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【创新设计】2014高考数学人教A版(通用版,理)一轮复习讲义:选修4-4 坐标系与参数方程


第一节 坐标系

[备考方向要明了]

考 什 么 1.理解坐标系的作用, 了解平面直角坐标系伸缩变换作用 下平面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念, 会在极坐标系中用极坐标刻画 点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置, 理解在极坐标系 和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐 标和直

角坐标的互化. 4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极 点或圆心在极点的圆)的方程,通过比较这些图形在极坐 标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐 标系的意义.

怎 么 考

1.从知识点上看,主要考查极坐标 方程与直角坐标的互化,考查点、 曲线的极坐标方程的求法, 考查数 形结合、 化归思想的应用能力以及 分析问题、解决问题的能力. 2.以解答题形式出现,难度不大, 如 2012 年新课标高考 T23 等.

[归纳· 知识整合] 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
? x?λ>0?, ?x′=λ· φ:? 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角 ?y′=μ· y?μ>0? ?

坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点 O,点 O 叫做极点,自极点 O 引一条 射线 Ox,Ox 叫做极轴;再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度) 及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标

一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意实数. (3)点与极坐标的关系 一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点,特别地,极点 O 的坐标为(0, θ)(θ∈R),和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ) 表示; 同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是惟一确定的. [探究] 1.极点的极坐标如何表示? 提示:规定极点的极坐标是极径 ρ=0,极角可取任意角. 3.极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系 为:
? ?x=ρcos θ, ? ? ?y=ρsin θ;

?ρ =x +y , ? ? y ?tan θ=x?x≠0?. ?

2

2

2

[探究] 2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么?与点的极坐标呢? 提示: 平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则, 而与点的极坐标不是一一对应法则, 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,点的极坐标与平面内的点就一一对应了. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r(0≤θ<2π) π π ρ=2rcos_θ?-2≤θ≤2? ? ?

π 圆心为?r,2?,半径为 r 的圆 ? ?

ρ=2rsin_θ(0≤θ<π) (1)θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R) (2)θ=α 和 θ=π+α π π ρcos_θ=a?-2<θ<2? ? ?

过极点,倾斜角为 α 的直线

过点(a,0),与极轴垂直的直线

π 过点?a,2?,与极轴平行的直线 ? ?

ρsin_θ=a(0<θ<π)

[自测· 牛刀小试] 1.极坐标方程 ρ=cos θ 化为直角坐标方程. 解:由 ρ=cos θ 得 ρ2=ρcos θ, 故 x2+y2=x. 2.(2013· 北京模拟)在极坐标系中,求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程. 解:过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为 x=1,所以其极坐标方 程为 ρcos θ=1. π 3.在极坐标系中,求点 A?2,2?关于直线 l∶ρcos θ=1 的对称点的一个极坐标. ? ? 解:在直角坐标系中,A(0,2),l:x=1,点 A 关于 l 的对称点为(2,2),所以 ρ= 22+22 π π =2 2,θ= ,所以此点极坐标为?2 2,4?. ? ? 4 4.在极坐标系中,若过点 A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ=4cos θ 于 A、B 两点, 求 AB 的长. 解:曲线 ρ=4cos θ,即为圆 x2+y2-4x=0,过 A(3,0)且与极轴垂直的直线为 x=3,将 x=3 代入 x2+y2-4x=0,得 y2=12-9=3,解得 y=± 3.故 AB=2 3. 5.已知圆的极坐标方程为 ρ=2cos θ,求该圆的圆心到直线 ρsin θ+2ρcos θ=1 的距离. 解:直线 ρsin θ+2ρcos θ=1 化为 2x+y-1=0,圆 ρ=2cos θ 的圆心(1,0)到直线 2x+y -1=0 的距离是 5 . 5

伸缩变换的应用

?x′=1x, ? x2 2 2 [例 1] 求椭圆 +y =1,经过伸缩变换? 4 ?y′=y ? ?x′=1x, ? ? ?x=2x′, 2 [自主解答] 由? 得到? ① ? ?y=y′. ?y′=y ?

后的曲线方程.

