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不等式要点解(学生版)


大东方学校沙坪坝校区 2013-2014 秋周高三数学第 8 讲 20131116

第八讲不等式要点解析
一、含参不等式解法(分类讨论) x?a 1 ? 0 ( a ? 3,且a ? ?2) 题组一: (1) x 2 ? (a ? ) x ? 1 ? 0 (2) ( x ? 2)( x ? 3) a
1 (1)当a ? ?1, 或0 ? a ? 1时, {x | a ? x ? } (1)当a ? ?2时, {x | x ? a, 或 ? 2 ? x ? 3} a ( 2 ) 当 ? 2 ? a ? 3时, {x | x ? ?2, 或a ? x ? 3} (2)当a ? ?1时,? (3)当a ? 3时, {x | x ? ?2, 或3 ? x ? a} 1 (3)当a ? 1, 或 ? 1 ? a ? 0时, {x | ? x ? a} a

(3) ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 (4) ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0
1 , 或x ? 1} 2 a (1)当a ? 0时, {x | ? x ? 2} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 1} (2)当a ? 0时, {x | x ? 2} 1 2 (3)当0 ? a ? 1时, {x | 1 ? x ? } a (3)当0 ? a ? 1时, {x | x ? 2, 或x ? a } (4)当a ? 1时,? (4)当a ? 1时, {x | x ? 2} (1)当a ? 0时, {x | x ? (5)当a ? 1时, {x | 1 ? x ? 1} a
(5)当a ? 1时, {x | x ? 2 , 或x ? 2} a

(5) ax 2 ? x ? 1 ? 0 (6)
(1)当a ? 0时, {x | x ?

x ? 1 ? a (a ? R) x ?1

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a a ?1 , 或x ? } (1)当a ? 0时, {x | ? x ? 1} 2a 2a a (2)当a ? 0时, {x | x ? ?1} 1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a (3)当0 ? a ? 时, {x | ?x? } a ?1 4 2a 2a (3)当a ? 0时, {x | x ? 1, 或x ? } a 1 (4)当a ? 时,? 4

(2)当a ? 0时, {x | x ? 1}

二、基本不等式应用 应用一:求最值(条件:正、定、等) 题组二:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

练习 1.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1) y ?

1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? x ?3 x

(3)

y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?

x(1 ? x) 的最大值.;

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3. 0 ? x ?

2 ,求、函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

题组三: (技巧:凑次数、系数) 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

2. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

题组四: (技巧:分离与换元) 例 3. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

评注: 分式函数求最值, 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为 y ? mg ( x) ?

A ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正或恒负的形式, g ( x)

然后运用基本不等式来求最值。 题组五: (技巧:在条件等式中放缩法) 1、已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1 的最小值. ab

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。

2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。

题组六(技巧:四个平均数的关系、结合柯西不等式) 1:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y
1 9 ?1 9? 9 ? ? 1 , ? x ? y ? ? ? ?? x ? y? ? 2 2 xy ? 12 故 x y x y xy ? ?

错 .解 .: ? x ? 0, y ? 0 , 且

? x ? y ?min ? 12 。
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错因 正解: 变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?
?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? (2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值

2、已知 x,y 为正实数,且 x 2+

y2 =1,求 x 1+y2 的最大值. 2

3、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值.

变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ? 是.

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系 2 2

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提高部分

有些和(积)不为常数的函数求最值时, 可通过引入参数后,再使用均值不等式求解。

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例6

思路一 消元

换元 思路二

设a ? b ? t , 其中b ? 0,t>0;
16 16 =(b +t)2 ? b( a ? b ) bt
? 4bt + 16 ? 16 bt

则 a2 +

当且仅当b=t 且4bt =
变式 1 思路一 消元

16 , 即a ? 2 bt

2, b ? 2时,等号成立。

变式 2

16 得最小值。 b( a ? b ) 3 3 16 64 a3 + ? a3 + 2 ? a ? a ? 64 ? 64 ? 64 b( a ? b ) a 2 2 3a 2 3a 2 3a 2 3 7 1 2 1 a 64 当且仅当b=a-b且 = 2 ,即a ? 2 5 ? 3? 5 , b ? 2 5 ? 3? 5 时,等号成立。 2 3a 已知:a ? b ? 0, 求a 3 +
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思路二

换元 请同学们完成



归 纳

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