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(精)二次函数最值知识点总结


二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点: 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ,求 f ( x ) 在 x ? [ m , n ] 上的最大值与最小值。
2

? b b 4ac ? b ? 分析:将 f ( x ) 配方,得顶点为 ? ? , ? 、对称轴为 x ? ? 2a 4a ? 2a ?
2

当 a ? 0 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 f ( x ) 的最值:
b ? 4ac ? b ? ? m , n 时, f ( x ) 的最小值是 f ? ? ? ? ? 2a ? 4a 2a

(1)当 ?

b

?

?

2

, f ( x ) 的最大值是

f ( m ) 、 f ( n ) 中的较大者。

(2)当 ? 若?
f (n)

b 2a b

? m, n 时 ? m ,由 f ( x ) 在 m , n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f ( m ) ,最大值是

?

?

2a

?

?

若n ? ?

b 2a

, f ( x ) 在 ? m , n ? 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f ( m ) , 由 最小值是 f ( n )

当 a ? 0 时,可类比得结论。 二、例题分析归类: (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨 论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:(1)轴定,区间定;(2) 轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在 定区间上的最值”。 例 1. 函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。
2

2 练习. 已知 2 x ? 3 x ,求函数 f ( x ) ? x ? x ? 1 的最值。
2

2、轴定区间变
1

二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定函数 在动区间上的最值”。 例 2. 如果函数 f ( x ) ? ( x ? 1 ) ? 1 定义在区间 ? t , t ? 1 ? 上,求 f ( x ) 的最值。
2

2 例 3. 已知 f ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3 ,当 x ? [ t, t ? 1]( t ? R ) 时,求 f ( x ) 的最值.

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下: 当a ? 0 时
b ? f ( n ), ? ? n ( 如图 3 ) ? 2a ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n ( 如图 4 ) 2a 2a ? b ? ? ? m ( 如图 5 ) ? f ( m ), 2a ?

f ( x ) m ax

b 1 ? f ( m ), ? ? ( m ? n )( 如图 1 ) ? ? 2a 2 ? ? f ( x ) min b 1 ? f ( n ), ? ? ( m ? n )( 如图 2 ) ? 2a 2 ?

当a ? 0 时
2

f ( x ) max

b ? f ( n ), ? ? n ( 如图 6 ) ? b 1 ? 2a f (m ) , ? ? ( m ? n )( 如 图 9 ) ? ? ? 2a 2 b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n ( 如图 7 ) f ( x ) m in ? ? 2a 2a ? f ( n ) , ? b ? 1 ( m ? n )( 如 图 1 0 ) ? ? b ? 2a 2 ? f ( m ), ? ? m ( 如图 8 ) ? 2a ?

3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称 这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例 4. 已知 x 2 ? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 的最值。
2

例 5. (1) 求 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 1 在区间[-1,2]上的最大值。
2

(2) 求函数 y ? ? x ( x ? a ) 在 x ? [ ? 1 , 1 ] 上的最大值。

4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函数 在动区间上的最值”。

2 2 例 6. 已知 y ? 4 a ( x ? a )( a ? 0 ), ,求 u ? ( x ? 3 ) ? y 的最小值。 2

3

(二)、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。 例 7. 已知函数 f ( x ) ? a x ? 2 a x ? 1 在区间 [ ? 3, 2 ] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。
2

例 8.已知函数 f ( x ) ? ?

x

2

? x 在区间 [ m , n ] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m ,n 的值。

2

例 9. 已知二次函数 f ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1 ) x ? 1 在区间 ? ? , 2 ? 上的最大值为 3,求实数 a ? 2 ?
2

?

3

?

的值。

4

二次函数在闭区间上的最值专题演练
1.函数 y ? x ? x ? 1 在 [ ? 1 ,1 ] 上的最小值和最大值分别是
2


1 4



( A ) 1 ,3
2

(B)

3 4

,3

(C) ?

1 2

,3

(D) ?

