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高中数学函数经典例题题详解值得拥有


高中数学函数经典例题题详解值得拥有
一、二次函数 1 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? cx ,不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) . (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的实根,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围. 1、解: (Ⅰ)∵不等式 f (

x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) ∴ x ? 1 和 x ? 3 是方程 ax 2 ? (b ? 2) x ? c ? 0(a ? 0) 的两根

?b ? 2 ? ?4 ? ? a ∴? ?c ? 3 ? ?a ∴ b ? ?4a ? 2, c ? 3a 又方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的实根
∴ ? ? b 2 ? 4a(c ? 6a) ? 0 ∴ 4(2a ? 1) 2 ? 4a ? 9a ? 0 ∴ (5a ? 1)(1 ? a) ? 0

1 5 1 6 3 ∴ a ? ? ,b ? ? ,c ? ? 5 5 5 1 6 3 ∴ f ( x) ? ? x 2 ? x ? 5 5 5
∴ a ? ? 或 a ? 1 (舍) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ax 2 ? 2(2a ? 1) x ? 3a

? a( x ?

2a ? 1 (2a ? 1) 2 )? ? 3a a a ? a 2 ? 4a ? 1 ? a

∵a ? 0 ,

? a 2 ? 4a ? 1 a ∵ f ( x) 的最大值为正数
∴ f ( x) 的最大值为

?a ? 0 ? ∴ ? ? a 2 ? 4a ? 1 ?0 ? a ?

?a ? 0 ∴? 2 解得 a ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? a ? 0 ?a ? 4a ? 1 ? 0
∴所求实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0) 2 2 已知二次函数 f(x)=ax +bx(a,b 是常数且 a≠0)满足条件 f(2)=0 且方程 f(x)=x 有等根. (1)求 f(x)的解析式.
1

(2)问是否存在实数 m,n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].如果存在,求出 m,n 的值;如果不存 在,说明理由. 解:(1) 依题设方程 ax2+(b-1)x=0 有等根, ∴(b-1)2=0 得 b=1. 又 f(2)=0,即 4a+2b=0,得 a ? ? 所以 f ( x) ? ?

1 , 2

1 2 x ? x ,. 2 1 1 1 1 1 2 (2)由(1) f ( x ) ? ? ( x ? 1) ? ? , ∴ 2 n ? ,即 n ? . 2 4 2 2 2
而抛物线 f(x)的对称轴为 x=1,则 f(x)在[m,n]上为增函数, (2)问是否存在实数 m,n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].如果存在,求出 m,n 的值;如果不存 在,说明理由. 设 m,n 存在,可得: ?

? f (m) ? 2m ? f ( n) ? 2n

?1 2 m ?m?0 ? ? m ? 0或 ? 2 ?2 即 ? ,得 ? , ? n ? 0或 ? 2 ?1 n2 ? n ? 0 ? ?2 ?m ? ?2 1 又 m ? n ? ,得 ? . 4 ?n ? 0
故存在实数 m=-2,n=0,使 f(x)的定义域为[-2,0]值域为[-4,0]. 3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=-bx,其中 a、b、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)。 (1)求证:两函数的图象交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围。

? y ? ax 2 ? bx ? c 证明(1) 由 ? 消去 y 得 ax2+2bx+c=0 ? y ? ?bx
Δ =4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2) =4[(a+ ) 2 ?

c 2

3 2 c] 4

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴

3 2 c >0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点。 4
b a

解(2) 设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=- ,x1x2=

c 。|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 a

? (?

2b 2 4c 4b 2 ? 4ac 4(?a ? c) 2 ? 4ac ) ? ? ? a a a2 a2

c c c 1 3 ? 4[( ) 2 ? ? 1] ? 4[( ? ) 2 ? ] a a a 2 4

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

c 1 ∈(-2,- ) 2 a c 1 c c c ∵ f ( ) ? 4[( ) 2 ? ? 1] 的对称轴方程是 ? ? a 2 a a a c 1 ∈(-2,- )时,为减函数 2 a
∴a>-a-c>c,解得
2

∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( 3,2 3 )

4 设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, 且f (1) ? ?
2

a ,3a ? 2c ? 2b, 求证: 2

(1) a ? 0且 ? 3 ?

b 3 ?? ; a 4

(2)函数 f ( x ) 在区间(0,2)内至少有一个零点;

(3)设 x1 , x 2 是函数 f ( x ) 的两个零点,则 2 ≤| x1 ? x2 |? 证明: (1)? f (1) ? a ? b ? c ? ? 又 3a ? 2c ? 2b

57 . 4

a 2

? 3a ? 2b ? 2c ? 0

? 3a ? 0,2b ? 0

? a ? 0, b ? 0

又 2c=-3a-2b 由 3a>2c>2b ∵a>0 ? ?3 ?

∴3a>-3a-2b>2b

b 3 ?? a 4 a ?0 2

(2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c ①当 c>0 时,∵a>0,∴f(0)=c>0 且 f (1) ? ? ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点 ②当 c≤0 时,∵a>0 ? f (1) ? ?

a ? 0且f (2) ? a ? c ? 0 2

∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点. 综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点 (3)∵x1,x2 是函数 f(x)的两个零点 则 x1 , x2是方程ax ? bx ? c ? 0 的两根
2

∴ x1 ? x 2 ? ?

b c 3 b , x1 x 2 ? ? ? ? a a 2 a

b 3 b b ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (? ) 2 ? 4(? ? ) ? ( ? 2) 2 ? 2 a 2 a a
? ?3 ? b 3 ?? a 4

? 2 ≤| x1 ? x2 |?

57 4

5 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c .
2

3

(1)若 f (?1) ? 0 ,试判断函数 f ( x) 零点个数; (2)若对 ?x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,试证明 ?x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ( x0 ) ?

1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 成立; 2

(3)是否存在 a , b , c ? R ,使 f ( x) 同时满足以下条件 ①对 ?x ? R , f ( x ? 4) ? f (2 ? x) ,且 y∈[0,+∞) ;②对

?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ?

1 ( x ? 1) 2 . 若存在,求出 a , b , c 的值,若不存在,请说明理由. 2

解(1)∵ f (?1) ? 0 ,∴ a ? b ? c ? 0 ,故 b ? a ? c

? ? b2 ? 4ac ? (a ? c)2 ? 4ac ? (a ? c)2 ,
当 a ? c 时 ? ? 0 ,函数 f ( x) 有一个零点; 当 a ? c 时, ? ? 0 ,函数 f ( x) 有两个零点。 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] , 则 g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ?

1 2

1 2

1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2

1 1 g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f ( x2 ) ? f ( x1 )] 2 2 1 2 ∴ g ( x1 ) g ( x2 ) ? ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) , 4
∴ g ( x) ? 0 在 ( x1 , x2 ) 内必有一个实根,即 ?x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ( x0 ) ?

1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 成立 2

(3) 假设 a , b , c 存在,由①知抛物线的对称轴为 x ? ?1 ,且 f ( x) min ? 0 ,

b 4ac ? b 2 ? ?1 , ? 0 ,∴ b ? 2a , b2 ? 4ac ,从而 a ? c ∴? 2a 4ac
由②知对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? 令 x ? 1 得 0 ? f (1) ? 1 ? 0 , ∴

1 ( x ? 1) 2 , 2
a ?b ? c ?1

f (1) ? 1 ? 0 ,即 f (1) ? 1 , ∴

?a ? b ? c ? 1 1 1 ? 由 ?b ? 2a 得a ? c ? ,b ? , 4 2 ?a ? c ? 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 当 a ? c ? , b ? 时, f ( x) ? x ? x ? ? ( x ? 1) , 其顶点为 (?1 , 0) 满足条件①, 又 f ( x ) ? x ? ( x ? 1) 4 4 4 2 4 4 2 1 2 对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? ( x ? 1) 满足条件②. 2
∴存在 a , b , c ,使 f ( x) 同时满足条件①、②.

4

解法 2:假设 a , b , c 存在,由①知抛物线的对称轴为 x ? ?1 ,且 f ( x) min ? 0 , ∴?

b 4ac ? b 2 ? ?1 , ? 0 ,∴ b ? 2a , b2 ? 4ac ,从而 a ? c , f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? a 2a 4ac

?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ?

1 ( x ? 1) 2 , 2
1 ① 4

f ( x) ? x ? 0 对 x ? R 恒成立, ax 2 ? (2a ? 1) x ? a ? 0, ? ? (2a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 ? a ?
1 ( x ? 1) 2 对 x ? R 恒成立, 2 1 1 1 1 ( ? a) x 2 ? (2a ? 2) x ? ( ? a) ? 0, ? ? (2a ? 2) 2 ? 4( ? a) 2 ? 0 ? a ? ② 2 2 2 4 1 1 所以: a ? c ? , b ? ,∴存在 a , b , c ,使 f ( x) 同时满足条件①、②. 4 2 f ( x) ? x ?
时,有 f (x)≤ ?
? x ? 1? ? . ? 2 ?
2

6.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 均为实数),满足 a-b+c=0,对于任意实数 x 都有 f (x)-x≥0,并且当 x∈(0,2)

(1)求 f (1)的值; (2)证明:ac≥
1 ; 16 1 3 或 m≥ . 2 2

(3)当 x∈[-2,2]且 a+c 取得最小值时,函数 F(x)=f (x)-mx (m 为实数)是单调的,求证:m≤ ? .解: (1)∵对于任意 x∈R,都有 f (x)-x≥0,且当 x∈(0,2)时,

? x ? 1? 有 f (x) ≤ ? ? .令 x=1 ? 2 ? ?1 ? 1? ∴1≤f (1) ≤ ? ? . ? 2 ?
即 f (1)=1 (2) 由 a-b+c=0 及 f (1)=1. 有?
2

2

1 ?a - b ? c ? 0 ,可得 b=a+c= . ?a ? b ? c ? 1 2 1 x+c≥0. 2

又对任意 x,f(x)-x≥0,即 ax2∴a>0 且△≤0. 即

1 1 -4ac≤0,解得 ac≥ . 4 16
1 1 = . 16 2

(3) 由(2)可知 a>0,c>0. a+c≥2 ac ≥2·

? ?a ? c 当且仅当 ? 时等号成立.此时 1 ?a ? c ? 2 ? 1 a=c= . 4
5

1 2 1 1 x + x+ , 4 2 4 1 2 F (x)=f (x)-mx= [x +(2-4m)x+1]. 4
∴f (x)= 当 x∈[-2,2]时,f (x)是单调的,所以 F (x)的顶点一定在[-2,2]的外边.