4x′2 x2 将①代入 +y2=1 得 +y′2=1,即 x′2+y′2=1. 4 4 x2 因此椭圆 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x′2+y′2=1. 4

x′2 y′2 x2 若椭圆 +y2=1 经过伸缩变换后的曲线方程为 + =1,求满足的伸缩的变换. 4 16 4
?x′=λx?λ>0?, ? x′2 y′2 λ2x2 μ2y2 x2 2 ? 解:设变换为 代入 + =1,得 + =1,与 +y =1 的系 16 4 16 4 4 ? ?y′=μy?μ>0?, ?x′=2x, ?x′=2x, ? ? x2 数对比,得 λ=2,μ=1,即? 因此经过变换? 后,椭圆 +y2=1 变换 4 ? ? ?y′=y. ?y′=y

x′2 y′2 为 + =1. 16 4 ————— —————————————— 求经伸缩变换后曲线方程的方法
?x′=λx, ? 平 面 上 的 曲 线 y = f(x) 在 变 换 φ : ? 的作用下的变换方程的求法是将 ? ?y′=μy

?x=x′, λ ? y′ ?y= μ
的方程.

y′ x′ 代入 y=f(x),得 =f? ?,整理之后得到 y′=h(x′),即为所求变换之后 μ ? λ ?

?x′=x, ? 1. 在同一坐标系中, 曲线 C 经过伸缩变换? 后得到的曲线方程为 y′=lg(x′ 1 ?y′=2y ?
+5),求曲线 C 的方程.

?x′=x, ? 解:将? 代入 y′=lg(x′+5) 1 ? ?y′=2y
1 得 y=lg(x+5), 2

即 y=2lg(x+5)为所求曲线 C 的方程. 极坐标与直角坐标的互化

π [例 2] 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2 2ρcos?θ-4?=2. ? ? (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. [自主解答] (1)由 ρ=2 知 ρ2=4 π 所以 x2+y2=4;因为 ρ2-2 2ρcos?θ-4?=2 ? ? π π 所以 ρ2-2 2ρ?cos θcos4+sin θsin 4?=2. ? ? 所以 x2+y2-2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. π 2 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1,即 ρsin?θ+4?= . ? ? 2 ————— —————————————— 极坐标与直角坐标互化的注意点 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点 的极坐标将不惟一. (2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. ,

2.(2013· 佛山检测)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为(1,- 3).若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求点 P 的极坐标. 解析:由极坐标与直角坐标的互化公式 ρcos θ=x,ρsin θ=y 可得,ρcos θ=1,ρsin θ= π π - 3,解得 ρ=2,θ=2kπ- (k∈Z),故点 P 的极坐标为?2,2kπ-3?(k∈Z). ? ? 3 π 3.求以点 A(2,0)为圆心,且过点 B?2 3,6?的圆的极坐标方程. ? ? 解:由已知圆的半径为 AB= π 22+?2 3?2-2×2×2 3cos =2, 6

又圆的圆心坐标为 A(2,0), 所以圆的普通方程为(x-2)2+y2=4.
?x=ρcos θ, ? 由? 得圆的极坐标方程是 ρ=4cos θ. ? ?y=ρsin θ

极坐标系的综合问题

[例 3] 从极点 O 作直线与另一直线 l:ρcos θ=4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 OM· OP=12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上的任意一点,试求|RP|的最小值. [自主解答] (1)设动点 P 的极坐标为(ρ,θ),M 的极坐标为(ρ0,θ),则 ρρ0=12.∵ρ0cos θ=4, ∴ρ=3cos θ 即为所求的轨迹方程. (2)将 ρ=3cos θ 化为直角坐标方程是 x2+y2=3x, 3 3 即?x-2?2+y2=?2?2, ? ? ? ? 3 3 知 P 的轨迹是以?2,0?为圆心,半径为 的圆.直线 l 的直角坐标方程是 x=4.结合图形 ? ? 2 易得|RP|的最小值为 1. ————— —————————————— 求解与极坐标有关的问题的主要方法 一是直接利用极坐标系求解,求解时可与数形结合思想结合使用; 二是转化为直角坐标系后,用直接坐标求解. 使用后一种时应注意,若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.

4.(2013· 西安五校联考)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ=-1 的交点的极坐标. 解: ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0, ρcos θ=-1 的直角坐标方程为 x=-1,
?x2+y2-2y=0, ?x=-1, ? ? 联立方程,得? 解得? ?x=-1, ?y=1, ? ?

