平) 。 单 总 期 方 区 计 正 体 望 差 间 态 的 和 的 估 设 x1 , x, 2 , ?, x n 为总体 X ~ N ( ? , ? ) 的一个样本,在置信度为 1 ? ?
2

下,我们来确定 ?和? 的置信区间 [? 1 , ? 2 ] 。具体步骤如下:
2

(i)选择样本函数; (ii)由置信度 1 ? ? ,查表找分位数; (iii)导出置信区间 [? 1 , ? 2 ] 。

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

已知方差,估计均值

(i)选择样本函数

u?

x??

?0 / n

~ N (0,1).

(ii) 查表找分位数

? ? x?? P? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?. ? ? ?0 / n ? ?
(iii)导出置信区间

?0 ? ? ? ,x?? 0 ? ?x ? ? n n? ?
未知方差,估计均值 (i)选择样本函数

t?

x?? S/ n

~ t (n ? 1).

(ii)查表找分位数

? ? x?? ? ? 1 ? ?. P? ? ? ? ? ? ? ? S / n ? ?
(iii)导出置信区间

? S S ? ,x?? ?x ? ? ? n n? ?
方差的区间估计 (i)选择样本函数

w?

(n ? 1) S 2

?

2

~ ? 2 (n ? 1).

(ii)查表找分位数

? ? (n ? 1) S 2 ? ? P? ?1 ? ? ? 2 2 ? ? 1 ? ?. ? ? ?
(iii)导出 ? 的置信区间

? n ?1 n ?1 ? S, S? ? ?1 ? ? ?2

第八章

假设检验

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

基本思想

假设检验的统计思想是,概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是 不会发生的,即小概率原理。 为了检验一个假设 H0 是否成立。我们先假定 H0 是成立的。如果根据这个假 定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定 H0 是不正确的,我们拒 绝接受 H0;如果由此没有导出不合理的现象,则不能拒绝接受 H0,我们称 H0 是 相容的。与 H0 相对的假设称为备择假设,用 H1 表示。 这里所说的小概率事件就是事件 {K ? R? } ,其概率就是检验水平α ,通 常我们取α =0.05,有时也取 0.01 或 0.10。

基本步骤

假设检验的基本步骤如下: (i) 提出零假设 H0; (ii) 选择统计量 K; (iii) 对于检验水平α 查表找分位数λ ; (iv)
?

由样本值 x1 , x 2 , ? , x n 计算统计量之值 K;
? ?

将 K 与? 进行比较,作出判断:当 | K |? ? (或 K ? ? ) 时否定 H0,否则认为 H0 相容。 两类错误 第一类错误 当 H0 为真时,而样本值却落入了否定域,按照我们规定的 检验法则,应当否定 H0。这时,我们把客观上 H0 成立判为 H0 为不成立(即否定了真实的假设) ,称这种错误为“以真 当假”的错误或第一类错误,记 ? 为犯此类错误的概率,即 P{否定 H0|H0 为真}= ? ; 此处的α 恰好为检验水平。 当 H1 为真时,而样本值却落入了相容域,按照我们规定的 检验法则,应当接受 H0。这时,我们把客观上 H0。不成立判 为 H0 成立(即接受了不真实的假设) ,称这种错误为“以假 当真”的错误或第二类错误,记 ? 为犯此类错误的概率, 即 P{接受 H0|H1 为真}= ? 。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。 但是, 当 容量 n 一定时,? 变小,则 ? 变大;相反地,? 变小,则 ? 变大。取定 ? 要想使 ? 变小,则必须增加样本容量。 在实际使用时,通常人们只能控制犯第一类错误的概 率, 即给定显著性水平α 。 α 大小的选取应根据实际情况而 定。当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真当假”时,则 应把α 取得很小,如 0.01,甚至 0.001。反之,则应把α 取 得大些。

第二类错误

1

概率论与数理统计 公式(全) 2011-1-1

单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域

H 0 : ? ? ?0
已知 ?
2

| u |? u
U? x ? ?0
N(0,1)

1?

?
2

H 0 : ? ? ?0 H 0 : ? ? ?0 H 0 : ? ? ?0

?0 / n

u ? u1?? u ? ?u1??

| t |? t
T? x ? ?0 S/ n

1?

?
2

(n ? 1)

未知 ?

2

H 0 : ? ? ?0 H 0 : ? ? ?0

t (n ? 1)

t ? t1?? (n ? 1) t ? ?t1?? (n ? 1)
2 w ? ?? (n ? 1)或

H 0 :? 2 ? ? 2
未知 ?
2
2 H 0 :? 2 ? ? 0 2 H 0 :? 2 ? ? 0

2

w?

( n ? 1) S

2

w??

2 1?

?
2

(n ? 1)

?

2 0

? 2 (n ? 1)

w ? ? 12?? (n ? 1)
2 w ? ?? (n ? 1)

1


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