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四川省成都外国语学校12-13学年高一下学期期中考试数学试题


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成都外国语学校高中 2015 级 数学半期考试试卷(含答案)
命题人

刘世华

审题人

于开选

第Ⅰ卷,选择题 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 ?ABC 外接圆的半经为 5 ,则 A. 2.5 2.数列 A. ?7 3.若 x ? 0 ,则 x ? A. 2

?a ? 中, a
n

B. 5 B. ?8

b 等于( C ) sin B C. 10 D.不确定
C ) D. 27 C. ?22

1

? ?1, an?1 ? an ? 3 ,则 a8 等于(
4 的最小值为 x
B .3
2



D C. 2



2

D. 4

b 2a 则 等于( D ) a A .2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2 ? 1? 2 1 5.若不等式 ax +bx+ ? 0 的解集为 ? x ?1 ? x ? ? ,则 a ? b 的值为( D 3? ? A. 6 B. -6 C. 5 D. -5 6.若等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 ,且 q ? 1 ,又 a1 ? 0 ,那么( B )
4. 在 ?ABC 中, a sin A sin B ? b cos A ? A. a2+a6 ? a3+a5 C. a2+a6=a3+a5 7. 数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos B. a2+a6 ? a3+a5 D. a2+a6 与 a3+a5 的大小不能确定

)

n? ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2013 等于( A ) 2 A. 1006 B. 2012 C. 503 D. 0 8. ?ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则 sin A ? sin C 的最大值为 ( B ) 1 3 A. 2 B. 3 C. D. 2 2
9.直线 y ? m 与 y ? 2 sin( x ?

?

3

) 的图象在 y 轴右侧从左至右的第 n(n ? N? ) 个交点的横坐标记
) D. ? 2 或 0 .
5 5 5

为 an ,若数列 {an } 为等差数列,则 m ? ( D A. ? 1 ① sin A ? sin B ? 2sin B. ? 2

C. ? 1 或 0

10.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边 a, b, c 满足: a ? b ? c ,给出下列不等式:

A? B B?C A?C ;② cos B ? cos C ? 2cos ;③ tan A ? tan C ? 2 tan . 2 2 2
C.①③ D.①②③
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其中一定成立的是 (B ) A.①② B.②③
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第Ⅱ卷,非选择题 二、填空题:(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
0 11.在 ?ABC 中,若 ?A ? 30 , AB ? 2, AC ? 3 ,则 ?ABC 的面积 S ?
2 12.函数 f ? x ? ? ln 2 ? x ? x 的定义域为

?

?

? ?2,1?
0

3 2

13.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60 方向的 B 处,乙船 向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的 3 倍,则甲船 应沿_____ 北偏东 30
0

___方向前进才能尽快追上乙船.

14.若关于 x 的不等式 sin 2 x ? ? a ? 1? sin x ? 1 ? 0 对一 切 x ? ? 0,

? ?? 恒成立,则 a ? ? 2? ?

? ??,1?
1 ? an .若对任意的 an

15.已知数列 ?an ? 是等差数列,它的前 n 项和 Sn 满足: S4=2S2+4 ,令 bn ?

n ? N ? ,都有 bn ? b8 成立,则 a1 的取值范围是

? ?7, ?6? .

三、解答题(本大题共 6 个小题) 16.(本题满分 12 分) 如图: 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c

A
(Ⅰ) 若 BC 边上的中点为 M ,且 AM ? ma , 求证: ma ?

c
ma
B

b
C

1 2 ?b2 ? c2 ? ? a 2 ; 2

a M

(Ⅱ) 若 ?ABC 是锐角三角形,且 a ? 2b sin A . 求 u ? cos A ? sin C 的取值范围.

a ?a? 解 :(Ⅰ) 法 1: 在 ?AMB 中: c ? m ? ? ? ? 2ma ? ? cos ?AMB 2 ?2?
2 2 a

2



a ?a? 在 ?AMC 中: b ? m ? ? ? ? 2ma ? ? cos ?AMC 2 ?2?
2 2 a

2



? ?AMB ? ?AMC ? ? ? cos ?AMB ? cos ?AMC ? 0
2 ?①+② ? b2 ? c 2 ? 2ma ?

1 a2 2 ?b2 ? c2 ? ? a 2 ? ma ? 2 2
2

法 2:利用 AB ? AC

?

??? ??? ? ?

? ? ? AB ? AC ?
2

??? ??? ? ?

??? 2 ??? 2 ? ? ? 2 AB ? AC

?

?

推证更简捷.