,3 ( )

2.函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 在区间 [1 , 4 ] 上的最小值是
( A) ? 7 (B) ? 4 (C ) ? 2 (D ) 2

3.函数 y ?
x

8
2

? 4x ? 5

的最值为
( B ) 不存在最小值,最大值为 8
( D ) 不存在最小值,也不存在最大值





( A ) 最大值为 8,最小值为 0

(C)最小值为 0, 不存在最大值 4.若函数 y ? 2 ?
? x
2

? 4 x , x ? [ 0 , 4 ] 的取值范围是______________________
3 2 , 2 ] 上的最大值是 1,则实数

5.已知函数 f ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1 ) x ? 3 ( a ≠ 0 ) 在 区 间 [ ?
2

a 的值为_____________. 6.已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在闭区间 [ 0 , m ] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是
2

( (A) [1, ?? )
2



(B) [ 0 , 2 ]

(C) [1 , 2 ]

(D) ( ?? , 2 ]

7.设 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 , x ? [ t , t ? 1 ]( t ? R ), 求函数 f ( x ) 的最小值. 8. 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? k x ? 8 在 [ 5 , 2 0 ] 上具有单调性,求实数 k 的取值范围。
2

9. 若函数 f ( x ) ? ( a ? 2 ) x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 4 ? 0 对 一 切 x ? R 恒成立, a 的取值范围 则 (
2



A. ( ? ? , 2 ]

B. [ ? 2 , 2 ]
2

C. ( ? 2 , 2 ]

D. ( ? ? , ? 2 ) )

10.. 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 4 a x ? 2 在 ( - ? , 0 ] 内单调递减,则 a 取( A. a ? 3 B. a ? 3
2

C. a <-3

D. a ? ? 3

11. 已知函数 f ( x ) ? ? x ? k x 在 [ 2 , 4 ] 上是单调函数,求 k 的取值范围。 12. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 在 [ 0 , m ] 上有最大值是 3,最小值是 2,求 m 的取值范围。
2

13. 已知函数 f ( x ) ? 3 ? x 2 ? 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________.
5

14. 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 4 a x ? a - 2 a + 2 在 [ 0 , 2 ] 上的最小值为 3,求 a 的值。
2 2

15.求函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 2 x + 3 的单调区间。 16. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 x ? 6 x 在 下列定义域上的值域:
2

(1)定义域为 { x ? Z ︱ 0 ? x ? 3} (2)定义域为[-2,1]. 17. 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 ? a , 若 x ? [ ? 2 , 2 ] ,有 f ( x ) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。
2

18. 已知函数 f ( x ) ? x , ? 2 ? x ? a , 其中 a ? 2 ,求该函数的最大值与最小值。
2

19 已知二次函数 f ( x ) ? ? x ? 6 x ? a 的函数值总为负数,求 a 的取值范围。
2

20. 已知二次函数 f ( x ) ? ( m ? 6 ) x ? 2 ( m ? 1) x ? m ? 1 的图像与 x 轴总有交点,求 m 的取
2

值范围。 21. 已知二次函数 f ( x ) ? x ? ( m ? 1) x ? m ? 3 顶点在 y 轴上,求 m 的值。
2

22. 已知函数 f ( x ) ? m x ? ( m ? m ) x ? 2 的图像关于 y 轴对称,求 m 的值。
2 2

23. 已知函数 f ( x ) ? ( a ? 2 ) x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 4 ? 0 对一切 x 恒成立,求 m 的取值范围。
2

24. 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 a x , (1 ? x ? 3 ) 是单调增函数,求实数 a 的取值范围。
2

25. 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 1 有负值,求 a 的取值范围。
2

26. 已知函数 f ( x ) ? ( m ? 2 ) x ? 3 ? 2 m 的图像在 x 轴下方,求 m 的值。
2

27. 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 1 ? 0 对于一切 x ? ( 0 , ] 成立,求 a 的取值范围。
2

1

2

28. 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? m x ? 3 ,当 x ? ( ? ? , ? 1] 时是减函数,求 m 的取值范围。
2

29 已知函数 f ( x ) ?

x ? 2 a x ? a 的定义域是 R,求 a 的取值范围。
2
2

30.已知函数 f ( x ) ? x ? 4 a x ? 2 a ? 6 ( x ? R ) 的值域为[0, ? ? ] ,求 a 的值。 31. . 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? m 对于 x ? ( 0 ,1] 恒成立, ,求 m 的取值范围。
2

