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均值不等式及应用


考 点 串 串 讲 1.两个正数的算术平均数与几何平均数定理 a1+a2+?+an 如果 a1,a2,?,an∈(0,+∞),且 n>1,那么 n n 叫做这 n 个正数的算术平均数, a1a2?an叫做这 n 个正数的几何平 均数,对于这 n 个正数的算术平均数与几何平均数有: a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an. n 该不等式叫均值不等式. a+b 特别地,如果

a,b 是正数,那么 ≥ ab(当且仅当 a=b 时 2 取“=”号).

a+b 称 为 a,b 的算术平均数,称 ab为 a,b 的几何平均数.本 2 定理还可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 这一定理的几何解释是:圆的半径不小于半弦(如图所示).

以 a+b 长的线段为直径作圆, 在直径 AB 上取点 C, AC=a, 使 CB=b.过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′,连结 AD、DB,易证 Rt△ACD∽Rt△DCB,那么 CD2=CA· CB,即 CD= ab. a+b a+b 这个圆的半径为 ,显然,它大于或等于 CD,即 ≥ ab. 2 2 其中当且仅当点 C 与圆心重合, a=b 时, 即 等号成立. 要注意, a+b 2 2 重要不等式 a +b ≥2ab 与定理 ≥ ab中的 a, 取值范围不同.2 b a 2 a+b 2 +b ≥2ab 中的 a,b 为实数即可,而 ≥ ab中的 a,b 必须同为 2 正数.

2.利用均值不等式求函数的最值 已知 x、y 都是正数 (1)如果积 xy 是定值 P, 那么当 x=y 时, x+y 有最小值 2 P. 和 1 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 S2. 4 应用上述结论时,应注意以下三点:“一正、二定、三相等”. ①函数式中,各项必须都是正数. 1 1 例如对于函数式 x+ ,当 x<0 时,不能错误地认为关系 x+ x x 1 ≥2 成立,并由此得出 x+ 的最小值是 2.事实上,当 x<0 时,x+ x 1 1 1 的最大值是-2.这是因为 x<0?-x>0,- >0?-(x+ )=(- x x x 1 1 1 x)+(- )≥2?x+ ≤-2.可见当 x=-1 时,x+ 的最大值为-2. x x x

②函数式中,含变数的各项的和或积必须是常数. ③只有当各项相等时,才能利用算术平均数与几何平均数的关 系求某些函数的最大值或最小值. 1 例如求 y=x+ (x>2)的最小值时,可以将函数式变形为 y x-2 1 =x-2+ +2. x-2 1 1 ∵x>2,∴x-2>0, >0 且(x-2)· 为定值,∴y≥4, x-2 x-2 当且仅当 x=3 时取“=”.但若将函数定义域变为{x|x≥4},若认 1 为 ymin=4 就错了,因为 x>3 时,x-2≠ ,所以 4 不是 y=x x-2 1 + (x≥4)的最小值. x-2

3.均值不等式的变形 a+b 2 (1)ab≤( ) (a,b∈R)常用来证明积(ab)与和(a+b)有关联的 2 不等式. a2+b2 (2)ab≤ (a,b∈R)常用来证明平方和与积有关联的不等 2 式. a+b 2 a2+b2 (3)( )≤ (a,b∈R)常用来证明和与平方和有关联的不 2 2 等式.

(4)应用两个重要的不等式可以得到一些常用的不等式, 主要有: a2+b2 a+b 2 + 如果 a,b∈R , 则 ≥ ≥ ab≥ (当且仅当 a=b 2 2 1 1 + a b a2+b2 2 时取等号).其中 称为 a,b 的平方平均数, 称为 a,b 2 1 1 + a b 的调和平均数. 1 + 若 x∈R ,则 x+ ≥2; x 1 1 1 若 x∈R,x≠0,则 x+ ≥2 或 x+ ≤-2,即|x+ |≥2.2(a2+ x x x b2)≥(a+b)2(当且仅当 a=b 时取等号); a2+b2 a2+b2 - ≤ab≤ ;a2+b2+c2≥ab+ac+bc(当且仅当 a=b 2 2 =c 时取等号).

①为了使用算术平均数与几何平均数的定理,一般要把 b 所求最值的函数或代数式化为 ax+ 的形式,常用的方法是变量分 x 离与配凑法. ②有时候为了利用算术平均数与几何平均数的定理求最值,可 以采用一些变化技巧,例如符号的变化等,需要注意的是变化之后 不等式的方向可能会改变.而对于“等号”不能取到的情况往往利 b 用函数 y=ax+ (a>0, b>0)在区间(0, +∞)上的单调性求最值. 根 x b b 据函数单调性的判断方法易知,y=ax+ (a>0,b>0)在[ ,+ x a b ∞)上单调递增,在(0, ]上单调递减.利用这一性质可以求满足 a “一正二定”但是不满足“三相等”的函数的最值.这一思维过程 可以简记为“等号取不到,单调来协调”.

