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2014年自主招生培训讲义10讲第三讲 集合与函数


第三讲.集合与函数
知识要求
1.注重理解集合的基础知识 2.掌握柯西方法及柯西方程的转化 3.注意函数性质拓展与深化,注意导数工具的作用 4.了解极限的概念

典型例题
1.已知集合 A ? {( x, y ) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? } ,集合 B ? {( x, y) | x ?1| ?2 | y ? 2

| ? a} ,
2 2

5 4

且 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 相关习题

(2008 年浙江大学)

(1)已知集合 M ? {( x, y) | x( x ? 1) ? y(1 ? y)} , N ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? k} .若 M ? N , 则实数 k 的最小值为 (2009 年上海交通大学)

2. 设 M ? {x | f ( x) ? x} , N ? {x | f ( f ( x)) ? x}. (1)求证: M ? N . (2)当 f ( x ) 是一个 R 上增函数时,是否有 M ? N ? 如果有,请证明. (2010 年浙江大学) 3. 求 有 限 集 合 A ? {a1 , a2 ,

, an } , 其 中 a1 , a2 ,

, an 为 互 不 相 等 的 正 整 数 , 使 得

a1a 2

an ? a 1? a 2 ?

an .

(2009 年上海交通大学、 2006 年清华大学)

相关习题 (1)求所有满足 tan A ? tan B ? tan C ? [tan A] ? [tan B] ? [tan C] 的非直角 ?ABC . 这里 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数(例如 [?1.6 ? ?2] , [1.6] ? 1 ). (2009 年南京大学保送生) (2)方程

1 1 1 ? ? ? 1 的所有正整数解 ( x, y, z ) ? x y z
(2012 年清华大学保送生) (2003 年上海交通大学冬令营)
1

2 ?r ? 0 , 使 得 4. 对 于 集 合 M ? R , 称 M 为 开 集 , 当 且 仅 当 ?P 0 ?M ,

{P ? R2 | PP 0 |? r} ? M }. 判断集合 {( x, y) 4 x ? 2 y ? 5 ? 0} 与 {( x, y) x ? 0, y ? 0} 是否为
开集, 并证明你的结论. 相关习题 (2007 年清华大学)

9} 的某些非空子集为奇子集,如果其中所有数的和为奇数;则共有多 (1). 称 {1,2,3, ,
少个奇子集? 5. 已知当 ? ? 1 时,函数 y ? x? ( ? ? 0 )的图象如图所示.
? (1)设 ? ? 1 ,试用 y ? x ( ? ? 0 )说明,当 x1 ? 0 , x2 ? 0 时,不
? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ) ? 2 2

(2013 年北京大学保送生)

等式 (

1 ○

成立.

y

(2)利用(1)中不等式证明:若 0 ? s ? t ,则对任意的正数 x1 、 x2 ,
s 1 t 1 x1s ? x2 x1t ? x2 s ) ?( )t 不等式 ( 2 2

2 ○
3 2

成立.

O

x
(第5题图)

2 2 (3)当 x ? 0 、 y ? 0 且 x ? y ? 16 时,求 x ? y 的最小值.

3 2

(2010 年华中师范大学) 6. (柯西方程)设 f ( x) 在 R 上单调,对 x1 , x2 ? R 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则 f ( x) ? f (1) ? x. 相关习题 (1). 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy( x ? y) 且 f ?(0) ? 1 ,求函数 f ( x ) 的 解析式. (2000 年上海交通大学) 1 ○

?1 ( 2 ) 若 对 每 一 个 实 数 x , y , 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)? xy ,若 f (? 2) ? ? 2,试求满足 f (a) ? a 的所有整数 a.
(2013 年清华大学夏令营)

7.已知函数 f ( x ) 满足:对实数 a , b 有 f (ab) ? af (b) ? bf (a) ,且 | f ( x) |? 1 , 求证: f ( x) ? 0 . (可用以下结论:若 lim g ( x) ? 0 ,| f ( x) |? M , M 为一常数,那么 lim f ( x ) g ( x ) ? 0 )
x??? x ???