2 ? 4m ≥2. 2 1 3 解得 m≤- 或 m≥ . 2 2
∴ 7.已知 f ( x ) 为二次函数,不等式 f ( x) ? 2 ? 0 的解集为 ( ? 1,

1 ) ,且对任意 ? , ? ? R 3

恒有 f (sin ? ) ? 0 , f (2 ? cos ? ) ? 0 .数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 3an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 bn ?

1 f ?(an )

( n ? Ν? )

1 ,求数列 {bn } 的通项公式; an

(Ⅲ)若(Ⅱ)中数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求数列 { Sn ? cos (bn? ) } 的前 n 项和 T n . 解: (Ⅰ)依题意, f ( x) ? 2 ? a ( x ? 1)( x ? ) ( a ? 0) ,即 f ( x) ? ax ?
2

1 3

2a a x? ?2 3 3

令? ?

?
2

, ? ? ? ,则 sin ? ? 1, cos ? ? ?1,有 f (1) ? 0, f (2 ? 1) ? 0 ,
3 2a a ? ? 2 ? 0 ,得 a ? . 2 3 3

得 f (1) ? 0 ,即 a ?

? f ( x) ?

3 2 5 x ?x? . 2 2

(Ⅱ) f '( x) ? 3x ? 1 ,则 3an ?1 ? 1 ? 即 a n ?1 ?

3an 1 1 ? 1? ? f '(an ) 3an ? 1 3an ? 1

an 1 1 ? 3? ,两边取倒数,得 ,即 bn?1 ? 3 ? bn . a n ?1 an 3a n ? 1
1 ? 1 ,公差为 3 的等差数列. a1

? 数列 { bn } 是首项为 b1 ?

? bn ? 1 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ? 2 (n ? N? ) .
(Ⅲ)

cos( bn ? ) ? cos( 3n ? 2 ) ? ? cos( n ? ) ? (?1)n

? Sn ? cos( bn ? ) ? (?1)n ? Sn ?Tn ? ?S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ? ?? ? (?1) n S n .
(1)当 n 为偶数时

Tn ? (S2 ? S1 ) ? (S4 ? S3 ) ?

? (Sn ? Sn?1 ) ? b2 ? b4 ?
6

? bn

n (b2 ? bn ) n 3n2 ? 2n 2 ? ? (4 ? 3n ? 2) ? 2 4 4
(2)当 n 为奇数时

Tn ? Tn ?1 ? Sn ?
?

3 (n ? 1)2 ? 2 (n ? 1) n (1 ? 3n ? 2) ? 4 2

?3n 2 ? 2n ? 1 4

8.设函数 f(x)=ax2+bx+c,a、b、c 都是正实数,且 f(1)=1. (Ⅰ)若 x>0,证明:f(x)· f(

1 )≥1; x

(Ⅱ)若正实数 x1、x2、x3 满足 x1· x2· x3=1,证明:f(x1)· f(x2)· f(x3)≥1. 证明:(Ⅰ)∵f(1)=1 ∴a+b+c=1 当 x>0 时

1 1 1 )=(ax2+bx+c)· (a 2 ?b ?c ) x x x 1 1 1 =a2+b2+c2+ab(x+ )+bc(x+ )+ca(x2+ 2 ) x x x
f(x)· f( ≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=1 当且仅当 x=1 时取得等号. (Ⅱ)(ⅰ)若 x1=x2=x3=1, 则显然有 f(x1)· f(x2)· f(x3)=1. (ⅱ)若 x1、x2、x3 不全相等,则其中必有 xi>1, xi<1,i,j∈{1,2,3}(i≠j),不妨设 x1>1,x2<1, ∵x1· x2· x3=1 ∴由(1)可知 f(x1x2)· f(x3)≥1, ∵a、b、c 为正实数 ∴任意取 x>0 有 f(x)>0 故只需证 f(x1)· f(x2)≥f(x1x2)即可. ∵f(x1)· f(x2)=( ax1 +bx1+c)· ( ax2 +bx2+c) = a x1 x2 ? b x1 x2 ? c ? ab( x1 x2 ? x1 x2 ) ? bc( x1 ? x2 ) ? ca( x1 ? x2 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2

f(1)· f(x1x2)=(a+b+c)· ( ax1 x2 ? bx1 x2 ? c )= a x1 x2 ? b x1 x2 ? c ? ab( x1 x2 ? x1 x2 ) ?
2 2

2

2

2

2

2

2

2

2 bc( x1 x2 ? 1) ? ca( x12 x2 ? 1) (11 分)

∴f(x1)· f(x2)-f(x1x2) =f(x1)· f(x2)-f(1)· f(1)· f(x1· x2) =abx1x2(x1+x2-x1x2-1)+bc(x1+x2-x1x2-1)+ca( x1 ? x2 ? x1 x2 ? 1 )
2 2 2 2

7

2 2 =abx1x2(x1-1)(1-x2)+bc(x1-1)(1-x2)+ca ( x1 ? 1)(1 ? x2 ) >0 (13 分)

∴f(x1)· f(x2)>f(x1x2),又因 f(x3)>0, 所以 f(x1)· f(x2)· f(x3)>f(x1x2)· f(x3)≥1, 由(ⅰ)(ⅱ)有 f(x1)· f(x2)· f(x3)≥1. (14 分) 9..对于函数 f ,若存在实数 x 0 ,使 f (x ( x ) ? ax ? ( b ? 1 ) x ? b ? 2 ( a ? 0 ) 0)?x 0成立,则称 x 0 为 f ( x) 的不
2

动点. ⑴ 当 a=2,b=-2 时,求 f ( x) 的不动点; ⑵ 若对于任何实数 b,函数 f ( x) 恒有两相异的不动点,求实数 a 的取值范围; ⑶ 在⑵ 的条件下,若 y? f (x ? )的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点,且直线 y?kx 线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围. 解? f ( x ) ? ax ? ( b ? 1 ) x ? b ? 2 ( a ? 0 ),
2

1 是 2 a ? 1
2

(1)当 a=2,b=-2 时,
2

2 f( x )? 2 x ? x ? 4 .

设 x 为其不动点,即 2 x? x ? 4 ? x . 则2 x? 2 x ? 4 ? 0 .
2

的不动点是-1,2. ? x ? ? 1 , x ? 2 . 即 f ( x ) 1 2
2

(2)由 f (x . 由已知,此方程有相异二实根, ? bx ? b ? 2 ? 0 ) ?x得: ax
2 2 即b 对任意 b?R恒成立. ?x ? 0 恒成立,即 b ? 4 ab ? 8 a ? 0 ? 4 a ( b ? 2 ) ? 0 .
2 ? ? ? 0 . ? 16 a ? 32 a ? 0 ? 0 ? a ? 2 . b

(3)设 A , ( x , x ), B ( x , x ) 1 1 2 2

1 ? k? ? 1 是线段 AB 的垂直平分线, 2 a ? 1 b (x 记 AB 的中点 M 由(2)知 x0 ? ? , 0, x 0). 2a 1 bb 1 ? M 在 y ? kx ? 上 , ? ? ? ? . 2 2 a 2 a 2 a ? 1 2 2 a ? 1 ? 直线 y?kx
2

? ?2 化简得: b

a 1 1 2 2 ? ? ? ? ? ? ( 当 a ? 时,等号成立) . 1 4 2 2 a ? 1 1 2 a ? 2 2 a ? a a

即b ? ?

2 . 4

10.对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.如果函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0)有两个相异的不动点 x1,x2.
8

⑴若 x1<1<x2,且 f(x)的图象关于直线 x=m 对称,求证: ⑵若|x1|<2 且|x1-x2|=2,求 b 的取值范围. (Ⅰ)证明:g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1 ∴(x1-1)(x2-1)<0 即 x1x2<(x1+x2)-1

1 <m<1; 2

a>0 ∵x1<1<x2<2

b 1 b ? 1 1 1 1 2 a 2aa 2 2 1 1 1 > (x 1 ?x 2) ? [(x1+x2)-1]= 2 2 2 1 1 1 1 1 1 又∵x1<1<x2<2 ∴x1x2>x1 于是有m= (x1+x2)- x1x2< (x1+x2)- x1= x2<1 ∴ <m<1 2 2 2 2 2 2 1 2 (Ⅱ)解:由方程 g >0,∴x1x2 同号 ( x ) ? ax ? ( b ? 1 ) x ? 1 ? 0 , 可知 x x ? 1 2 a
于是 x ? m ? ? ? ( ?? ) ? ( x ? x ) ? x x 1 2 1 2 (ⅰ)若 0<x1<2 则 x2-x1=2 ∴x2=x1+2>2 ∴g(2)<0 即 4a+2b-1<0 ① 又(x2-x1)2=

(b?1 )2 4 ? ?4 a a2
2

a ? 1 ?( b ? 1 )? 1 ∴2 ,(∵a>0)代入①式得

2 (b?1 )2 ?1<3-2b,解之得:b<

1 4
2

(ⅱ)若-2<x1<0,则 x2=-2+x1<-2 ∴g(-2)<0,即 4a-2b+3<0 ② 又2 代入②得 2 (b?1 a ? 1 ?( b ? 1 )? 1 ) ?1<2b-1 解之得 b>
2

7 4

综上可知 b 的取值范围为 ? bb? 或 b? ?

? ?

1 4

7? 4?

11.已知

,若 .

在区间

上的最大值为

,最小值为

,令

(1)求

的函数表达式;

9

(2)判断

的单调性,并求出

的最小

值.

12.已知关于 x 的函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b(其中a, b ? R)
2

10

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;
2 (Ⅱ)令 t ? a ? b. 若存在实数 m ,使得 f ( m) ?

1 1 与 f (m ? 1) ? 同时成立,求 t 的最大 4 4
(2 分)

(1)①当 a ? b ? 0 时,单调区间为: (??,?a]减, [?a,??)增 ;
2

②当 a ? b ? 0 时,单调区间为:
2

(?? ,?a ? a 2 ? b )减, ? a ? a 2 ? b ,?a 增, ? a,?a ? a 2 ? b 减, ? a ? a 2 ? b ,?? 增
(5 分) (2)①当 ?

?

? ?

? ?

?

1 1 1 ? a 2 ? b ? 0 时,由方程 x 2 ? 2ax ? b ? 解得 x1, 2 ? ?a ? a 2 ? b ? 4 4 4
2

此时 x2 ? x1 ? 2 a ? b ?

1 ? 1 ,不满足. 4

(8 分)

②当

1 1 1 ? a 2 ? b ? 0 时, 由方程 x 2 ? 2ax ? b ? 解得 x1, 2 ? ?a ? a 2 ? b ? 4 4 4
2

此时 x2 ? x1 ? 2 a ? b ? ③ 当

1 ? 1, 2 ,满足题意. 4
, 由 方 程

?