(Ⅱ) a ? 2b sin A ? sin A ?? 2sin B sin A ? sin B ?

1 ,又 ?ABC 为锐角三角形, 2

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故B ?

?
6

.从而 C ? ? ?

?
6

?A?

5? ? A. 6

1 3 ? 5? ? sin A ? A ? ? cos A ? cos A ? ? u ? cos A ? sin C ? cos A ? sin ? 2 2 ? 6 ? ? 3 3 ?? ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . 2 2 3? ?

? ? ?0 ? A ? 2 ? ? ? ?? ? ? A? , 3 2 ?0 ? 5? ? A ? ? ? 6 2 ?
?
? 3 3? 2? ? 5? 1 ?? 3 ? .故 u ? ? ? A? ? ? ? sin ? A ? ? ? ? 2 ,2? . ? 3 3 6 2 3? 2 ? ? ?
2 1 ? ? 0 ? x ? 2? . 2? x x

17. (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (Ⅰ) 求 f ? x ? 的最小值及相应 x 的值; (Ⅱ) 解关于 x 的不等式: f ? x ? ? 解:(Ⅰ) ? 0 ? x ? 2,? 2 ? x ? 0 故 f ? x? ?

m ?m ? R? . x

1? 2 1? ? ? ?? 2 ? x ? ? x ? ? ? 2? 2? x x ?? 3 1? 2? x 2x ? 1 ? ?3 ? ? ? ? 2 3? 2 2 ? 2 ? 2 2? x 2? x? 2? x 2x ? 等号成立条件: ? 0 ? x ? 2? ? x ? 2 2 ? 2 x 2? x 3 故当 x ? 2 2 ? 2 时, f ? x ?min ? ? 2 2 ?0 ? x ? 2 ?0 ? x ? 2 m ? ? (Ⅱ) f ? x ? ? ?? 2 1 m?? x ?? m ? 1? x ? 2 ? m ? 1? ? ?2 ? x ? x ? x ? ? 2m ? 2 ? (1)当 m ? 1 时,解集为 ? 0, 2 ? ;(2)当 m ? 1 时,解集为 ? ,2? . ? m ?1 ?

?

?

18.(本题满分 12 分) 如图所示:用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ,假设墙有足够长. (Ⅰ) 若篱笆的总长为 30 m ,则这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大? (Ⅱ) 若菜园的面积为 32 m ,则这个矩形的长,宽各为多少时,篱笆的总长最短? 解:设这个矩形的长为 x m ,宽为 y m ,篱笆的长为 l m ,面积为 S m . (Ⅰ) 由题知 x+2y=30 ,由于 x+2y ? 2 x ? 2 y =2 2xy ,
2
2

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225 225 ,即 S ? ,当且仅当 x=2y 时等号成立. 2 2 ? x+2y=30 ? x ? 15 由? ?? ? x=2y ? y ? 7.5 故这个矩形的长为 15m ,宽为 7.5m 时,菜园的面积最大. (Ⅱ) 条件知 S=xy=32 , l=x+2y .
∴ , ? xy ?

? x+2y ? 2 2xy=16 ,当且仅当 x=2y 时等号成立. ?x ? 2 y ?x ? 8 由? ?? ? xy ? 32 ? y ? 4
故这个矩形的长为 8 m 、宽为 4 m 时,可使篱笆的总长最短. 19. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b sin C (Ⅰ)求 的值; sin A 1 (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 4 解: (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所以 cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = = ,即 sin B cos B b sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) , sin C ?2. 即 sin C ? 2sin A ,所以 sin A c sin C ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知: =2,即 c ? 2a ,又因为 b ? 2 ,所以由余弦定理得: a sin A 1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ,即 22 ? 4a 2 ? a 2 ? 2a ? 2a ? ,解得 a ? 1 ,所以 c ? 2 。 4 1 15 1 15 又因为 cos B ? ? sin B ? ,故 ?ABC 的面积为 S ? ac sin B ? . 4 4 2 4 20. (本题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 5a n ?85 ,
已知: (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

?1? 1 ? an 1 ? a1 1 ? a2 ,求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? log 5 ? ? ? log 5 18 18 18 ? bn ? 6 6 6 解:(Ⅰ) 由 Sn ? n ? 5an ? 85 ① 可得: a1 ? S1 ? 1 ? 5a1 ? 85 ? a1 ? ?14 . 同时 Sn?1 ? (n ? 1) ? 5an?1 ? 85 ② 5 1 5 ②-①可得: an?1 ? 1 ? 5(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ?1 ? ? an ?1 ? 1 ? (an ? 1) . 6 6 6 5 从而 {an ?1} 为等比数列,首项 a1 ?1 ? ?15 ,公比为 . 6
(Ⅱ) 令 bn ? log 5

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5 5 ? an ? 1 ? ?15 ? ( ) n ?1 ? an ? 1 ? 15 ? ( ) n ?1 . 6 6 n n 1 ? an ? 5 ? 1 ? an ?5? ? ? ? ? log 5 ? log 5 ? ? ? n , (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 18 18 6 ?6? 6 6 ? ?