3π 即两曲线的交点为(-1,1),又 0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为? 2, 4 ?. ? ? π 5. (2012· 安徽高考改编)在极坐标系中, 求圆 ρ=4sin θ 的圆心到直线 θ= (ρ∈R)的距离. 6 解:将 ρ=4sin θ 化成直角坐标方程为 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4,圆心为(0,2).将 π θ= (ρ∈R)化成直角坐标方程为 x- 3y=0,由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离 6 |0-2 3| d= = 3. 2

? 1 个互化——极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的三个前提条件 ①极点与原点重合; ②极轴与 x 轴正方向重合; ③取相同的单位长度. (2)若把直角坐标化为极坐标,求极角 θ 时,应注意判断点 P 所在的象限(即角 θ 的终边 的位置),以便正确地求出角 θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问 题. ? 5 个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲

易误警示——极坐标系中的解题误区

[典例] (2012· 湖南高考改编)在极坐标系中,曲线 C1:ρ( 2cos θ+sin θ)=1 与曲线 C2: ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,求 a 的值. [解] 直线方程为 2x+y-1=0,与 x 轴的交点为? 交点? 2 ? ,圆的方程为 x2+y2=a2,把 ? 2 ,0?

2 2 ? 2 代入得? ?2+02=a2,又 a>0,所以 a= . 2 ? 2 ,0? ?2? [易误辨析] (1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化,无法把极坐标方程转化为普通方程. (2)因不清楚题意,即直线与圆的交点实为直线与 x 轴的交点,如果不会转化,导致计

算加大,多走弯路. (3)解答与极坐标有关的问题时,还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情 况. [变式训练] 已知两曲线的极坐标方程 C1:ρ=2(0≤θ≤π),C2:ρ=4cos θ,求两曲线交点的直角坐 标. 解:C1 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2=4(y≥0),C2 的极坐标方程化为直角 坐标方程为(x-2)2+y2=4.

将两方程联立,解方程组得 x=1,y=± 3. 又因为 y≥0,舍去 y=- 3,所以两曲线交点坐标为(1, 3).

π 2 1.已知直线的极坐标方程 ρsin?θ+4?= ,求极点到直线的距离. ? ? 2 π 2 解:∵ρsin?θ+4?= , ? ? 2 ∴ρsin θ+ρcos θ=1,即直角坐标方程为 x+y=1. 又极点的直角坐标为(0,0), |0+0-1| 2 ∴极点到直线的距离 d= = . 2 2 2.在极坐标系中,已知圆 ρ=2cos θ 与直线 3ρcos θ+4ρsin θ+a=0 相切,求实数 a 的 值. 解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直 |3×1+4×0+a| 线方程为 3x+4y+a=0,又圆与直线相切,所以 =1,解得 a=2 或 a=-8. 32+42 3.(2012· 江西高考改编)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程. 解:将 x2+y2=ρ2,x=ρcos θ 代入 x2+y2-2x=0 得 ρ2-2ρcos θ=0,整理得 ρ=2cos θ. π 4.已知圆 M 的极坐标方程为 ρ2-4 2ρcos?θ-4?+6=0,求 ρ 的最大值. ? ? 解:原方程化为 ρ2-4 2ρ? 2 2 ?+6=0, ? 2 cos θ+ 2 sin θ?

即 ρ2-4(ρcos θ+ρsin θ)+6=0. 故圆的直角坐标方程为 x2+y2-4x-4y+6=0. 圆心为 M(2,2),半径为 2. 故 ρmax=|OM|+ 2=2 2+ 2=3 2. π π 5.(2012· 江苏高考)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 2,4?,圆心为直线 ρsin?θ-3? ? ? ? ? =- 3 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 2

π 3 解:在 ρsin?θ-3?=- 中令 θ=0,得 ρ=1,所以圆 C 的圆心坐标 ? ? 2 为(1,0). π 因为圆 C 经过点 P? 2,4?, ? ?

所以圆 C 的半径 PC= 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.

π ? 2?2+12-2×1× 2cos =1,于是圆 C 过极点,所以圆 C 4

? ?x=1+t, 1.设直线 l1 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 ?y=a+3t, ?

