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高二下学期期末考试数学(理)(含答案)


高 二 下 学 期 期 末 试 卷 数 学(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1、已知复数 z= A.1

3 ? 2i ,则 z 的共轭复数 z = 2 ? 3i B. ?1 C. i

D. ?i

2、 已知条件 p : x ? 1 ,条件 q : A.充分而不必要条

件 C.充分必要条件

1 ? 1 ,则 ? p 是 q 的 x B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件


2 3、若命题“ ?x0 ? R ,使得 x0 ? mx0 ?2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是(

A. [?6,?2] B. ( 2,6) C. [2,6] D. (?6,?2) 4、将 4 名工人分配取做三种不同的工作,每种工作至少要分配一人,则不同的分配方案有 A.36 种 B.12 种 C.24 种 D. 6 种 5、 我国古代数学典籍《九章算术》 “盈不足”中有一道两鼠 穿墙问题: “今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大 鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?” 现用程序框图描述,如图所示,则输出结果 n ? ( ) A.4 B.5 C.2 D.3 6、下列说法正确的是( )

A . 若 样 本 数 据 x1 , x2 ,?, xn 的 均 值 x ? 5 , 则 样 本 数 据

2 x1 ? 1, 2 x2 ? 1,?, 2 xn ? 1 的均值为 10
??0 B.相关系数 r ? 0 ,则对应回归直线方程中 b
C.采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动, 学号为 5,16, 27,38, 49 的同学均被选出,则该班学生人数可能为 60 D.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若 X 在 (0,1) 内取值范围概 率为 0.4 ,则 X 在 (0, 2) 内取值的概率为 0.8 7、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表 广 告 费 用 x (万元) 4 2 3 5 销 售 额 y (万元) 49 26 a 54

已知由表中 4 组数据求得回归直线方程 A.39 B.38 C.37 D.40

=8x+14,则表中的 a 的值为(



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8、若两个正实数 x, y 满足 ? A. (?4,1)
15

1 x

y 4 ? 1,且不等式 x ? ? m 2 ? 3m 有解,则实数 m 的范围是( 4 y
C. (??,?1) ? (4,??) ) D. (??,0) ? (3,??)



B. (?1,4)

? 1 ? 9、 ?1 ? x ? 的展开式中系数最大的项是( ? 2 ?

A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 6 项 D.第 7 项 10、 抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记 A={两次的点数均为奇数} ,B={两次的点数之和 为 4} ,则 P(B∣A)=( ) A.

1 12

B.

1 4

C.

2 9

D.

2 3

11、己知直线 ax+by 一 6=0(a>0,b>0)被圆 x2+ y2—2x - 4y=0 截得的弦长为 2 5 , 则 ab 的最大值是( (A)9 (B) )

9 2

(C)4

(D)

5 2

12、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 C ,过双曲线中心的直线交双曲线于 a2 b2
2 ? ln | k1 | ? ln | k 2 | 最小时,双 k1 k 2

A, B 两点,记直线 AC, BC 的斜率分别为 k1 , k 2 ,当
曲线离心率为( A. 3 ) C. 2 ? 1 D.2

B. 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、定积分

?

?

0

?? ? sin ? x ? ?dx ? __________. 3? ?

14、平面区域 A1={(x,y)|x2+ y2<4,x,y∈R},A2={(x, y)||x|+|y|≤3,x,y∈R).在 A2 内随 机取一点,则该点不在 A1 的概率为 . 15、 已知 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程为 y ? x ? 1 , 且 f / ?x? ? ln x ? 1 , 则函数 y ? f ?x ? 的 最小值为 . 16、观察下列等式

1 n(n+l); 2 1 1 l+3+6+?+ n(n+1)= n(n+1) (n+2) ; 2 6 1 1 1+4+10+? n(n+1)(n+2)= n(n+1) (n+2) (n+3) ; 6 24 1 可以推测,1+5+15+?+ n(n+1) (n+2) (n+3)= 24
l+2+3+?+n=
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.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (10 分) (1)求函数 f ? x ? ? ln(1 ? x) ? x 的最大值;