? bn ? 1 ? 2 ? ? ? n ?
故 Tn ? 2 ??1 ?

n ? n ? 1? 2

?

1 2 1 ? ?1 ? ? 2? ? ? bn n ? n ? 1? ? n n ?1?

?? ??

1? ?1 1? 1 ?? 1 ? 2n ?1 ? . ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ?? 2? ? 2 3? ? n n ? 1 ?? ? n ?1? n ?1

21. (本题满分 14 分)对于无穷数列 ?xn ? 和函数 f ? x ? ,若 xn?1 ? f ? xn ?? n ? N? ? ,则称 f ? x ? 是 (Ⅰ)定义在 R 上的函数 g ? x ? 满足:对任意 ? , ? ? R ,都有 g ??? ? ? ? g ? ? ? ? ? g ? ?? ,且 数列 ?xn ? 的母函数.

? 1 ? ?1? g ? ? ? 1 ;又数列 ?an ? 满足: an ? g ? n ? . ?2 ? ?2? n (1) 求证: f ? x ? ? x ? 2 是数列 ?2 an ? 的母函数;
(2)求数列 ?an ? 的前项 n 和 Sn . (Ⅱ)已知 f ? x ? ?

Tn ,求证: 25 ?1 ? 0.99n ? ? Tn ? 250 ?1 ? 0.999n ? ? n ? 2 ? .
解: (Ⅰ)(1)由题知 a1 ? g ?

? b ?1 ? 2012x ? 2 是数列 ?bn ? 的母函数,且 b1 ? 2 .若数列 ? n ? 的前 n 项和为 x ? 2013 ? bn ? 2 ?

?1? ? ? 1,且 ?2? ? 1 ? ?1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1? 1 ? 1 ? 1 an?1 ? g ? n?1 ? ? g ? ? n ? ? g ? n ? ? n g ? ? ? g ? n ? ? n ?2 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2? 2 ? 2 ? 2 1 1 ? an ?1 ? an ? n ? 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 . 2 2 ? f ? x ? ? x ? 2 是数列 ?2 n an ? 的母函数;

n (2) 由(1) 知: 2 an 是首项和公差均为 2 的等差数列,故 2 an ? 2n ? an ?

?

?

n

n . 2n ?1

? Sn ? 1 ? 1 Sn ? 2

2 3 4 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2

① ②

1 1 1 1 1 1 n 2n ? n ? 2 ? n ? 2 . ①-②得: Sn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2n 2 2 2 2 2 2 1? 2 1?

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n?2 . 2n ?1 2012bn ? 2 (Ⅱ)由题知: bn ?1 ? , b1 ? 2 . bn ? 2013 ? Sn ? 4 ?

? bn?1 ? 1 ?
从而 ?

2011? bn ? 1? bn ? 2013

, bn?1 ? 2 ?

2014 ? bn ? 2? bn ? 2013

?

bn?1 ? 1 2011 bn ? 1 . ? ? bn?1 ? 2 2014 bn ? 2

? bn ? 1 ? b1 ? 1 1 2011 为公比的等比数列. ? 为首项, ? 是以 2014 b1 ? 2 4 ? bn ? 2 ?
n ?1

b ? 1 1 ? 2011 ? ? n ? ? ? bn ? 2 4 ? 2014 ?
又 0.99 ?

.

? 25 ?1 ? 0.99n ? ? Tn ? 250 ?1 ? 0.999n ? ? n ? 2 ? .

b ?1 1 2011 1 ? 0.999 ? ? 0.99n?1 ? n ? ? 0.999n?1 ? n ? 2 ? 2014 4 bn ? 2 4 故当 n ? 2 时,有: 1 1 ? 0.99n 1 1 ? 0.999n 1 n 1 n ? Tn ? ? 0.99i ?1 ? Tn ? ? 0.999i ?1 ? ? ? 4 1 ? 0.99 4 1 ? 0.999 4 i ?1 4 i ?1

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