为极轴建立极坐标系得另一直线 l1 的方程为 ρsin θ-3ρcos θ+4=0, 若直线 l1 与 l2 间的距离 为 10,求实数 a 的值. 解:将直线 l1 的方程化为普通方程得 3x-y+a-3=0,将直线 l2 的方程化为直角坐标 |a-3+4| 方程得 3x-y-4=0,由两平行线的距离公式得 = 10?|a+1|=10?a=9 或 a=- 10 11. 2.(2011· 江西高考改编)若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+4cos θ,以极点为原点,极轴 为 x 轴正半轴建立直角坐标系,求该曲线的直角坐标方程.
?x=ρcos θ, ? 解:由? ρ2=x2+y2,得,ρ2=2ρsinθ+4ρcos θ?x2+y2-4x-2y=0. ? ?y=ρsin θ,

3.极坐标系中,A 为曲线 ρ2+2ρcos θ-3=0 上的动点,B 为直线 ρcos θ+ρsin θ-7=0 上的动点,求 AB 的最小值.
? ?x=ρcos θ, 解: 将互化公式? 分别代入曲线和直线的极坐标方程, 可得圆方程为(x+1)2 ?y=ρsin θ ?

+y2=4,圆心(-1,0),半径为 2,直线方程为 x+y-7=0, |-1-7| 圆心到直线的距离 d= =4 2. 2 所以|AB|的最小值为 4 2-2. π 4.在极坐标系中,圆 C 的圆心 C?6,6?,半径 r=6. ? ? (1)写出圆 C 的极坐标方程; (2)若 Q 点在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且 OQ∶QP=3∶2,求动点 P 的轨迹 方程. π 解:(1)圆 C 的极坐标方程 ρ=12cos?θ-6?. ? ? (2)设 P 的坐标为(ρ,θ),因为 P 在 O Q 的延长线上, 3 又 O Q∶QP=3∶2.所以点 Q 的坐标为?5ρ,θ?, ? ? π 3 若 Q 点在圆 C 上运动,则 ρ=12cos?θ-6?, ? ? 5

π 即 ρ=20cos?θ-6?. ? ? π 故点 P 的轨迹方程为 ρ=20cos?θ-6?. ? ?

第二节 参数方程

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 本节考查的重点是参数方程和直角坐标方程

1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、 圆和椭圆的参 数方程.

的互化,热点是参数方程、极坐标方程的综 合性问题,难度较小,主要考查转化和化归 的思想方法,如 2012 年新课标 T23 等.

[归纳· 知识整合] 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x,y 都可以表示为某
?x=f?t?, ?x=f?t?, ? ? 个变量 t 的函数:? 反过来,对于 t 的每个允许值,由函数式? 所确定的 ? ? ?y=g?t? ?y=g?t? ?x=f?t?, ? 点 P(x,y)都在曲线 C 上,那么方程? 叫做这条曲线 C 的参数方程,变量 t 叫做参 ? ?y=g?t?

变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. [探究] 1.平面直角坐标系中,同一曲线的参数方程惟一吗? 提示:不唯一,平面直角坐标系中,对于同一曲线来说,由于选择的参数不同,得到的 曲线的参数方程也不同. 2.直线的参数方程
?x=x0+tcos α, ? 经过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=y0+tsin α

3.圆的参数方程

圆心为(a,b),半径为 r 的圆的参数方程为
?x=a+rcos θ, ? ? (θ 为参数). ? ?y=b+rsin θ

4.椭圆的参数方程 x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为 a b
? ?x=acos θ, ? (θ 为参数). ?y=bsin θ ? ?x=acos φ, ? x2 y2 [探究] 2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程? (φ 为参数)中,参数 φ 的几何 a b ? ?y=bsin φ

意义是什么? x2 y2 提示:如图,取椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点 M 作 x 轴垂线,交以 a b 原点为圆心,a 为半径的圆于点 A,φ 就是点 M 所对应的圆的半径 OA 的 旋转角(或点 M 的离心角)即 Ox 绕 O 逆时针转到与 OA 重合时的最小正角, φ∈[0,2π). [自测· 牛刀小试]
?x=1+3t, ? 1.若直线 l 的参数方程为? (t 为参数),求直线 l 倾斜角的余弦值. ? ?y=2-4t