?

(11 分)

a2 ? b ?

1 4



x 2 ? 2ax ? b ?

1 4





x 2 ? 2ax ? b ? ?

1 4







x1, 2 ? ?a ? a 2 ? b ?

1 1 2 , x3, 4 ? ?a ? a ? b ? [来源:学科网 ZXXK] 4 4
2

此时由于 x2 ? x1 ? 2 a ? b ?

1 ? 4

?

2 ,?? ,
1 2 a2 ? b ? 1 1 ? a2 ? b ? 4 4

?

1 1 x3 ? x1 ? a 2 ? b ? ? a 2 ? b ? ? 4 4

?

2 ?1 4

所以只要 x3 ? x4 ? 2 a ? b ?
2
2

1 1 1 ? 1 即可,此时 a 2 ? b ? ,综上所述 t 的最大值为 .( 2 4 2

13.设 f ( x) ? x ? bx ? c(b 、 c ? R) . (1)若 f ( x ) 在 [?2, 2] 上不单调,求 b 的取值范围;
2 (2)若 f ( x) ?| x | 对一切 x ? R 恒成立,求证: b ? 1 ? 4c ;

11

(3)若对一切 x ? R ,有 f ( x ? ) ? 0 ,且 f ( (1)由题意 ?2 ?
2

1 x

2 x2 ? 3 ) 的最大值为 1,求 b 、 c 满足的条件. x2 ? 1

?b ? 2 ,??4 ? b ? 4 ; 2
2

2 ? ?(b ? 1) ? 4c ? 0 (2)须 x ? bx ? c ? x 与 x ? bx ? c ? ? x 同时成立,即 ? ,? b2 +1 ? 4c ; 2 ? ?(b ? 1) ? 4c ? 0

(3)因为 | x ?

1 |? 2 ,依题意,对一切满足 | x |? 2 的实数 x ,有 f ( x) ? 0 . x

? ? f (?2) ? 0 ? ①当 f ( x ) ? 0 有实根时, f ( x) ? 0 的实根在区间 [?2, 2] 内,设 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,所以 ? f (2) ? 0 ,即 ? b ??2 ? ? ? 2 ? 2

?4 ? 2b ? c ? 0 2 x2 ? 3 2 x2 ? 3 1 ? f ( ) 的最大值为 f (3) ? 1 ,即 9 ? 3b ? c ? 1 ,从 ? 2 ? ? (2,3] ,又 ,于是, ?4 ? 2b ? c ? 0 2 2 2 x ? 1 x ? 1 x ? 1 ??4 ? b ? 4 ?
4 ? b?? ? 4 ? 2 b ? 3 b ? 8 ? 0 ? 5 ? ? 而 c ? ?3b ? 8 .故 ?4 ? 2b ? 3b ? 8 ? 0 ,即 ?b ? ?4 ,解得 b ? ?4, c ? 4 . ??4 ? b ? 4 ??4 ? b ? 4 ? ? ?
2 2 ②当 f ( x) ? 0 无实根时,? ? b ? 4c ? 0 ,由二次函数性质知, f ( x) ? x ? bx ? c 在 (2,3] 上的最大值只能在区间

2 x2 ? 3 2 x2 ? 3 ) 无最大值.于是, f ( 2 ) 存在最大值的充要条件是 的端点处取得,所以,当 f (2) ? f (3) 时, f ( 2 x ?1 x ?1
f (2) ? f (3) ,即 4 ? 2b ? c ? 9 ? 3b ? c ,所以, b ? ?5 .又 f (

2 x2 ? 3 ) 的最大值为 f (3) ? 1 ,即 9 ? 3b ? c ? 1 , x2 ? 1

2 2 2 b? 3 2 0? , 从而 c ? ?3b ? 8 . 由 ? ? b ? 4c ? 0 , 得 b ?1 即 ?8 ? b ? ?4 . 所以 b 、 c 满足的条件为 3b ? c ? 8 ? 0

且 ?5 ? b ? ?4 .综上: 3b ? c ? 8 ? 0 且 ?5 ? b ? ?4. 14.设函数 f ( x) = a x2+8x+3 ( a <0),对于给定的负数 a ,有一个最大的正数 l (a) ,使得在整个区间[0,l (a) ] 上,不等式| f ( x) |≤5都成立。问 a 为何值时 l (a) 最大?求出这个最大的 l (a) ,证明你的结论。

4 2 16 16 ) ? 3 ? ,∵ a <0∴ f ( x) max= 3 ? a a a 16 4 当3 ? >5,即-8< a <0时,0< l (a) <- (如图1) a a
【解法】 : f ( x) = a( x ?

12

∴ l (a) 是方程 a x2+8x+3=5的较小根 l (a) ? y 5

2 1 ? 8 ? 64 ? 8a = ? 2a 16 ? 2a ? 4 2



l (a)




Ol (a) 图1



- 5

图2

3?

16 4 ≤5,即 a ≤-8时, l (a) >- a a

(如图2)

∴ l (a) 是方程 a x2+8x+3=-5的较大根 l (a) ?

4 ? 8 ? 64 ? 8a ? = 2a 4 ? 2a ? 2

4 20 ? 2



5 ?1 ,当且仅 2

当 a =-8时等号成立,由于

5 ?1 1 > , 2 2 5 ?1 。 2
(2)当 a>0 时 g(x)的最大值为 2,

因此当且仅当 a =-8时, l (a) 取最大值

15.已知 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,x∈[-1,1] 且∣f(x)∣≤1 ,求证:(1)∣g(x)∣≤2 求 f(x). (1)证 1:∵x∈[-1,1]时∣f(x)∣≤1 ∴∣f(0)∣=∣c∣≤1, ∣f(1)∣=∣a+b+c∣≤1 ∣f(-1)∣=∣a-b+c∣≤1 则∣g(1)∣=∣a+b∣=∣(a+b+c)-c∣=∣f(1)-f(0)∣ ≤∣f(1)∣+∣f(0)∣≤1+1=2 ∣g(-1)∣=∣a-b∣=∣(a-b+c)-c∣=∣f(-1)-f(c)∣ ≤∣f(-1)∣+∣f(0)∣≤1+1=2 而 g(x)在[-1,1]是单调函数 ∴ | g ( x) | max ? max{| g (1) |, | g (?1) |} , ∴ |g(x)|≤2.

f (1) ? f (?1) ? 2 f (0) ? a? ? f ( 1 ) ? f ( 0 ) ? a ? b ? ? 2 证 2:∵ ? ,解得: ? ? f (?1) ? f (0) ? a ? b ?b ? f (1) ? f (?1) ? 2 ?
f (1) ? f (?1) ? 2 f (0) f (1) ? f (?1) x? 2 2 1 1 1 1 ? f (1)( x ? ) ? f (?1)( x ? ) ? f (0) ? x 2 2 2 2 1 1 ∴ | g ( x) |?| f (1) | ? | x ? 1 | ? | f (?1) | ? | x ? 1 | ? | f (0) | ? | x | 2 2
∴ g ( x) ?
13

1 1 ( x ? 1) ? (1 ? x) ? 1 ? 2 . 2 2 x ?1 x ?1 )? f( ), 证 3: g ( x) ? ax ? b ? f ( 2 2 x ?1 x ?1 ? 1, ? 1 ? ? 0, 而0 ? 2 2 x ?1 x ?1 )|?| f ( ) |? 1 ? 1 ? 2 . ∴ | g ( x) |?| f ( 2 2 ?
(2)解:∵a>0, ∴g(x)在[-1,1]单调递增, ∴ gmax(x)=g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2. 则 -1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1. ∴ c=f(0)=-1, 而 x∈[-1,1],f(x)≥-1, ∴ x=0 时,f(x)达到最小值, 则 x=0 为 f(x)图象的对称轴,即 ?

b ? 0 ,得 b=0. 2a

∴ a=2,故 f(x)=2x2-1. 16.已知函数 f(x)=x2+bx+c,方程 f(x)=x 的两个实根为 x1,x2,且 x2-x1>2. (1)求证:x1,x2 为方程 f(f(x))=x 的两个根. (2)若四次方程 f(f(x))=x 的另两个根为 x3,x4,且 x3>x4,试判断 x1,x2,x3,x4 的大小. 证明:(1)由题设 f(x1)=x1, ∴f(f(x1))=f(x1)=x1 即 x1 是方程 f(f(x))=x 的根. 同理,x2 也是 f(f(x))=x 的根.
(2) 由题设 f(x)-x=(x-x1)(x-x2) ∴ f(x)=(x-x1)(x-x2)+x......(*) 则 f(x)-x1=(x-x1)(x-x2)+x-x1=(x-x1)(x-x2+1) 同理 f(x)-x2=(x-x2)(x-x1+1)

(2)若四次方程 f(f(x))=x 的另两个根为 x3,x4,且 x3>x4,试判断 x1,x2,x3,x4 的大小. 由(*),f(f(x))-x=[f(x)-x1][f(x)-x2]+f(x)-x =(x-x1)(x-x2+1)(x-x2)(x-x1+1)+(x-x1)(x-x2) =(x-x1)(x-x2)[(x-x1+1)(x-x2+1)+1] 令 g(x)=(x-x1+1)(x-x2+1)+1, 及题设 x2-x1>2. ∴ g(x1)=(x1-x2+1)+1=x1-x2+2<0 g(x2)=x2-x1+2>0. 又 g(x)图象开口向上,如图所示, 方程 g(x)=0 在(-∞,x1),(x1,x2)内分别有一根, 又 x3>x4,∴x4∈(-∞,x1),x3∈(x1,x2), 故:x2>x3>x1>x4 即为所求. 17.设函数 f(x)=x2+px+q(p,q∈R). (1)若 q=2,求使不等式 f(x)<2 的解集 A 满足(0,2)?A?(0,10)的 p 的范围; (2)当 p 在(1)的范围内变化时,是否存在实数对(p,q),使不等式|f(x)|>2 在区间[1,5]上无解. 解:(1) 当 q=2 时,f(x)<2 即为 x2+px+2<2, 化简得 x(x+p)<0,而它的解集 A 满足(0,2)?A?(0,10), 结合数轴,则 2<-p<10 即 -10<p<-2.

