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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题2 第2讲 填空题解题 4 技法


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第二讲 填空题解题 4 技法

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1.数学填空题的特点 填空题缺少可选择的信息,故解答题的求解思路可以原封不 动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由,又无需书写过

程,因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.

r />填空题大多能在课本中找到原型和背景,故可以化归为熟知的题 目或基本题型.填空题不需过程,不设中间分值,更易失分,因 而在解答过程中应力求准确无误. 填空题虽题小,但跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有

目的、和谐地结合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、
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灵活地运用知识的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表分

析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题,
除直接推理计算外,还要讲究一些解题策略,尽量避开常规解 法. 2.数学填空题的类型 根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型:

一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程的
解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线 段长度和角度大小等.由于填空题和选择题相比,缺少可选择的 信息,所以高考题中多数是以定量型问题出现.
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二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的

数学对象的某种性质,如:给定二次曲线的焦点坐标、离心率
等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题. 3.解数学填空题的原则 解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,故对正确性的要 求比解答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的

基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到:
快——运算要快,力戒小题大做;稳——变形要稳,不可操之过 急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生 搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意.
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技法1 直接法 此类填空题的特点是必须根据题目中给出的条件,通

过数学计算找出正确答案.解决此类问题需要直接从题设
条件出发,利用有关性质或结论等,通过巧妙变化,简化 计算过程.解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧, 合理转化、巧妙处理已知条件.

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[ 例 1] 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对

cos B b 边,且 =- ,则角 B 的值为________. cos C 2a+c

思维流程: 利用正弦定理或余弦 → 化简求解 定理进行边角互化

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a b c 解析:法一:由正弦定理,即sin A=sin B=sin C=2R, cos B b 得 a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C, 代入cos C=- , 2a+c cos B sin B 得cos C=- , 2sin A+sin C 即 2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0, 所以 2sin Acos B+sin(B+C)=0. 在△ABC 中, sin(B+C)=sin A, 所以 2sin Acos B+sin A =0. 1 又 sin A≠0,所以 cos B=-2. 2π 又角 B 为△ABC 的内角,所以 B= 3 .
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a2+c2-b2 法二: 由余弦定理,即 cos B = , cos C = 2ac a2+b2-c2 a2+c2-b2 cos B b 2ab 代入cos C=- , 得 2ac ·2 = 2ab , 2a+c a +b2-c2 b - , 2a+c 2 2 2 a + c - b 整理,得 a2+c2-b2=-ac,所以 cos B= 2ac = -ac 1 2ac =-2. 2π 又角 B 为△ABC 的内角,所以 B= 3 . 2π 答案: 3
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直接法的运用技巧

直接法是解决计算型填空题最常用的方法,在计算过程
中我们要根据题目的要求灵活处理,并注意一些解题规律和 解题技巧的灵活应用,通过合理转化将计算过程简化,从而 得到结果.

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1.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4),当 x∈(-2,0)时,f(x)=2x,则 f(2 013) =________.

解析:由 f(x)是定义在 R 上的奇函数可知,f(1)= 1 -1 -f(-1)=-2 =-2.由 f(x)=f(x+4)可知,函数 f(x)是周期 1 为 4 的周期函数,所以 f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=-2. 1 答案:-2

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技法2 特 殊 值 法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题
的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值 时,可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特 殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、 特殊方程和特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结

论.为保证答案的正确性,在运用此方法时,一般应多取
几个特例.

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[例 2] 如图,在△ABC 中,点 M 是 , BC 的中点,过点 M 的直线与直线 AB、AC 分别交于不同的两点 P、Q,若 1 1 ,则λ+μ=________.

思维流程: PQ过定点M,但斜率未知 ↓ 直线方程未定,而结果为定值,故可利用特值求解 ↓ 令直线PQ与BC重合 ↓ 求λ与μ的值
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[解析]

1 1 由题意可知,λ +μ的值与点 P、Q 的位置无关,

而当直线 BC 与直线 PQ 重合时,有 λ=μ=1, 1 1 所以 λ +μ=2. [答案] 2

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应用特殊值法的注意事项

求值或比较大小关系等问题均可运用特殊值法求解,但
要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题,对于开放 性的问题或者多种答案的填空题,则不能使用该种方法求 解.

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2.如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, AP ⊥ BD , 垂 足 为 P , 且 AP = 3 , 则 ________.

解析: 把平行四边形 ABCD 看成正方形, 则点 P 为对角 线的交点,AC=6,则 答案:18 =18.

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技法3 图 解 法

对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目中的
条件,作出符合题意的图形,并通过对图形的直观分析、 判断,即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般 比较明显,如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析 几何中两点间的距离等,求解的关键是明确几何含义,准

确规范地作出相应的图形,虽然作图要花费一些时间,但
只要认真将图形作完,解答过程就会简便很多.

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[ 例 3] 不等式 4-x2-kx+1≤0 的解集非空,则 k 的

取值范围为____________.

思维流程: 原不等 构造函数 作出函 利用k的几何 → → → 式变形 f?x?,g?x? 数图象 意义求范围

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[解析]

由 4-x2-kx+1≤0, 得 4-x2≤kx-1, 设 f(x)

= 4-x2, g(x)=kx-1, 显然函数 f(x)和 g(x)的定义域都为[- 2,2].令 y= 4-x2,两边平方得 x2+y2=4,故函数 f(x)的图 像是以原点 O 为圆心,2 为半径的圆在 x 轴上及其上方的部 分.