32. . 已知函数 f ( x ) ? x ? b x ? c 在 [ 0 , ? ? ) 上是单调函数,则 b 的取值范围。
2

33.已知函数 f ( x ) ? 2 x ? ( 2 ? a ) x ? 2 a ( a ? 2 ) ,求在 [ 0 , 2 ] 上的最小值。
2

6

34. .已知函数 f ( x ) ? 2 x ? ( 2 ? a ) x ? 2 a ,在 [ 0 , 2 ] 上是单调函数,求 a 的取值范围。
2

35.已知函数 f ( x ) ? 2 x ? ( 2 ? a ) x ? 2 a ,在 [ t , t ? 2 ] 上是偶函数,求 a 的取值范围。
2

36.当 a=-2 时,求.函数 f ( x ) ? 2 x ? ( 2 ? a ) x ? 2 a 在 [ t , t ? 2 ] 上的最小值。
2

37. 已知函数 f ( x ) ?

2 x ? ( 2 ? a ) x ? 2 a 的定义域为 R,求 a 的取值范围。
2
2

38. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 1 ,求 x ? [ ? 2 ,1] 上的最值。 39. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ,求 x ? [ m , m ? 1] 上的最值。
2

40. 已知函数 f ( x ) ? ? x ? 2 a x ? 1 ? a , x ? [ 0 ,1] 上的最值为 2,求 a 的值。
2

41. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 2 :
2

(1)若 x ? R ,求 f(x)的最小值。 (2)若 x ? [1, 3] ,求 f(x)的最小值。 (3)若 x ? [ a , a ? 2 ], a ? R ,求 f(x)的最小值。 42. 已知函数 f ( x ) ? ? x ? 2 k x ? 3 ,求 x ? [ ? 1, 2 ] 上的最大值。
2

43. 已知函数 f ( x ) ? k x ? 2 k x ? 1 ,求 x ? [ ? 3, 2 ] 上的最值。
2

44. 已知函数 f ( x ) ? ? 3 x ? 3 x ?
2

1 4

? b ,求 x ? [ ? b , b ], ( b ? 0 ) 上的最值。
2

45. 已知函数 f ( x ) ? ? x ( x ? t ) ? 1 ,求 x ? [ ? 1,1] 上的最值。 46. 已知函数 f ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) x ? 3 ,求 x ? [ ?
2 2

3 2

, 2 ] 上的最大值。

47. 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? 3 ,求 x ? [ 0 ,1] 上的最值。 48. 已知函数 f ( x ) ? ? x ( x ? a ) ,求 x ? [ ? 1, a ] 上的最大值。 49. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 1 ,在 x ? [ ? 1, 2 ] 上的最大值为 4,求 a 的值。
2

50. 若不等式 9 x ? 6 a x ? a ? 2 a ? 6 ? 0 在 ?
2 2
2

1 3

? x ?

1 3

内恒成立,求 a 的取值范围。

51. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ,求 x ? [ t , t ? 1] 上的最值。 52. 已知函数 f ( x ) ? a x ? 2 a x ? 5 ,求 x ? [ 0 , 3 ] 上的最值。
2

7

53. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 x ? a x ? 3 ,求 x ? [ ? 3,1] 上的最值。
2

54. 已知函数 f ( x ) ? a x ? 3 x ? 8 ,求 x ? [ ? 2 , ? ? ] 上的最值。
2

55. 已知函数 f ( x ) ? ( 4 ? 3 a ) x ? 2 x ? a ,求 x ? [ 0 ,1] 上的最值。
2

56. 已知函数 f ( x ) ? x ? ( 2 t ? 1) x ? t ? 1 ,当 t 取何值时,函数的最小值为 0.
2 2

57. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 tx ? 1 ,求 x ? [ ? 1,1] 上的最大值。
2

58. 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? a ,在 x ? [ 0 , 6 ] 上的最大值为 13,求 a 的值。
2

59. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 4 ,在 x ? [ 0 , 3 ] 上的最小值为 1,求 a 的值。
2

60. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 4 ,在 x ? [1, 3 ] 上的最大值为 13,求 a 的值。
2

61. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 4 ,在 x ? [1, 3 ] 上的值域。
2

62. 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 0 x ? 3 0 ,在 x ? [ a , a ? 3 ] 上的最小值为 6,求 a 的值。
2

63. 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 0 x ? 3 0 ,求在 x ? [ a , a ? 3 ] 上的最小值。
2

64.已知 f ( x ) ? x ? ax ?
2

a 2

,在区间 [ 0 ,1 ] 上的最大值为 g ( a ) ,求 g ( a ) 的最小值。

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