18、 (1 2 分) 某电商公司随机抽取 l 000 名网购者调查.这 1 000 名购物者 2015 年网上 购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为:[0.3,0.4) , 【0.4,0.5) ,[0.5, 0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9].购物金额的频率分布直方图如下:电商决定给抽 取的购物者发放优惠券;购物金额在[0.3,0.6)内的购物者发放 100 元的优惠券,购物金额 在[0.6,0.9]内的购物者发放 200 元的优惠券,现采用分层抽样的方式从获得 100 元和 200 元优惠券的两类购物者中共抽取 10 人,再从这 10 人中随机抽取 3 人进行回访,求此 3 人 获得优惠券总金额 X(单位:元)的分布列和均值.

19、 (12 分) 如图,在四棱锥 S - ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,SD⊥面 ABCD,点 E, F 分别是 AB,SC 的中点. (I)求证:EF∥平面 SAD: (II)设 SD=2DA,求二面角 A- EF -D 的余弦值

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x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 经过点 P ?2,1? ,且其中一焦点 F 到一条 a 2 b2 渐近线的距离为 1. (Ⅰ)求双曲线 ? 的方程; (Ⅱ)过 P 作两条相互垂直的直线 PA, PB 分别交双曲线 ? 的于 A, B 两点,求点 P 到直
20、 (12 分)已知双曲线 ? : 线 AB 距离的最大值.

21、 (12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a . x

(1)若 a>0,试判断 f ( x) 在定义域内的单调性;

(2)若 f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 ,求 a 的值;
3 2

(3)若 f ( x) ? x 2 在 ?1, ?? ? 上恒成立,求 a 的取值范围

22、 (12 分)已知函数 f ?x ? ? x ? a ?

1 x ? 1 的最小值为 2. 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求不等式 f ?x? ? 4 的解集.

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数 学(理)参考答案
一、选择题:DDCAA,DACBC,BA 二、填空题:1, 三、解答题:

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21、 (1)由题意知 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,且 f '(x)= ∴ f ? ? x ? ? 0 , 故 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是单调递增函数 (2)由(1)可知, f ? ? x ? =

1 a x?a + = 2 , a>0, , x x2 x

x?a . x2

①若 a ? ?1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 在 ?1, e? 上恒成立, 此时 f ? x ? 在 ?1, e? 上为增函数, ∴ f ? x ?min =f(1)=-a= , ? a=-

3 2

3 (舍去) 2

②若 a ? ? e ,则 x ? a ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 在 ?1, e? 上恒成立, 此时 f ? x ? 在 ?1, e? 上为减函数, ∴ f ? x ?min =f(e)=1-

a 3 e = , ? a=- (舍去) e 2 2

③若 ?e ? a ? ?1, 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ?a, 当 1 ? x ? ? a 时, f ? ? x ? ? 0, ∴ f ? x ? 在 ?1, ?a ? 上为减函数; 当 ?a ? x ? e 时, f ? ? x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 在 ? ?a, e ? 上为增函数, ∴ f ? x ?min =f (-a)=ln(-a)+1= , ? a=- e .综上所述, a=- e (3)∵ f(x)<x 2 , ? ln x-

3 2

a 2 <x .又 x ? 0,? a ? xln x ? x3 , x

令 g ? x ? ? xln x ? x3 , h ? x ? ? g ? ? x ? ? 1 ? ln x ? 3x 2 , h? ? x ? ?

1 1 ? 6 x2 ? 6x ? .. x x

∵ x ? ?1, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0, ?h ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上是减函数. ∴ h ? x ? ? h ?1? ? ?2 ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0,? g ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上也是减函数.

g ? x ? ? g ?1? ? ?1,∴当 a ? ?1 时, f ? x ? ? x2 在 x ? ?1, ??? 上恒成立

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