注意

典 例 对 对 碰 题型一 均值不等式 例 1 设 a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( 1 1 A.(a+b)( + )≥4 a b B.a3+b3≥2ab2 C.a2+b2+2≥2a+2b D. |a-b|≥ a- b

)

1 1 1 ∵(a+b)( + )≥2 ab· 2 =4. a b ab ∴A 成立; ∵a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0, ∴C 成立; 对于 D,如果 a<b,显然成立, 如果 a>b,则 |a-b|≥ a- b ?a-b≥a-2 ab+b ?2 b( b- a)≤0, 而 2 b( b- a)≤0 成立,故 D 也成立.所以选 B. 1 1 也可取特殊值,如 a= ,b= , 100 10 易验证 B 不成立. 答案 B 解析

变式迁移 1 若 a、b∈R,则下列不等式 ①a2+3>2a; ②a2+b2≥2(a-b-1); ③a5+b5>a3b2+a2b3; 1 ④a+ ≥2 中一定成立的是( a A.①②③ B.①②④ C.①② D.②④

)

答案 C 解析 ①a2-2a+3=(a-1)2+2>0 ②a2+b2-2a+2b+2 =(a-1)2+(b+1)2≥0 ③a5-a3b2+b5-a2b3 =a3(a2-b2)+b3(b2-a2) =(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) 若 a=b 则上式=0,不成立 1 ④若 a<0,则 a+ <0, a ∴①②一定成立,∴选 C.

题型二 利用均值不等式证明不等式 ad+bc bc+ad 例 2 已知 a>0,b>0,c>0,d>0.求证: + ≥4. bd ac 分析 此不等式右边为常数 4,故联想到使用算术平均数与几 何平均数定理,又因为左边为分式,故进一步将不等式左边变形, b a 使用 + ≥2(a、b 同号)即可. a b

ad+bc bc+ad + bd ac a c b d = + + + b d a c a b c d =( + )+( + ) b a d c ≥2+2=4(当且仅当 a=b 且 c=d 时,取“=”). ad+bc bc+ad 故 + ≥4. bd ac b a 点评 此题考查了常见结论“ + ≥2(a、 同号)”的应用. b 常 a b 用结论还有 a2+b2+c2≥ac+bc+ab, a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+a2c2, a+b a2+b2 2 + ≤ ab≤ ≤ (a、b∈R ). 1 1 2 2 + a b 证明

变式迁移 2 已知 a、b、c∈R,求证: a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

证明 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2, c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 又 a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2, c2a2+a2b2≥2a2bc, ∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc), 即 a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

题型三 利用均值不等式求最值 1 例 3(1)求函数 y=x+ (x<0)的最大值; 2x 1 (2)求函数 y= +x(x>3)的最小值; x-3 (3)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值. 分析 将函数式先合理变形,再使用算术平均数与几何平均数 定理求函数最值.

解析

(1)∵x<0, 1 ∴y=x+ 2x 1 =-[(-x)+ ] ?-2x? 1 ≤-2 ?-x?· =- 2 ?-2x? 2 (当且仅当 x=- 时,取“=”号) 2 ∴ymax=- 2.

(2)∵x>3, 1 1 ∴y= +x= +(x-3)+3≥5 x-3 x-3 1 (当且仅当 x-3= ,即 x=4 时,取“=”号). x-3 ∴ymin=5. (3)∵x>0,a>2x, ∴y=x(a-2x) 1 = · (a-2x) 2x· 2 1 2x+?a-2x? 2 ≤ · [ ] 2 2 a2 a = (当且仅当 x= 时,取“=”). 8 4 2 a ∴ymax= . 8

a+b + 点评 (1)使用 ≥ ab(a、b∈R ),求函数最值的三个条件: 2 ①x、y 均为正数,②xy 与 x+y 有一为定值,③等号一定要取到, 此三个条件缺一不可. a+b + (2) 此 题 考 查 定 理 “ ≥ ab (a 、 b∈R )” 及 其 变 形 2 a+b 2 + “ab≤( ) (a、b∈R )”的应用,同时考查为了使用算术平均数 2 与几何平均数定理而对代数式的变形能力.

变式迁移 3 4 已知函数 y= +9x, x (1) 若 x > 0 时 , 当 x = ________ 时 , 函 数 有 最 ________ 值 ________; 2 (2)若 x∈(0, ]时,当 x=________时,函数有最________值 5 ________; (3)若 x∈[4,+∞)时,当 x=________时,函数有最________ 值________.

2 68 (2) 小 (3)4 小 37 5 5 4 解析 (1)∵x>0,∴y= +9x≥12 x 4 2 (当且仅当 =9x,即 x= 时,取“=”号). 3 x 2 ∴当 x= 时,函数 y 有最小值为 12. 3 4 2 (2)∵y= +9x 在 x∈(0, ]上单调递减, 3 x 2 在 x∈[ ,+∞)上单调递增, 3 2 68 ∴当 x= 时,ymin= , 5 5 2 2 68 若故 x∈(0, ],当 x= 时,函数有最小值为 . 5 5 5 答案 小 12

2 (1) 3

4 2 (3)y= +9x,在 x∈[ ,+∞)上单调递增, 3 x ∴当 x=4 时,ymin=37. ∴若 x∈[4,+∞),当 x=4 时, 函数有最小值为 37.