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而函数 g(x)的图像是直线 l:y-kx-1 在[-2,2]内的部分,该直线过点 C(0,-1), 斜率为 k. 如图,作出函数 f(x),g(x)的图像,不等式的解集 非空,即直线 l 和半圆有公共点,可知 k 的几何意义就 是半圆上的点与点 C(0,-1)连线的斜率. 0-?-1? 1 由图可知 A(-2,0),B(2,0),故 kAC= =-2, -2-0
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0-?-1? 1 kBC= =2. 2-0 1 1 要使直线和半圆有公共点,则 k≥2或 k≤-2. 所以 k [答案]
? ? ? 1? ? ? ?1 的取值范围为?-∞,-2?∪?2,+∞? ?. ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ?1 ? -∞ , - , +∞ ∪ ? ? ? 2? ? ? ?2 ?

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利用图解法解决问题的步骤 图解法就是将不等式变形转化为两个函数图像的相对位 置关系,直接根据图形求解不等式的方法,主要应用于求解 不等式中含有两类不同性质的函数解析式的不等式问题.利 用图解法解决此类问题的基本步骤如下: 第一步:归类变形.根据不等式的结构特征进行归类, 将不等式变形为f(x)>(<)g(x)或f(x)≥(≤)g(x)的形式. 第二步:构造函数.根据变形后的不等式构造相应的函 数y=f(x)与y=g(x). 第三步:作图转化.根据函数的性质分别作出两个函数 的图像.
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第四步:写出结论.

第五步:回顾反思.准确画出函数图像是解题的关键,
作函数图像时,要注意函数的定义域、单调性、奇偶性和周 期性等性质的应用,此类问题多与解析几何中的直线、圆、 椭圆等相联系,灵活利用几何意义确定不等式的解集.

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3.已知 f(x)是最小正周期为 2 的函数,当 x∈(-1,1] 时,f(x)= 1-x2,若在区间(3,5] 上,f(x)=ax 有两个不相 等的实数根,则实数 a 的取值范围是________.

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解析:由已知,当 x∈(-1,1]时,f(x)= 1-x2,则 函数 f(x)的一个周期内的图象是以坐标原点为圆心,1 为 半径的圆的上半部分.又函数 f(x)的最小正周期为 2,故 函数 f(x)的图象如图所示. 作出函数 y=ax 的图象, 显然, 方程 f(x)=ax 在(3,5]上有两个不同的解,也就是直线 y= ax 与半圆(x-4)2+y2=1(3<x≤5,y≥0)有两个公共点.

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|a×4-0| 4|a| 当直线和半圆相切时,有 = 1 ,即 2 2= 1+a 1 +a 15 15 1,解得 a= 15 或 a=- 15 (舍去). 当 a=0 时,f(x)=ax 在(3,5]上有 1 个解,不合题意. 当 a<0 时,不合题意. 所以当直线和半圆有两个公共点时, a 的取值范围为 ? 15? ? ? ?0, ?. 15 ? ? ? 15? ? ? 答案:?0, 15 ? ? ?

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技法4 构造法 用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性 构造出数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建 立在观察联想、分析综合的基础之上的,首先应观察题目,

观察已知(例如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,
联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深 刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而 构造几何、函数、向量等具体的数学模型,达到快速解题 的目的.
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[例 4] (2014· 金华模拟)已知三个互不重合的平面 α、 β、 γ, α∩β

=m,n? γ,且直线 m、n 不重合,由下列三个条件:①m∥γ, n? β;②m∥γ,n∥β;③m?γ,n∥β. 能推得 m∥n 的条件是________.
思维流程: 把已知的线面 构造长方 判断m、n → 位置关系移植 → → 得结论 体模型 是否平行 到长方体上

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[解析]

构建长方体模型,如图,观察选项特点,可优先判断 条件②: 取平面 α 为平面 ADD′A′, 平面 β 为平面 ABCD, 则直线 m 为直线 AD. 因 m ∥ γ ,故可取平面 γ 为平面 A′B′C′D′,因为 n?γ 且 n∥β,故可取直线 n 为直线 A′B′.则直线 AD 与直线 A′B′为异面直线,故 m 与 n
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不平行.对于①: α 、 β 取②中平面,取平面 γ 为平面 BCC′B′,可取直线 n 为直线 BC,故可推得 m∥n;对于 ③:α,β 取②中平面,取 γ 为平面 AB′C′D,取值线 n 为 直线 B′C′故可推得结论.

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构造法的应用

构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要
根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向.一般通过 构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己 熟悉的问题.在立体几何中,补形构造是最为常用的解题技 巧.通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中

求解,如将三棱锥补成特殊的长方体等.

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4.如图,已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D,DA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球 O 的体积 等于________.

解析:如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设 正方体的外接球球 O 的半径为 R, 则正方体的体对角线长即 为球 O 的直径, 所以 CD= ? 2?2+? 2?2+? 2?2=2R,所以
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6 4πR3 R= 2 ,故球 O 的体积 V= 3 = 6π.

答案: 6π

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1.填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以
及思维能力和分析问题、解决问题的能力.填空题只要求直 接填写结果,不必写出计算或推理过程,其结果必须是数值 准确、形式规范、表达式(数)最简. 2.填空题的主要特征是题目小、跨度大,知识覆盖面广,

形式灵活,突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识
的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口,出 现了一些创新题,如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、 实际应用型等,这些题型的出现,使解填空题的要求更高、 更严了.
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3.填空题不同于选择题,由于没有非正确的选项干扰,因
而不必担心“上当受骗”而误入歧途.但填空题最容易犯的 错误,要么答案不当,要么答案不全.

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