(2)假设存在实数对(p,q),使不等式|f(x)|>2 在[1,5]区间上无解, 只需|f(x)|≤2 在[1,5]区间上恒成立, 即当 x∈[1,5]时,恒有-2≤f(x)≤2 成立即可. (2)当 p 在(1)的范围内变化时,是否存在实数对(p,q),使不等式|f(x)|>2 在区间[1,5]上无解.
14

而 f ( x) ? ( x ?

p p 2 p2 ) ? (q ? ) ,且由(1)知 1 ? ? ? 5 . 2 2 4

再由 f(x)的图象是开口向上的抛物线弧段, 2 得 fmax ( x ) =max{f(1),f(5)}, f min ( x) ? f (? p ) ? q ? p 2 4

? p2 q ? ? ?2 ? 4 ? 则? ?1 ? p ? q ? 2 (*),由不等式的基本性质: ?25 ? 5 p ? q ? 2 ? ? ?
? p2 1 ? p ? ?4 ? ? 6 ? p ? 2 ,则 p=-6. ? 4 , 解得: ? ?? ? 2 ?? 14 ? p ? ?6 ?25 ? 5 p ? p ? 4 ? 4 ? 36 ? ?q ? 7 ? q ? 4 ? ?2 ? 将 p=-6 代回(*)得 ?1 ? 6 ? q ? 2 ,解得 ?q ? 7 ,∴q=7. ? ?q ? 7 ?25 ? 30 ? q ? 2 ? ? ? 故存在实数对(p,q)=(-6,7)使|f(x)|>2 在[1,5]区间上无解.
二、指数函数 18.已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 . 2 | x|

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围。
t

(1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 由条件可知 2 x ?

1 . 2x

1 ? 2 ,即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x 2

解得 2 x ? 1 ? 2 .

? 2 x ? 0 ,? x ? log2 1 ? 2 .
1 ? 1 ? ? ? (2)当 t ? [ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 , 2 ? 2 ? ? ?
即 m 2 2 t ? 1 ? ? 2 4t ? 1 .

?

?

?

? ?

?

? 2

2t

? 1 ? 0 , ? m ? ? 22t ? 1 .

? t ?[1, 2 ], ? ? 1 ? 2 ?[ ? 17, ? 5 ] , 故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? ) .
2t

?

?

?

?

19.已知 f1 ( x) ?| 3x ?1|, f 2 ( x) ?| a ? 3x ? 9 | (a ? 0), x ? R ,

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) . ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)当 2 ? a ? 9 时,设 f ( x) ? f 2 ( x) 所对应的自变量取值区间的长度为 l (闭区间 [ m, n] 的长度定义为 n ? m ), 试求 l 的最大值;
且 f ( x) ? ?
15

(Ⅲ)是否存在这样的 a ,使得当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ( x) ? f 2 ( x) ?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明 理由. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f 2 ( x) ?| 3x ? 9 | . 因为当 x ? (0,log3 5) 时, f1 ( x) ? 3x ? 1 , f 2 ( x) ? 9 ? 3x , 且 f1 ( x) ? f2 ( x) ? 2 ? 3x ?10 ? 2 ? 3
log3 5

?10 ? 2 ? 5 ?10 ? 0 ,

所以当 x ? (0,log3 5) 时, f ( x) ? 3 ? 1,
x

且 1? (0,log3 5) ??????????????(3 分)
x 由于 f ?( x) ? 3 ln 3 ,所以 k ? f ?(1) ? 3ln 3 ,又 f (1) ? 2 ,

故所求切线方程为 y ? 2 ? (3ln 3)( x ? 1) , 即 (3ln 3) x ? y ? 2 ? 3ln 3 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 ) (Ⅱ) 因为 2 ? a ? 9 ,所以 0 ? log 3 ① 当 x ? log3

9 9 ? log3 ,则 a 2

9 x x 时,因为 a ? 3 ? 9 ? 0 , 3 ? 1 ? 0 , a 8 , a ?1

所以由 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (a ? 3x ? 9) ? (3x ?1) ? (a ?1)3x ? 8 ? 0 ,解得 x ? log 3

9 8 时, f ( x) ? f 2 ( x) ……………………………………………(6 分) ? x ? log3 a a ?1 9 x x ② 当 0 ? x ? log3 时,因为 a ? 3 ? 9 ? 0 , 3 ? 1 ? 0 , a 10 所以由 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (9 ? a ? 3x ) ? (3x ?1) ? 10 ? (a ?1)3x ? 0 ,解得 x ? log 3 , a ?1 10 9 从 而 当 log3 ? x ? log3 时 , f ( x) ? f 2 ( x) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) a ?1 a ③当 x ? 0 时,因为 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (9 ? a ? 3x ) ? (1 ? 3x ) ? 8 ? (a ?1)3x ? 0 , 从 而 f ( x) ? 2 f ( x) 一 定 不 成 立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 ) 10 8 , log 3 ] 时, f ( x ) ? f 2 ( x ) , 综上得,当且仅当 x ? [log 3 a ?1 a ?1 8 10 4 2 ? log 3 ? log 3[ (1 ? )] ????????????????(9 分) 故 l ? log 3 a ?1 a ?1 5 a ?1 12 从而当 a ? 2 时, l 取得最大值为 log3 ???????????????????(10 5
从而当 log3 20.已知函数 f ( x) ?

5 5 ? 5
x

, m 为正整数 .
ks5u

(Ⅰ)求 f (1) ? f (0) 和 f ( x) ? f (1 ? x) 的值; (Ⅱ)若数列 {an } 的通项公式为 a n ? f ( (Ⅲ)设数列 {bn } 满足: b1 ?

n ) ( n ? 1,2,?, m ) ,求数列 {an } 的前 m 项和 S m ; m

1 1 1 1 2 , bn?1 ? bn ? bn ,设 Tn ? ,若(Ⅱ)中的 S m 满 ? ??? b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 2
ks5u

足对任意不小于 3 的正整数 n, 4S m ? 777 Tn ? 5 恒成立,试求 m 的最大值.
16

解: (Ⅰ) f (1) ? f (0) ?

5 5? 5
?

?
5

5 1? 5
=

=1;

f ( x) ? f (1 ? x) =

5 5x ? 5

5

51? x ? 5 5 x ? 5

?

5 ? 5x 5 ? 5 ? 5x

=1;????4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (

k m?k f( )? f( ) ? 1 , ? a k ? a m ? k ? 1, m m
由 Sm ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a m?1 ? a m ,

k k ) ? f (1 ? ) ? 1 (1 ? k ? m ? 1) ,即 m m

?????① ????②

得 Sm ? a m?1 ? a m?2 ? a m?3 ? ? ? a 1 ? a m , 由①+②, 得 2S m ? (m ? 1) ?1 ? 2am , ∴ S m ? (m ? 1) ? (Ⅲ) ∵ b1 ? ∴

1 1 5? 5 ,?10 分 ? f (1) ? (m ? 1) ? ? 2 2 4

1 , b n ?1 ? b 2 n ? b n ? b n (b n ? 1) ,∴对任意的 n ? N *, bn ? 0 . 2

1 b n ?1

?

1 1 1 1 1 1 ? ? . ? ? ,即 b n ? 1 b n b n ?1 b n (b n ? 1) b n b n ? 1

∴ Tn ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? ? 2? b1 b2 b2 b3 bn bn?1 b1 bn?1 bn?1
2

∵ b n ?1 ? b n ? b n ? 0, ? b n ?1 ? b n , ∴数列 {b n } 是单调递增数列. ∴ Tn 关于 n 递增. 当 n ? 3 , 且 n ? N ? 时, Tn ? T3 . ∵ b1 ?

1 1 1 3 3 3 21 21 21 777 , b2 ? ( ? 1) ? , b3 ? ( ? 1) ? , b4 ? ( ? 1) ? 2 2 2 4 4 4 16 16 16 256

∴ Tn ? T3 ? 2 ?

1 256 ? 2? . ∴ 4S m ? 777 T3 ? 5, ∴ m ? 650 .5 .而 m 为正整数, b4 777

∴ m 的最大值为 650. ??????????????????16 分 ex a 21.设 a>0, f ( x) ? ? x 是 R 上的偶函数. a e (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.

ex a ? 是 R 上的偶函数,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 . a ex 1 e x a e? x a 1 1 ∴ ? x? ? ? x ? 0 ? ( ? a)ex ? (a ? )e? x ? 0 ? ( ? a)(e x ? e? x ) ? 0 . a a e a e a a 1 x -x e -e 不可能恒为“0” , ∴ 当 -a=0 时等式恒成立, ∴a=1. a (2)在 (0, ??) 上任取 x1<x2,
解: (1)∵ f ( x) ?
17

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
∵ ∴

e x1 1 1 1 1 ? ? e x2 ? x2 ? (e x1 ? e x2 ) ? ( x1 ) ? (e x1 ? e x2 )(1 ? x x ) a e x1 e e ? e x2 e 1e 2

e>1,x1<x2, ∴ e x1 ? e x2 ? 1 , ∴ e x1 e x2 >1,

(e x1 ? e x2 )(e x1 e x2 ? 1) <0, e x1 e x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , ∴

f ( x) 是在 (0, ??) 上的增函数.

三、对数函数 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? 2x ? 3a) , (1)当 a ? ?1 时,求该函数的定义域和值域; (2)如果 f ( x) ? 1 在区间 [2, 3] 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1) 当 a ? ?1 时, f ( x) ? log2 (? x2 ? 2x ? 3)
2 令 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3

所以函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, 3) . 令 t ? ? x2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ?1)2 ? 4 ,则 0 ? t ? 4 所以 f ( x) ? log 2 t ? log 2 4 ? 2 因此函数 f ( x ) 的值域为 (??, 2] (2) 解法一: f ( x) ? 1 在区间 [2, 3] 上恒成立等价于 ax ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 在区间 [2, 3]
2

上恒成立 令 g ( x) ? ax ? 2x ? 3a ? 2
2

当 a ? 0 时, g ( x) ? 2 x ? 2 ? 0 ,所 以 a ? 0 满足题意. 当 a ? 0 时, g ( x) 是二次函数,对称轴为 x ? ? 当 a ? 0 时, ?

1 , a

1 ? 0 ? 2 ,函数 g ( x) 在区间 [2, 3] 上是增函数, a

g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 ;
1 5 2 ? a ? 0 时, ? ? , g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 a 2 5 1 5 2 2 当 a ? ? 时, 0 ? ? ? , g ( x)min ? g (3) ? 6a ? 4 ? 0 ,解得 a ? ? a 2 5 3 2 综上, a 的取值范围是 [ ? , ? ? ) 3
当? 解法二: f ( x) ? 1 在区间 [2, 3] 上恒成立等价于 ax ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0
2

在区间 [2, 3] 上恒成立
18

由 ax ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 且 x ? [2,3] 时, x ? 3 ? 0 ,得 a ?
2 2

2 ? 2x x2 ? 3

令 h( x ) ?