题型四 均值不等式与三角函数的综合应用 sinx 例 4 函数 f(x)= (0≤x≤2π)的值域是( 5+4cosx 1 1 1 1 A.[- , ] B.[- , ] 4 4 3 3 1 1 2 2 C.[- , ] D.[- , ] 2 2 3 3

)

sinx 解析 ∵f(x)= , 5+4cosx -cos2x+1 sin2x ∴f2(x)= = . 5+4cosx 5+4cosx 令 t=5+4cosx,∵0≤x≤2π,-1≤cosx≤1, t-5 ∴t>0,∴cosx= , 4 5-t 2 -cos2x+1 -? 4 ? +1 1 9 1 ∴ = =- · (t+ -10)≤- (2 16 16 t t 5+4cosx 1 10)= , 4

9 t· - t

9 当且仅当 t= ,t=3 时取等号, t 1 2π 4π 此时 5+4cosx=3,cosx=- ,x= 或 . 2 3 3 1 1 1 ∴f2(x)≤ ,∴- ≤f(x)≤ , 4 2 2 1 1 ∴f(x)的值域为[- , ]. 2 2 答案 C

变式迁移 4 sinx 2 求 y= + (0<x<π)的最小值. 2 sinx

sinx 1 3 解析 解法一:y=( + )+ . 2 2sinx 2sinx 3 3 ∵x∈(0,π),∴0<sinx≤1, ≥ , 2sinx 2 sinx 1 3 5 ∴y≥2 · + = . 2 2sinx 2 2 sinx 1 当且仅当 sinx=1 且 = , 2 2sinx 即 sinx=1 时取“=”号. 5 因此 y 的最小值为 . 2

1 解法二:利用函数 y=x+ 的单调性,结合图象,可以求得最 x 小值. t 2 令 t=sinx∈(0,1],∴y= + . 2 t 又∵y=f(t)在(0,1]上单调递减, 5 ∴当 t=1 时,y=f(t)有最小值 . 2

题型五 利用均值不等式解决实际问题 例 5 某厂花费 50 万元买回一台机器, 这台机器投入生产后每天 1 要付维修费,已知第 x 天应付的维修费为[ (x-1)+500]元.机器从 4 投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天,叫做 每天的平均损耗,当平均损耗达到最小值时,机器应当报废. (1)将每天的平均损耗 y(元)表示为投产天数 x 的函数; (2)求机器使用多少天应当报废?

(1)机器投产 x 天,每天的平均损耗是 y= x-1 1 2 500000+500+? +500?+? +500?+?+? +500? 4 4 4 x 1 1 = [500000+500x+ x(x-1)] 8 x 500000 x 7 = + +499 . 8 8 x 500000 x 7 500000 x 7 7 (2)y= + +499 ≥2 ·+499 =500+499 = 8 8 8 8 8 x x 7 500000 x 999 ,当且仅当 = ,即 x=2000 时取等号.所以这台机器使 8 8 x 用 2000 天应当报废.

解析

点评 用算术平均数与几何平均数的定理解决实际问题时,一 般都是求某个量的最值,这时,先把要求最值的量表示为某个变量 的函数, 再利用算术平均数与几何平均数的定理求该函数的最值. 有 些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时,这几个 变量满足某个关系式,这时,问题变成了一个条件最值,需用求条 件最值的方法求最值.

变式迁移 5 某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形蔬菜温室,在温室 内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保 留 3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积 最大?最大种植面积是多少?

解析 设矩形温室的左侧边长为 am,后侧边长为 bm,则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8 =808-2(a+2b). ∴S≤808-4 2ab=648(m2). 当且仅当 a=2b,即 a=40,b=20 时,取等号. 答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时, 蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为 648m2.

方 法 路 路 通 1.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化 为“和式”的放缩功能. 2.创设应用均值不等式的条件,合理拆分项或配凑因式是常用的 解题技巧,而拆与凑的成因在于使等号能够成立. 3.“和定积最大,积定和最小”,即两个正数的和为定值,则可 求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值. 4.应用此结论求值要注意三个条件: (1)各项或因式为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值. 必要时要作适当的变形,以满足上述的前提. 5.用均值不等式解题时, 要注意灵活运用均值不等式的变形形式.

正 误 题 题 辨 3 例求函数 y=1-2x- 的最值. x 3 3 错解 y=1-2x- =1-(2x+ ) x x 3 3 ∵2x+ ≥2 2x·=2 6 x x ∴y≤1-2 6,故 y 有最大值 1-2 6. 1 点击 重要不等式 (a+b)≥ ab成立的前提条件是 a>0, b>0, 2 1 如果 a<0,b<0 时 (a+b)≤- ab 2

正解

当 x>0 时,y=1-2x-

3 x

3 =1-(2x+ )≤1-2 6 x 故 ymax=1-2 6 3 当 x<0 时,y=1+(-2x)+(- ) x 3 ≥1+2 ?-2x??- ?=1+2 6 x 故 ymin=1+2 6.


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