4 3 解:消去参数,得直线 l 方程为 4x+3y-10=0,所以 tan θ=- ,cos θ=- . 3 5
2 ? ?x=4t , 2.已知点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线? (t 为参数)上,求|PF|. ? ?y=4t

解:将抛物线的参数方程化为普通方程为 y2=4x,则焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1. 又 P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知|PF|=3-(-1)=4.
?x=cos α, ? 3.(2012· 中山模拟)将参数方程? (α 为参数)化成普通方程. ? ?y=1+sin α ?x=cos α, ? 解:将参数方程变形为? (α 为参数),平方相加得 x2+(y-1)2=cos2α+sin2α ? ?y-1=sin α

=1,所以对应的普通方程为 x2+(y-1)2=1.

?x=t+1, ? t 4.求参数方程? (t 为参数)表示的曲线. ? ?y=2
1 1 解:当 t>0 时,x=t+ ≥2;当 t<0 时,x=t+ ≤-2,故此方程表示的曲线是两条射 t t 线.

?x-1?2 ?y+2?2 5.求椭圆 + =1 的参数方程. 3 5 x-1 y+2 解:设 =cos θ, =sin θ, 3 5

?x=1+ 3cos θ, 则? (θ 为参数),即为所求的参数方程. ?y=-2+ 5sin θ

参数方程与普通方程的互化

[例 1] 将下列参数方程化为普通方程.

?x=1+k , (1)? 6k ?y=1+k ,
3k
2 2 2

? ?x=1-sin 2θ, (2)? ?y=sin θ+cos θ. ?

y [自主解答] (1)两式相除,得 k= ,将其代入得 2x y 3· 2x x= , y 1+?2x?2 ? ? 化简得所求的普通方程是 4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ) 得 y2=2-x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程为 y2=2-x,x∈[0,2]. ————— —————————————— 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程, 需要根据参数方程的结构特征, 选取适当的消参方法. 常 见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程, 常利用同角三角函数关系式消参,如 sin2θ+cos2θ=1 等. (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.

1.将下列参数方程化为普通方程.

?x= t , (1)? 1 ?y= t t -1
1
2

(t 为参数);

? ? (2)? t ?y=1+t ?

1-t2 x= , 1+t2
2

(t 为参数).

1 1 解:(1)∵x2+y2=? t ?2+? t ? ? ? ∴x2+y2=1.

t2-1?2=1,

?

1 ∵t2-1≥0.∴t≥1 或 t≤-1.又 x= ,∴t≠0. t 1 当 t≥1 时,0< ≤1, t 1 当 t≤-1 时,-1≤ <0, t ∴所求普通方程为 x2+y2=1
?-1≤x<0, ? ??0<x≤1, ? ? 或? ?? ?. ? ? ?-1<y≤0 ??0≤y<1 ?

?1-t ?2+? 2t 2?2=1,得 x2+4y2=1, (2)由? 2? ?1+t ? ?1+t ?
1-t2 又 x= ≠-1,得所求的普通方程是 1+t2 x2+4y2=1(x≠-1). 参数方程的应用

2

?x=t+1, ? [例 2] (2012· 湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为参数)与 ? ?y=1-2t ?x=asin θ, ? 曲线 C2:? (θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值. ? ?y=3cos θ ? ?x=t+1, [自主解答] ∵C1:? ?y=1-2t, ?

∴C1 的方程为 2x+y-3=0.
?x=asin θ, ? x2 y2 ∴C2:? ∴C2 的方程为: 2+ =1. a 9 ? ?y=3cos θ,

∵C1 与 C2 有一个公共点在 x 轴上,且 a>0,

3 3 ∴C1 与 x 轴的交点?2,0?在 C2 上.∴a= . ? ? 2 ————— ——————————————

与参数方程有关的问题,求解时,一般是将参数方程化为普通方程,转化为我们熟悉的 形式,利用直角坐标方程求解问题.

?x= 5cos θ, 2 . (2011· 东 高 考 改 编 ) 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为 ? 广 (0≤θ<π) 和 ?y=sin θ ?x=5t2, ? 4 ? (t∈R),求它们的交点坐标. ?y=t ?

?x= 5cos θ, x2 解:由? (0≤θ<π)得 +y2=1(y≥0), 5 ?y=sin θ ?x=5t2, ? 5 由? 4 (t∈R)得 x= y2. 4 ?y=t ?