2 ? 2x 2 x2 ? 4 x ? 6 ? ,则 h ( x ) ? ?0 x2 ? 3 ( x 2 ? 3)2 2 3

所以 h( x) 在区间 [2, 3] 上是增函数,所以 h( x ) max ? h(3) ? ? 因此 a 的取值范围是 [ ? , ? ? ) .

2 3

23.设命题 p:函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?
2

1 a) 的定义域为 R;命题 q:不等式 3 x ? 9 x ? a 对一切正实数 16

均成立。 (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“p 或 q”为真命题,且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围; (1)若命题 p 为真,即

ax2 ? x ?

①当 a=0 时, ? x ? 0 不合题意??????????2 分 ② 当a ? 0时 ,可得

1 a ? 0 恒成立 16

?a ? 0 ?a ? 0 ? 即? 1 2 ? ?? ? 0 ?1 ? a ? 0 ? 4
? a ? 2 ??????????????????5 分 1 1 x x x (2)令 y ? 3 ? 9 ? ?(3 ? ) ? 2 4
x 由 x>0 得 3 ? 1

若命题 q 为真,则 a ? 0 ????????8 分 由命题“p 或 q”为真且“p 且 q”为假,得 命题 p、q 一真一假????????????????10 分 ①当 p 真 q 假时,a 不存在 ②当 p 假 q 真是, 0 ? a ? 2 24.函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0,且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时, Q(x-2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. ⑴写出函数 y=g(x) ⑵当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.

解:(Ⅰ)设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上点,Q(x,y),则 ?

? x ? x0 ? 2a , ? y ? ? y0
1 (x>a) x?a

∴?

?x0 ? x ? 2a ? y0 ? ? y

∴-y=loga(x+2a-3a),∴y=loga
19

(Ⅱ) ?

? x ? 3a ? 0 ?x ? a ? 0

∴x>3a ∵f(x)与 g(x)在[a+2,a+3]上有意义. ∴3a<a+2 ∴0<a<1 6 分 ∵|f(x)-g(x)|≤1 恒成立 ? |loga(x-3a)(x-a)|≤1 恒成立.
2 2 ? ? 1 ? log [( x ? 2 a ) ? a ] ? 1 2 2 1 a ? ? a ? ( x ? 2 a ) ? a ? ? a 0 ? a ? 1 ?

对 x∈[a+2,a+3]上恒成立,令 h(x)=(x-2a)2-a2 其对称轴 x=2a,2a<2,2<a+2 ∴当 x∈[a+2,a+3] hmin(x)=h(a+2),hmax=h(a+3)

? a ? h min ( x ) ? ∴原问题等价 ? 1 ? h max ( x ) ? ?a
a? 4 ? 4 a ? 9 ? 57 ? ? ? 0 ? a? ? 1 12 ? 9 ? 6 a ? a ?

25.已知函数 f ( x) ? log a

1 ? mx (a ? 0, a ? 1, m ? 1) 是奇函数. x ?1

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f ( x) 在 (1, ??) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值 解: (1)由已知条件得

f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域中的 x 均成立.????????????????1 分
? log a

mx ? 1 1 ? mx ? log a ?0 ?x ?1 x ?1 mx ? 1 1 ? mx 即 ? ?1 ? x ?1 x ?1

????????????????2 分

? m2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 对定义域中的 x 均成立. ? m2 ? 1
即 m ? 1 (舍去)或 m ? ?1 . (2)由(1)得 f ( x) ? log a ????????????????4 分

1? x x ?1
20

设t ?

x ?1 x ?1? 2 2 ? ? 1? , x ?1 x ?1 x ?1

? 当 x1 ? x2 ? 1 时, t1 ? t2 ? ? t1 ? t2 .

2( x2 ? x1 ) 2 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
????????????????7 分

当 a ? 1 时, log a t1 ? log a t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .??????????????8 分

? 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数. ????????????????9 分
同理当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数. ?????????????11 分 (3) 函数 f ( x) 的定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) ,

? ① n ? a ? 2 ? ?1 ,? 0 ? a ? 1 . ? f ( x) 在 (n, a ? 2) 为增函数,
要使值域为 (1, ??) , 26.已知函数 f ( x) ? lg

1 2x , f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时,恒有 f ( x ) ? f ( ) ? lg x x ax ? b

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)设不等式 f ( x) ? lg t 的解集为 A,且 A ? (0, 4] ,求实数 t 的取值范围。 (3)若方程 f ( x) ? lg(8 x ? m) 的解集为 ? ,求实数 m 的取值范围。 解: (1) 当 x ? 0 时, f ( x ) ? f ( ) ? lg x 恒成立

1 x

? lg

2x 2 ? lg ? lg x ,即 (a ? b) x2 ? (a ? b) x ? 0 恒成立,? a ? b ax ? b bx ? a 2x 又 f (1) ? 0 ,即 a ? b ? 2 ,从而 a ? b ? 1,? f ( x) ? lg 4分 1? x
(2)由不等式 f ( x) ? lg t , 即 lg

2分

2x (2 ? t ) x ? t 2x ? lg t ? ?0且 ?0 1? x 1? x 1? x

6分 7分 8分
10 分

由于解集 A ? (0, 4] ,故 0 ? t ? 2 ,

t 8 ?4?t ? , 2?t 5 8 又因为 0 ? t ? 2 ,所以实数 t 的取值范围是 (0, ] 5
所以 A ? (0, 即 (3)解法一:

t ] ? (0, 4] 2?t

21

? 2x ? 8x ? m ? ?8 x 2 ? (6 ? m) x ? m ? 0 2x ?1 ? x ? lg(8 x ? m) ? ? ?? 由 lg 1? x ? x ? ?1或x ? 0 ? 2x ? 0 ? 1 ? x ?
方程的解集为 ? ,故有两种情况: ①方程 8x2 ? (6 ? m) x ? m ? 0 无解,即 ? ? 0 ,得 2 ? m ? 18

12 分

14 分

②方程 8x2 ? (6 ? m) x ? m ? 0 有解,两根均在 [ ?1, 0] 内, g ( x) ? 8x2 ? (6 ? m) x ? m

?? ? 0 ? g (?1) ? 0 ? ?m ? 2或m ? 18 ? 则 ? g (0) ? 0 ?? ?0?m?2 ??6 ? m ? 10 ? ??1 ? ?6 ? m ? 0 ? 16 ?
综合①②得实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 18 (3)解法二: 若方程有解,

17 分

18 分

? 2x 2x ? 8x ? m ? ? ? 8x 2x ?1 ? x ?m ? ? lg(8 x ? m) ? ? ?? 则由 lg 1? x 1? x ? 2x ? 0 ? x ? ?1或x ? 0 ? ? ?1 ? x
由 g ( x) ?

12 分

2x 2 ? 8 x ? 10 ? [ ? 8( x ? 1)] 1? x 1? x

当 x ? ?1, 则 g ( x) ? 10 ? 2 当且仅当 x ? ?

2 ? 8( x ? 1) ? 18 , 1? x

3 时取到 18 2

14 分

当 x ? 0 ,则 g ( x) 是减函数,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 即 g ( x) 在 (??, ?1)

(0, ??) 上的值域为 (??, 0) [18, ??)

17 分 18 分

故当方程无解时, m 的取值范围是 [0,18) 27.已知函数 f ? x ? ? loga ? x ? 1? ? a ? 1? ,函数 g ?x ? 的图像与函数 y ?

3 3 ? ax ? 2 4

? a ? 1? 的图像关于直线 y ? x 对称.
(1)求函数 g ?x ? 的解析式; (2)若函数 g ?x ? 在区间 ? m, n? ? m ?

? ?

3? ? 上的值域为 ?loga ? p ? 3m?, loga ? p ? 3n?? , 2?
22

求实数 p 的取值范围; (3)设函数 F ?x ? ? a f ? x ?? g ? x ? ? a ? 1? ,试用列举法表示集合 M ? x F ?x? ? Z . (理科) (1)由 y ?

?

?

3 3 3 3 3 ? a x ? , ?a ? 1? 得 a x ? ? ( y ? ) 2 , y ? ,由已知可得 4 2 2 2 4
(4 分)

2 ?? 3 ? 3? 3 g ? x ? ? log a ?? x ? ? ? ? , x ? . 2 ? 4? 2 ? ?? ?

3 3 3 y ? ( x ? ) 2 ? 在 x ? 上是单调递增的,又 a ? 1 , 2 4 2 3 (或设 x1 ? x 2 ? , 则 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 3, 2
(2)
2 2 ? ? x12 ? 3x1 ? 3? ? ? x2 2 ? 3x2 ? 3? ? ? x1 ? x2 ? ? ?? x1 ? x2 ? ? 3? ? ? 0 ? ? x1 ? 3 x1 ? 3? ? ? x2 ? 3 x2 ? 3? ,

a ? 1,? log a ? x12 ? 3 x1 ? 3? ? log a ? x2 2 ? 3x2 ? 3? )
所以函数 g ?x ? 在区间 ? m, n ? ? m ?

? ?

3? ? 上为增函数,因此 2?

(6 分)

g ?m? ? loga ?m2 ? 3m ? 3? ? loga ? p ? 3m?, g ?n? ? loga ?n 2 ? 3n ? 3? ? loga ? p ? 3n?.
即 m ? 3m ? 3 ? p ? 3m, n ? 3n ? 3 ? p ? 3n, ?
2 2

?3 ? ? m ? n ?. ?2 ? ? ?
(8 分)

所以 m、n 是方程 x ? 3x ? 3 ? p ? 3x, x ? ? ,?? ? 的两个相异的解.
2

?3 ?2

? ?? ? 36 ? 4(3 ? p) ? 0 ? 3 ? 3 9 2 设 h ? x ? ? x ? 6x ? 3 ? p ,则 ?h( ) ? ? 6 ? ? 3 ? p ? 0 2 ? 2 4 3 ? 3? ? ? 2
15 为所求. 4 3 2 另解:由 p ? x ? 6 x ? 3, x ? 2
所以 ? 6 ? p ? ? 点问题,数形结合求得: ? 6 ? p ? ? (3) F ? x ? ? a
f ? x ?? g ? x ?

(10 分)

(12 分) 可转化为函数 y ? x ? 6 x ? 3, x ?
2

3 2

图像与函数 y ? p 的图像有两个交

15 . 4

?a

log a ? x ?1? ?loga x2 ?3 x ?3

?

??

3? ? ,? x ? ? x ? 3x ? 3 ? 2?
2

? x ? 1?

(14 分)

? ? x ? 1? ?

7 ? 5 ? 2 7 ? 5, 当且仅当 x ? 7 ? 1 时等号成立, x ?1
23

?

x ?1 ? 2 x ? 3x ? 3

? 2 7 ? 5? ?? ?, ? 0, 7 3 ? ? ?x ? 1? ? ?5 x ?1 1

(16 分)

?3 ?