2

(2006 年清华大学) 相关习题 ( 1 ) . 设 f ( x) 对 一 切 实 数 x , y 满 足 : f ( x y )? 2x f( y ) ?
2 求函数 f ( x). | f (x ) ? x ?| 1 . 2

, y ( f ? ) x ( 2x ) y且

(2007 年南京大学)

(2)求所有的 f : N* ? N* ,满足 xf ( y) ? yf ( x) ? ( x ? y) f ( x2 ? y 2 ) 对所有的正整数 x ,

y 都成立.
x

(2013 年中国科技大学夏令营) ) (2013 年复旦大学)

8.方程 e ? 4 ? x , ln x ? 4 ? x 的解分别为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ( A.2 相关习题 B.4 C.6 D.8

(1)实数 a , b 满足 a ? lg a ? 10 , b ? 10 ? 10 ,则 a ? b ? _________
b

(2009 年上海交通大学) 9.(1)已知函数 f ( x ) 不恒为 0,且对 ?x, y ? R ,有 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) , 若存在常数 T ,使得 f (T ) ? 0. 求证: 4T 是 f ( x ) 的一个周期,且 ?1 ? f ( x) ? 1. (2013 年华东师范大学) 相关习题 ( 1 ) 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 f (1) ?

1 , 4 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y)( x, y ? R) , 则 4
(2010 年高考重庆卷)

f ( 2010) =

(2) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy( x, y ? R ) , 且 f (1) ? 2 , 则 f (?3) ? ( A.2 B.3 ) C.6 D.9 (2008 年陕西卷)

10. 已知函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上可导,且满足 f (0) ? 0 , | f ?( x) ? f ( x) |? 1. 证明:当 x ? [0, ??) 时, | f ( x) |? e ? 1.
x

(2012 山东大学)

11. (1)设函数 f ( x) ?| lg x |, a, b 为实数,且 0 ? a ? b ,若 a , b 满足:

f (a ) ? f (b) ? 2 f (
3 ? b ? 4.

a?b ) ,试写出 a 与 b 的关系,并证明在这一类关系中存在 b 满足 2
(2002 上海交通大学)
3

相关习题

?| lg x |,0 ? x ? 10, ? (1)已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a 、 b 、 c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) , ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
则 abc 的取值范围是( A. (1,10) B. (5,6) ) C. (10,12) D. (20,24) (2010 年全国课标卷) )

(2)已知函数 f ( x) ?| lg x | . 若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 a ? 2b 的取值范围是( A. (2 2, ??) B. [2 2, ??) C. (3, ??) D. [3, ??) (2010 年全国 I 卷)

12.是否存在这样的实数 a ,使得 f ( x) ? ax ? sin x 存在两切线相互垂直. (2011 年北京大学保送生) 13.求证:方程 2 ? x ? 7 ? 0 只有 x ? 5 一个根.
x 2
x 14. 设 x ? 0 , (1)求证: e ? 1 ? x ?

(2008 年南开大学)

1 2 x ; 2
(2013 年卓越)

(2)若 e ? 1 ? x ?
x

1 2 y x e ,求证: 0 ? y ? x. 2

15.已知 f ( x) ? (1 ? x)e x ?1. (1)求证:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; (2)若数列 {xn} 满足 xn ? e
xn?1

?1 , x1 ? 1 ,
1 . 2
(2013 年华约)

求证:数列 {xn} 单调递减,且 xn ? 相关习题 (1).已知 f ( x) ? ln
x

ex ?1 , a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) . x
x

(i)求证: e x ? e ? 1 ? 0 恒成立; (ii)试求 f ( x ) 的单调区间; (iii)求证: {an } 为递减数列,且 an ? 0 恒成立. (2012 年清华大学保送生)

4


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