? 5 +y =1, 联立方程可得? 5 ?x=4y .
2 2

x2

则 5y4+16y2-16=0,

4 5 解得 y2= 或 y2=-4(舍去),则 x= y2=1, 5 4 2 5? 又 y≥0,所以其交点坐标为?1, . 5 ? ? x2 3.(2013· 扬州模拟)已知 P(x,y)是椭圆 +y2=1 上的点,求 M=x+2y 的取值范围. 4
? ?x=2cos θ, x2 解:∵ +y2=1 的参数方程? (θ 是参数), 4 ?y=sin θ ?

∴设 P(2cos θ,sin θ), π ∴M=x+2y=2cos θ+2sin θ=2 2sin?θ+4?, ? ? ∴M=x+2y 的取值范围是[-2 2,2 2].

极坐标方程和参数方程的综合

[例 3] (2012· 辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2= 4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. [自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2;圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ;
?ρ=2, ? π π 联立方程组 ? 解得 ρ=2,θ=± .故圆 C1 ,C2 的交点极坐标为 ?2,3? , ? ? 3 ? ?ρ=4cos θ,

?2,-π?. 3? ?
? ?x=ρcos θ, ?x=1, ?x=1, π (2)由 ρ=2,θ=± ,及? 得? ? 3 ? ?y=ρsin θ ?y= 3, ?y=- 3,

圆 C1,C2 的交点直角坐标为(1,

3),(1,- 3),

故圆 C1,C2 的公共弦的参数方程为
?x=1, ? ? (- 3≤t≤ 3). ? ?y=t

—————

—————————————— 求参数方程与极坐标问题的转化方法

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时,如果不能直接用极 坐标解决,或用极坐标解决较麻烦时,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.转化时要 注意两坐标系的关系,注意 ρ,θ 的取值范围,取值范围不同对应的曲线不同.

4.直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B
? ?x=3+cos θ, 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,求|AB|的最小值. ?y=4+sin θ ? ?x=3+cos θ, ? 解:曲线 C1:? (θ 为参数)的直角坐标方程为 ? ?y=4+sin θ

(x-3)2+(y-4)2=1,知 C1 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆;曲线 C2:ρ=1 的直角坐标 方程是 x2+y2=1,可知 C2 是以原点为圆心,1 为半径的圆,题意就是求分别在两个圆 C1 和 C2 上的两点 A,B 的最短距离. 由圆的方程知,这两个圆相离,所以 |AB|min= ?3-0?2+?4-0?2-1-1=5-1-1=3.

? 4 种方法——化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有: ①代入消元法; ②加减消元法; ③乘除消元法; ④三角恒等式消元法.

数学思想——参数方程中的转化思想

在对坐标系与参数方程的考查中, 最能体现坐标法的解题优势, 灵活地利用坐标法可以 使问题得到简捷的解答. 例如, 将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角 坐标方程, 然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法, 对应数学问题求 解的“化生为熟”原则,充分体现了等价转化的数学思想.

[典例] (2012· 浙江高考改编)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别

?x= 2cos θ, ?x=t, 为? (t 为参数)和? (θ 为参数),求曲线 C1 与 C2 的交点坐标. ?y= t ?y= 2sin θ
[解] C1 的直角坐标方程为:y2=x(x≥0),C2 的直角坐标方程为:x2+y2=2,联立方程
? 2 ? ?y =x, ?x=1, 得:? 2 2 解得? 所以交点坐标为(1,1). ? ? ?x +y =2, ?y=1,

[题后悟道] (1)本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型,解题方法是将参数方程转化为普 通方程,关键是消去参数,这里特别注意所给参数的取值范围. (2)对于此类问题,熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法,如代入消元法、加减消 元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的,也是必须的. [变式训练] (2012· 朝阳模拟)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为 l:
? ? ?x=1+s, ?x=t+2, ? (s 为参数)和 C:? (t 为参数),若 l 与 C 相交于 A、B 两点,求|AB|的 2 ? ? ?y=1-s ?y=t

长. 解:直线 l 可化为 x+y-2=0,① 曲线 C 可化为 y=(x-2)2,② 联立①②消去 y 得 x2-3x+2=0,解得 x1=1,x2=2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1+?-1?2· ?x1-x2?2= 2|x1-x2|= 2.