2 7 ?5 ? 4 ,? F ?x ? 有可能取的整数有且只有 1,2,3. 3

x ?1 ? 1 时,解得 x ? 2 ? 2, x ? 2 ? 2 (舍去) ; x ? 3x ? 3 x ?1 5 ? 2 时,解得 x ? , x ? 1 (舍去) 当 2 ; 2 x ? 3x ? 3
2



x ?1 4 ? 5 ? ? 3 时,解得 x ? 2, x ? (舍去).故集合 M ? ?2, ,2 ? 2 ? (18 分) 3 x ? 3x ? 3 ? 2 ?
2

28.设函数 F ( x ) = ?

? f ( x) , f ( x) ? g ( x) ,其中 ? g ( x) , f ( x) ? g ( x)

f ( x) ? log2 ( x 2 ? 1),g ( x) ? log2 ( x ? 7) .
(1)在实数集 R 上用分段函数形式写出函数 F ( x ) 的解析式; (2)求函数 F ( x ) 的最小值.
2 2 ? ?log 2 ( x ? 1) , log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( x ? 7) 解: (1) F ( x ) = ? , (1 分) 2 ? ?log 2 ( x ? 7) , log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( x ? 7)

令 log2 ( x ? 1) ? log2 ( x ? 7) ,得 x ? x ? 6 ? 0 , (3 分)
2 2

解得: x ? ?3 或 x ? 3 , (5 分)? F ( x) ? ?

2 ? ?log2 ( x ? 1), x ? 3或x ? ?3 . (8 分) log ( x ? 7 ), ? 3 ? x ? 3 ? ? 2

2 2 ? ?log 2 ( x ? 1), x ? 1 ? x ? 7 (写出 F ( x) ? ? 4 分) 2 ? ?log 2 ( x ? 7), x ? 1 ? x ? 7

(2) 当 x ? 3或x ? ?3 时, 设 u ? x 2 ? 1 ? 10 ,y ? log2 u 在 [10,?? ) 上递增, 所以 F ( x) min ? log2 10 F ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1) , (10 分) ; (说明:设元及单调性省略不扣分) 同理,当 ? 3 ? x ? 3, F ( x) min ? log2 7 ; (12 分) 又 log2 7 ? log2 10 ? x ? R时,F ( x) min ? log2 7 . (14 分) 或解:因为 F ( x) 是偶函数,所以只需要考虑 x ? 0 的情形, (9 分) 当 0 ? x ? 3, F ( x) ? log2 ( x 2 ? 7), 当x ? 0时,F ( x) min ? log2 7 ; (11 分) 当 x ? 3 时, F ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1) ,当 x ? 3 时, F ( x) min ? log 2 10 ; (12 分)
24

(14 分) ? x ? R时,F ( x) min ? log2 7 .

四.幂函数 29.我们把 y ? x ? (? ? Q) 叫做幂函数。幂函数 y ? x ? (? ? Q) 的一个性质是,当 ? ? 0 时,在 ?0,??? 上是增函数; 当 ? ? 0 时,在 (0,??) 上是减函数。 设幂函数 f ( x) ? x n (n ? 2, n ? N * ). (1)若 g n ( x) ? f ( x) ? f (a ? x), x ? [0, a] ,证明:当 x ? (0, a ) 时,有

an ? g n ( x) ? a n ; n ?1 2
?

? ?1 (n ? 1) ? (n ? 1) g n (n) ; (2)若 g n ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,对任意的 n ? a ? 0 ,证明 g n
(3)在(2)的条件下,证明: g n ( n) ? n! a. 证明: (1)? g n ( x) ? f ( x) ? f (a ? x) ? x n ? (a ? x) n ,

?

? 当 0 ? x ? a 时,

? g n ( x) ? nx n ?1 ? n(a ? x) n ?1 ? (?1) ? n[ x n ?1 ? (a ? x) n ?1 ]. 1 分
令 g n ( x) ? 0 , 得x
n ?1

?

? (a ? x) n?1 ,

? x ? [0, a] ,根据幂函数的单调性,
得 x ? a ? x, 即x ?

a . 2
?

2分

随着 x 的变化, g n ( x), g n ( x) 的变化情况如下表:

x
? g n ( x)

a (0, ) 2
单调递减

a 2
0 极小值

a ( , a) 2
+ 单调递增

g n ( x)

a a a an ? g n ( x) 在 [0, a ] 上的最小值 g n ( x) min ? g n ( ) ? ( ) n ? (a ? ) n ? n?1 . 6 分 2 2 2 2

g n ( x) 在 [0, a ] 的最大值为 max{g n (0), g n (a)} ,这里 max{x, y} 表示数 x, y 中的较大者。
又 g n (0) ? g n (a) ? a ,
n

25

故当 x ? (0, a)时,

an ? g n ( x) ? a n . n ?1 2

7分

(2)? g n ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a) ? x n ? ( x ? a) n ,

? ? g n ( x) ? nx n ?1 ? n( x ? a) n ?1 ? n[ x n ?1 ? ( x ? a) n ?1 ],
则 g n (n) ? n[n

?

n ?1

? (n ? a) n ?1 ].

? ? 当 x ? a ? 0 时, g n ( x ) ? 0
? 当 x ? a ? 0 时, g n ( x) 是关于 x 的增函数,
? 当 x ? a ? 0 时, (n ? 1) n ? (n ? 1 ? a) n ? n n ? (n ? a) n .
9分

? ? g n ?1 (n ? 1) ? (n ? 1)[( n ? 1) n ? (n ? 1 ? a) n ] ? (n ? 1)[ n n ? (n ? a) n ]
五.分式函数

a 30.函数 f ( x) ?2x ? 的定义域为(0,1]( a 为实数) . x
⑴ 当 a?? 时,求函数 y? f (x)的值域; 1 ⑵ 若函数 y? f (x)在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; ⑶ 求函数 y? f (x)在 x∈ (0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

解: (1)显然函数 y ? f ( x) 的值域为 [ 2 2, ? ? ) ; (2)若函数

y ? f ( x) 在定义域上是减函数,则任取 x1, x2 ? ( 0 .1 ] 且 x1 ? x2 都有 f(x )? f( x ) 成立, 即 1 2
12

a) ( x ? x )( 2 ? ? 0 1 2 x x

2 x x 只要 a?? 1 2即可,

2 x x ? ( ? 2 , 0 ) 2, 由x ,所以 a ?? 1, x2 ? ( 0 .1 ] ,故 ? 1 2
,? 2 ]; 故a 的取值范围是 (??
(3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在 ( 0 .1 ] 上单调增,无最小值, 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ;

2 时,函数 y ? f ( x) 在 ( 0 .1 ] 上单调减,无最大值, 由(2)得当 a ?? 当 x=1 时取得最小值 2-a; 2a 2a ] 上单调减,在 [ ? , 1 ] 上单调增,无最大值, 2 ? a ? 0时,函数 y ? f ( x) 在 ( 0. ? 当? 2 2
当x?
?2a 2

时取得最小值 2 ? 2a .

ax 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0, c ? R) 是奇函数,当 x ? 0 时,有 f ( x) 最小值 2,其中 b ? N ,且 31.已知函数 f ( x) ? bx ? c 5 f (1) ? . 2
26

(Ⅰ)试求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)问函数 f ( x) 的图像上是否存在关于点(1,0)对称的两点?若存在,求出点的坐标;若不存在, 请说明理由. 解 (Ⅰ)由 f (? x) ? ? f ( x) ?
ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? , ?bx ? c bx ? c

即 ?bx ? c ? ?bx ? c ,? c ? 0 ?????????????????2 分
a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,? f ( x) ?

ax 2 ? 1 ?b ? a bx

????????4 分

b2 ? 1 5 5 a ?1 5 ? ? 2b2 ? 5b ? 2 ? 0 又 f (1) ? ? ? ,即 b 2 2 b 2

?a ? 1 1 ? ? ? b ? 2(b ? N ) ? b ? 1,? ? b ? 1 ???????????6 分 2 ?c ? 0 ?
(Ⅱ)设 M ( x0 , y0 ) 关于点(1,0)的对称点为 N ,则 N (2 ? x0 , ? y0 ) ,??????8 分

1 ? y0 ? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? 1 ? 2 ? ? x0 ? 1 ? 2 ? 或? ????11 分 ?? ? x0 2 ? 2 x0 ? 1 ? ? y0 ? 2 2 ? ? y0 ? ?2 2 ?? y ? 2 ? x ? 1 ? ? 0 0 ? 2 ? x0 ?
? 存在两点 M (1 ? 2, 2 2) 与 N (1 ? 2, ?2 2) 关于点(1,0)对称.
32.已知函数 f ( x ) ?
2 a ?1 a ? 1 a x
2

???12 分

,常数 a ? 0 .

n ] 上单调递增; (1)设 m ? n ? 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [ m , n ] ,求常数 a 的取值范围. (2)设 0 ? m ? n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [ m ,

解:(1)任取 x1 , x2 ? [m, n] ,且 x1 ? x2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 a
2

?

x1 ? x2 x1 x2



因为 x1 方法.

? x2 , x1 , x2 ? [m, n] ,所以 x1 x2 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) 在 [ m , n ] 上单调递增.或求导

(2)因为 f ( x) 在 [ m , n ] 上单调递增,
f ( x) 的定义域、值域都是 [m , n ] ? f (m) ? m, f (n) ? n ,

即 m, n 是方程

2 a ?1 ? 1 a a2 x

? x 的两个不等的正根
2a ? a
2

? a2 x2 ? (2a2 ? a ) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根.所以 ? ? (2a 2 ? a ) 2 ? 4a 2 ? 0 ,

a

2

?0?

a?

1 2

27

33.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a,b 的值;

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

?1? b ? 0, 解得 b ? 1 2?a 1 ? ?1 x ? 2 ?1 ? 2 ?1 . 又由 f (1) ? ? f (?1)知 从而有 f ( x) ? x ?1 ,解得 a ? 2 ?? 2 2 ?a 4?a 1? a ? 2x ?1 1 1 ?? ? x , (2)解法一:由(1)知 f ( x) ? x ?1 2 2 ?1 2 ?2 由上式易知 f ( x ) 在 R 上为减函数,又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式
解 (1) 因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0, 即

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ). 2 2 因 f ( x ) 是 R 上的减函数,由上式推得 t ? 2t ? ?2t ? k. 1 2 即对一切 t ? R有3t ? 2t ? k ? 0, 从而 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得 k ? ? 3 x ?2 ?1 , 解法二:由(1)知 f ( x) ? x ?1 2 ?2 2 2 ?2 t ?2t ?1 ? 2 2t ?k ? 1 又由题设条件得 2 ? 2 ?0 2 t ?2t ?1 ? 2 2 2t ?k ?1 ? 2 2 2 2 2 即 (22t ?k ?1 ? 2)(?2t ?2t ? 1) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(?22t ?k ? 1) ? 0
整理得 2
3t 2 ?2t ?k

? 1 ,因底数 2>1,故 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得 k ? ? .

a ?x. x (1)若 y ? log 1 [8 ? f ( x)] 在 [1, ??) 上是单调减函数,求实数 a 的取值范围;
34.已知函数 f ( x ) ?
3
2 (2)设 a ? 1, x ? y ? k ,若不等式 f ( x) f ( y ) ? ( ? ) 对一切 x, y ? (0, k ) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

k 2

2 k

解: (1)令 t ? x ? ? 8 ,则要使 y ? log 1 [8 ? f ( x)] 在 [1, ??) 上是单调减函数,则
3

a x

a ?/ t ? 1? 2 ? 0 ? ? x 在 [1, ??) 上恒成立, ? ?t ? x ? a ? 8 ? 0 ? x ?

则?

?a ? ? x 2 ? ?1 ?1 ? a ? 8 ? 0
1 x

所以, ?1 ? a ? 9
1 y 1 ? ( x2 ? y 2 ) ? x2 y 2 xy
28

?????????7 分

(2) f ( x) f ( y) ? ( ? x)( ? y) ?

?

2 1 ? k 2 ? 2x y ? 2 x 2 y 1? 2 k k ?x y ? 2 ? (0 ? x y ? .) ????????10 分 xy xy 4

令 u ? xy ,则 f ( x) f ( y) ? u ? 当 1? k 2 ?
k2 即 0?k ?2 4

1? k 2 k2 ? 2, u ? (0, ] u 4
5 ? 2 时,

f ( x) f ( y ) ? u ?

k2 1? k 2 ? 2 在 u ? (0, ] 上为减函数 , 所以 4 u

[ f ( x) f ( y )]min

k 2 1? k 2 k2 4 k 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ( ? )2 k 4 4 k 2 k 4
k 2 5 ? 2 时, f ( x ) f ( y ) ? ( ? ) 2 2 k
???????????12 分

即当 0 ? k ? 2
当 1? k ?
2

k2 k2 4 k 2 2 ? 2 ? 2 ? ( ? ) 2 与题意不合. , [ f ( x) f ( y )]min ? 2 1 ? k ? 2 ? 4 4 k 2 k
5 ?2 .

所以,所求的 k 的取值范围为 : 0 ? k ? 2

?????????14 分

35.(本小题满分 14 分)设关于 x 的方程 2x2-ax-2=0 的两根为α 、β (α <β ) ,函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f (α )·f (β )的值; (Ⅱ)证明 f (x)是[α ,β ]上的增函数; (Ⅲ)当 a 为何值时,f (x)在区间[α ,β ]上的最大值与最小值之差最小? 解: (Ⅰ)由题意知α +β =

4x ? a . x2 ?1

a a2 ,α ·β =-1,∴α 2+β 2= ?2, 2 4

4? ? a 4? ? a 16?? ? 4a(? ? ? ) ? a 2 ∴f (α )·f (β )= 2 ? ? ? ?1 ? 2 ?1 ? 2? 2 ? a2 ? ? 2 ?1
? ? 16 ? 2a 2 ? a 2 ? -4 .????????????????????? 4 分 a2 1? ? 2 ?1 4
(4 x ? a) \ ( x 2 ? 1) ? (4 x ? a)( x 2 ? 1) \ ( x 2 ? 1) 2
???? 6 分

(Ⅱ)证明:当α ≤x≤β 时, f \ ( x) ?

4( x 2 ? 1) ? (4 x ? a) ? 2 x ? 2(2 x 2 ? ax ? 2) ? ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2
∵α 、β 是方程 2x2-ax-2=0 的两根, ∴当α ≤x≤β 时,恒有 2x2-ax-2≤0,
\ ∴ f ( x ) ≥0,又 f ( x) 不是常函数,

29

∴ f ( x) 是[α ,β ]上的增函数.?????????????????? 9 分 (Ⅲ)f (x)在区间[α ,β ]上的最大值 f (β )>0,最小值 f (α )<0, 又∵| f (α )·f (β ) |=4, ????????????????????? 10 分 ∴f (β )-f (α )=| f (β )|+| f (α )|≥ 2

f (? ) ? f (? ) ? 4

当且仅当| f (β )|=| f (α )|=2 时取“=”号,此时 f (β )=2,f (α )=-2 ?? 11 分

? 4? ? a ? 2 ?????? (1) ? ∴? ? 2 ?1 ?2 ? 2 ? a? ? 2 ? 0 ???? (2) ?
由(1) 、 (2)得

??????????????? 13 分

a(16 ? a 2 ) ? 0 ,∴a=0 为所求.???????????????????? 14 分
36.已知函数 f ( x) ? x ?

t 过点 P 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线 PM 、PN , 切点分别为 M 、 (t ? 0) 和点 P(1 , 0) , x

N.
(Ⅰ)设 MN ? g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (Ⅱ)是否存在 t ,使得 M 、 N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [2 , n ?

64 ] 内总存在 m ? 1 个实数 n

a1 , a2 ,?, am , a m ?1 ,使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的最大值.

解: (Ⅰ)设 M 、 N 两点的横坐标分别为 x1 、 x 2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t , x2

? 切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ) , x1 x1

又? 切线 PM 过点 P(1,0) , ? 有 0 ? ( x1 ? 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 ,
2

t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) , x1 x1

??????????????????(1) ?? 2 分
2

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 .????(2)
2 由(1) 、 (2) ,可得 x1 , x 2 是方程 x ? 2tx ? t ? 0 的两根,

?x ? x2 ? ?2t , ?? 1 ?x1 ? x2 ? ?t .

??????( * )

????????? 4 分

MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

t 2 t t ) ] ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? x1 x2 x1 x2
30

? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?
把( * )式代入,得 MN ?

t 2 ) ], x1 x2

20t 2 ? 20t ,

因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ?

20t 2 ? 20t (t ? 0) .
x1 ?

????????5 分

(Ⅱ)当点 M 、 N 与 A 共线时, k MA ? k NA ,?

t t ? 1 x2 ? ?1 x1 x2 = , x1 ? 0 x2 ? 0



x1 ? t ? x1 x1
2

2



x2 ? t ? x2 x2
2

2

,化简,得 ( x2 ? x1 )[t ( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ] ? 0 , ??????(3) ????? 7 分

? x1 ? x 2 ,? t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1 .
把(*)式代入(3) ,解得 t ?

1 . 2 1 . 2
????????9 分

? 存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且 t ?
(Ⅲ)解法 1 :易知 g (t ) 在区间 [ 2 , n ?

64 ] 上为增函数, n

? g (2) ? g (ai ) ? g (n ?

64 ) (i ? 1,2,?, m ? 1) , n

则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a 2 ) ? ? ? g (a m ) ? m ? g (n ? 依题意,不等式 m ? g (2) ? g (n ?

64 ). n
????11 分

64 ) 对一切的正整数 n 恒成立, n

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

即m ?

1 64 64 [(n ? ) 2 ? (n ? )] 对一切的正整数 n 恒成立, . 6 n n

?n ?

1 64 64 1 2 136 64 [16 ? 16] ? , ? 16 , ? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? 6 n n 6 3 n
136 . 3
???????????13 分

?m ?

由于 m 为正整数,? m ? 6 .

又当 m ? 6 时,存在 a1 ? a2 ? ? ? am ? 2 , a m?1 ? 16,对所有的 n 满足条件. 因此, m 的最大值为 6 . 解法 2 :依题意,当区间 [ 2 , n ? ???????????14 分

64 ] 的长度最小时,得到的 m 最大值,即是所求值. n
31

?n ?

64 ? 16 ,? 长度最小的区间为 [2 , 16] , n

???????11 分

当 ai ? [2 , 16] (i ? 1,2,?, m ? 1) 时,与解法 1 相同分析,得 m ? g (2) ? g (16) , 解得 m ?

136 . 3
a 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 ( 0, a ] 上是减函数,在 [ x

37.已知函数 y ? x ? 是增函数.

a ,+∞ ) 上

2b ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值; x c 2 (2)研究函数 y = x + 2 (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; x a a 2 (3)对函数 y = x + 和 y = x + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推 x x 1 n 1 2 n 广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F ( x ) = ( x ? ) + ( 2 ? x) ( n 是正整数)在区 x x 1 间[ ,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) . 2
(1)如果函数 y = x +

2b ( x ? 0) 的最小值是 2 2b ,则 2 2b ? 6 ,∴ b ? log2 9 (理)解: (1)函数 y ? x ? x
(2)设 0 ? x1 ? x2 , y2 ? y1 ? x2 ?
2

c c c 2 ? x12 ? 2 ? ( x2 ? x12 )(1 ? 2 2 ) . 2 x2 x1 x1 ? x2
2

c 在[ 4 c ,+∞)上是增函数; x2 c 2 当 0 ? x1 ? x2 ? 4 c 时, y2 ? y1 ,函数 y ? x ? 2 在(0, 4 c ]上是减函数. x c 2 又 y ? x ? 2 是偶函数,于是,该函数在(-∞,- 4 c ]上是减函数, 在[- 4 c ,0)上是增函数; x a n (3)可以把函数推广为 y ? x ? n (a ? 0) ,其中 n 是正整数. x a n 当 n 是奇数时,函数 y ? x ? n 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数,在(-∞,- 2 n a ]上是增函数, 在[- x
当 4 c ? x1 ? x2 时, y2 ? y1 ,函数 y ? x ?
2n

a ,0)上是减函数;
n

当 n 是偶数时,函数 y ? x ?
2n

a 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, 在(-∞,- 2 n a ]上是减函数, 在[- xn

a ,0)上是增函数;

1 1 F ( x ) ? ( x 2 ? ) n + ( 2 ? x) n x x 1 1 1 1 0 2n 1 2 n ?3 r n ? 2 n ?3 ) ? ? ? C n ( x 2 n ?3 r 2 n ?3 r ) ? ? ? C n (xn ? n ) = Cn ( x ? 2n ) ? Cn ( x x x x x
32

因此 F ( x ) 在 [ 所以,当 x ?

1 ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 2
n n

1 ?9? ?9? 或 x ? 2 时, F ( x ) 取得最大值 ? ? ? ? ? ; 2 ?2? ?4?
n ?1

当 x ? 1 时, F ( x ) 取得最小值 2

.