?x=-2+t, ?x=3+5cos θ, ? ? 1.直线? (t 为参数)被圆? (θ 为参数,求 θ∈[0,2π))所截得 ? ? ?y=1-t ?y=-1+5sin θ

的弦长. 解:把直线的参数方程和圆的参数方程分别化为普通方程为 x+y+1=0 和(x-3)2+(y 3 2 +1)2=25,于是弦心距 d= ,弦长 l=2 2 9 25- = 82. 2

x2 y2 2.(2012· 福州模拟)已知点 P(x,y)在曲线 2+ 2=1,且 a b a2+b2≤3,求 x+y 的最小值. 解:设 x=acos t,y=bsin t(0≤t≤2π), 则 x+y=acos t+bsin t= a2+b2cos(t-α),

因此,当 a2+b2=3,cos(t-α)=-1 时,x+y 取得最小值- 3.
? ?x=sin α, π 3. 已知曲线 C 的参数方程为? α∈[0,2π), 曲线 D 的极坐标方程为 ρsin?θ+4? 2 ? ? ?y=cos α, ?

=- 2. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由.
? ?x=sin α, 解:(1)由? α∈[0,2π)得 2 ?y=cos α, ?

x2+y=1,x∈[-1,1]. π (2)由 ρsin?θ+4?=- 2得曲线 D 的普通方程为 ? ?
?x+y+2=0, ? x+y+2=0.? 2 得 x2-x-3=0. ? ?x +y=1,

1± 13 解得 x= ?[-1,1], 2 故曲线 C 与曲线 D 无公共点. 4.(2012· 福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0),? 2 3 π? ,圆 C 的参数方程 ? 3 ,2?

?x=2+2cos θ, 为? (θ 为参数). ?y=- 3+2sin θ
(1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 2 3? 解:(1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, ,又 P 为线段 MN 的中 3 ? ? 点,从而点 P 的平面直角坐标为?1,

?

3 3? ,故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y= x. 3 3?

2 3? (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, , 3 ? ? 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 x+ 3y-2=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2, |2-3-2| 3 圆心到直线 l 的距离 d= = <r,故直线 l 与圆 C 相交. 2 1+3
?x=2cos φ, ? 5.(2012· 新课标全国卷)已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数),以坐标原 ? ?y=3sin φ

点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD

π 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为?2,3?. ? ? (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. π π 解:(1)由已知可得 A?2cos3,2sin3?, ? ? π π π π B?2cos?3+2?,2sin?3+2??, ? ? ? ? ?? π π C?2cos?3+π?,2sin?3+π??, ? ? ? ? ?? π 3π π 3π D?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, ? ? ? ? ?? 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cos φ,3sin φ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].

1.(2012· 南京模拟)已知圆的极坐标方程为 π ρ2+4ρcos?θ+3?-5=0. ? ? (1)将圆的极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+ 3y 的最大值和最小值. π 解:(1)∵ρ2+4ρcos?θ+3?-5=0, ? ? ∴ρ2+2(ρcos θ- 3ρsin θ)-5=0. ∴x2+y2+2x-2 3y-5=0, 即(x+1)2+(y- 3)2=9.

?x=-1+3cos α, ∴圆的参数方程为? (α 为参数). ?y= 3+3sin α
(2)利用圆的参数方程可得: π x+ 3y=3 3sin α+3cos α+2=6sin?α+6?+2, ? ? ∴x+ 3y 的最大值为 8,最小值为-4.
?x=2cos α, ? 2.(2013· 厦门模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 的参数方程为? ? ?y=sin α

(α 为参数).以直角坐标系原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极 π 坐标方程为 ρcos?θ-4?=2 2. ? ? (1)求直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. π 解:(1)ρcos?θ-4?=2 2化简 ρcos θ+ρsin θ=4, ? ? ∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y=4; (2)设点 P 的坐标为(2cos α,sin α), |2cos α+sin α-4| 得 P 到直线 l 的距离 d= , 2 | 5sin?α+φ?-4| 1 2 即 d= ,其中 cos φ= ,sin φ= . 2 5 5 当 sin(α+φ)=-1 时,dmax=2 2+ 10 . 2


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