38 已知函数 f ? x ? ?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; (Ⅱ)若 et ? 2 x2 ? et x ? et ? 2 ≥ 0 对满足 x ≤ 1 的任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取值范围(这里 e 是自然对 数的底数) ;

1 ? x2 ? x ? R? . 1 ? x ? x2

?

?

?? ? a ? ? b ? 2 ? (Ⅲ)求证:对任意正数 a 、 b 、 ? 、 ? ,恒有 f ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?
?

? ? a 2 ? ?b2 f? ? ???

? ? ? a ? ?b ? ?≥? ? ? ? ??? ?

2

? a 2 ? ?b2 . ???
?2 x ?1 ? x ? x 2 ? ? ? 2 x ? 1? ?1 ? x 2 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ?

【解】 (Ⅰ) f ? ? x ? ?

?

?

?

?

∴ f ? x ? 的增区间为 ?2 ? 3, ?2 ? 3 , f ? x ? 减区间为 ??, ?2 ? 3 和 ?2 ? 3, ?? .

?

?1 ? x ? x ?

2 2

?

?

?1 ? x ? x ?

2 2

? ?

?

2 3 2 3 ,极小值为 f ?2 ? 3 ? ? .????4′ 3 3 2 ?1 ? x 2 ? 2 3 t (Ⅱ)原不等式可化为 e ≥ 由(Ⅰ)知, x ≤ 1 时, f ( x) 的最大值为 . 2 1? x ? x 3
极大值为 f ?2 ? 3 ?

?

?

?

?

4 3 4 3 4 3 ,由恒成立的意义知道 et ≥ ,从而 t ≥ ln ?8′ 1? x ? x 3 3 3 1 ? x2 ? x ? x ? 0? (Ⅲ)设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ? x ? x2 ? ? x 2 ? 4 x ? 1? x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 2 ? ? ? 1 ? ? 则 g ? x? ? f ? x? ?1 ? . 2 2 ?1 ? x ? x2 ? ?1 ? x ? x2 ?

2

2 ?1 ? x 2 ?

的最大值为

∴当 x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数,

?? ? a ? b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 ?? ≤0 又当 a 、 b 、 ? 、 ? 是正实数时, ? ? ? 2 ??? ? ??? ? ?? ? ? ?
2 2

? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b 2 ∴? . ≤ ? ??? ? ??? ? ?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a ? ? b ? 2 ? ? a 2 ? ?b2 ? ? a 2 ? ?b2 ? ≥ f 由 g ? x ? 的单调性有: f ?? , ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ?? ? a ? ? b ? ? ? ? a ? ?b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 ? f ≥ 即 f ?? .????12′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
33

2

39.(本题 12 分) 已知函数 f ( x) ?

bx ? c 的图象过原点,且关于点(?1,1)成中心对称. x ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若数列 ?an ? (n ? N *) 满足: an ? 0, a1 ? 1, an?1 ? f ( an ) ,求数列 ?an ? 的通项 a n ;
2

?

?

(Ⅲ)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,判断 S n 与 2 的大小关系,并证明你的结论. 解 (Ⅰ) 因为函数 f ( x) ? 所以 c =0,即 f ( x) ?

bx ? c 的图象过原点, x ?1

bx . x ?1 bx b 又函数 f ( x) ? 的图象关于点(-1,1)成中心对称, ?b? x ?1 x ?1 x 所以 b ? 1, f ( x) ? 。 (4 分) x ?1
(Ⅱ)由题意 an ?1 ? f ( an ) ,开方取正得: an ?1 ?

?

?

2

an an ? 1

,即

1 1 ? ? 1. an ?1 an

∴数列 ?

? 1 ? ? ? an

? ? ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. ? ?
(8 分)



1 1 ? n ,即 an ? 2 。 n an
1 1 1 1 ? ? ? . 2 n n(n ? 1) n ? 1 n

(Ⅲ)当 n≥2 时, an ? 所以

Sn ? a1 ? a2 ?

? an ? 1 1 1 ? ? 2? ? 2 n ?1 n n
(12 分)

1 1 1 ? 1?1? ? ? ? 2 2 3
故 Sn ? 2 。

40. 在 平 行 四 边 形 OABC 中 , 已 知 过 点 C 的 直 线 与 线 段 OA, OB 分 别 相 交 于 点 M , N 。 若

OM ? xOA, ON ? yOB 。
(1)求证: x 与 y 的关系为 y ? (2)设 f ( x ) ?
x ; x ?1

x 1 ? 1(0 ? x ? 1) ,点列 Pi ( xi , F ( xi ))(i ? 1,2,?, n, n ? 2) 在函数 ,定义函数 F ( x) ? x ?1 f ( x) 1 F ( x) 的 图 像 上 , 且 数 列 ?xn ? 是 以 首 项 为 1 , 公 比 为 的等比数列, O 为原点,令 2 ,使得 OP ? OQ ?若存在,请求出 Q 点坐标;若不 OP ? OP 1 ? OP 2 ? ? ? OP n ,是否存在点 Q (1, m)

存在,请说明理由。 (3)设函数 G ( x) 为 R 上偶函数, 当 x ? [0,1] 时 G( x) ? f ( x) ,又函数 G ( x) 图象关于直线 x ? 1 对称, 当
34

方程 G ( x ) ? ax ?
? ?

1 在 x ? [2k ,2k ? 2](k ? N ) 上有两个不同的实数解时,求实数 a 的取值范围。 2

解: (1)?

OM OA

?

OM CB
?

?

?

ON NB
?

?

,????????????????2 分

?x ?

x y ,从而 y ? 。???????????????????4 分 1? x 1? y

(2) F ( x ) ?

x ?1 1 1 1 1 ? 1 ? ,? Pi ( xi , ) ,又 x n ? ( ) n ?1 , ? 2 n ?1 , x x xi 2 xn
??????????????????????6 分

? OP ? (1 ?
? ?

?

1 1 1 ? ? ? n ?1 ,1 ? 2 ? ? ? 2 n ?1 ) ? (2 ? n ?1 ,2 n ? 1) 。 2 2 2
??????????????????????8 分
? ?

设 OP ? OQ ,则 OP? OQ ? 0 。? 2 ? 故存在 Q (1,?

1 2
n ?1

? m(2 n ? 1) ? 0 ,? n ? 2,? m ? ?

1 2 n ?1



1 2 n ?1

) 满足条件。???????????????????10 分 x ,又由条件得 x ?1

(3)当 x ? [0,1] 时, G ( x ) ?

G ( 2 ? x ) ? G ( x ) ,? G ( 2 ? x ) ? G ( ? x ) ? G ( x ) 。
当 x ? [1,2] 时, 0 ? 2 ? x ? 1,? G (2 ? x) ?

2? x 2? x ? ,? G(2 ? x) ? G( x) , 2 ? x ?1 3 ? x

? x (0 ? x ? 1) ? 2? x ? G ( x) ? ,从而 G ( x) ? ? x ? 1 。???????12 分 2? x 3? x ? (1 ? x ? 2) ?3 ? x
由 G( x ? 2) ? G ( x) 得

? x ? 2k x ? [2k ,2k ? 1] ? 。??????????14 分 G ( x ) ? ? x ? 2k ? 1 x ? 2k ? 2 ? x ? [2k ? 1,2k ? 2] ? x ? 2k ? 3 1 设 y1 ? G ( x), y 2 ? ax ? ,在同一直角坐标系中作出两函数的图像,如图 2
当函数 y 2 ? ax ?

1 1 图像经过点 (2k ? 2,0) 时, a ? ? 。 2 4(k ? 1)
??????????????????????16 分

由图像可知,当

a ? [?

1 ,0) 时, y 1 与 y 2 的图像在 x ? [2k ,2k ? 2](k ? N ) 有两个不同交点,因此方程 4(k ? 1)

G ( x ) ? ax ?

1 在 x ? [2k ,2k ? 2] 上有两个不同的解。 2
35

??????????????????????18 分

六.抽象函数 41.定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)
2 2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 42.函数 f(x)的定义域为 D ? ?x x ? 0? , 满足: 对于任意 m, n ? D ,都有
f (mn) ? f (m) ? f (n) ,且 f(2)=1.
2 2 2 2 2

(1)求 f(4)的值; (2)如果 f (2 x ? 6) ? 3, 且f ( x)在(0, ? ?) 上是单调增函数,求 x 的取值范围. (1) f (4) ? f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 1 ? 1 ? 2. (2) 3=2+1= f (4) ? f (2) ? f (4 ? 2) ? f (8). 因为 f ( x)在(0, ? ?) 上是增函数,所以
f (2 x ? 6) ? 3 ? f (2 x ? 6) ? f (8) ? 0 ? 2 x ? 6 ? 8 ? 3 ? x ? 7.

………………………5 分 ………………………9 分

…………………… 且 f (1) ? 0

43.已知函数 f ( x) , g ( x) 在 R 上有定义,对任意的 x, y ? R 有 f ( x ? y) ? f ( x) g ( y) ? g ( x) f ( y) (1)求证: f ( x) 为奇函数

36

(2)若 f (1) ? f (2) , 求 g (1) ? g (?1) 的值 解(1)对 x ? R ,令 x=u-v 则有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)g(u)f(v)]=-f(x) ??????4 分 (2)f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 ???????8 44.已知函数 f ( x ) 对任意实数 x, y 恒有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 且当 x>0, f ( x ) ? 0.又f (1) ? ?2. (1)判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 在区间[-3,3]上的最大值; (3)解关于 x 的不等式 f (ax2 ) ? 2 f ( x) ? f (ax) ? 4. 解(1)取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0 ??????1′

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数. ??????3′ (2)任取 x1 , x2 ? (??,??)且x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 ??????4′ ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) ? ? f (? x1 ), 又 f ( x) 为奇函数 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数. ? 对任意 x ? [?3,3] ,恒有 f ( x) ? f (?3) ??????6′ 而 f (3) ? f (2 ? 1) ? f (2) ? f (1) ? 3 f (1) ? ?2 ? 3 ? ?6 ∴ f ( x) 在[-3,3]上的最大值为 6??????8′ ? f (?3) ? ? f (3) ? 6
(3)∵ f ( x) 为奇函数,∴整理原式得 f (ax2 ) ? f (?2x) ? f (ax) ? f (?2) 进一步可得 f (ax ? 2 x) ? f (ax ? 2)
2

而 f ( x) 在(-∞,+∞)上是减函数,? ax ? 2 x ? ax ? 2 ??????10′
2

? (ax ? 2)(x ? 1) ? 0. ? 当 a ? 0 时, x ? (??,1) 当 a ? 2 时, x ? {x | x ? 1且x ? R} 2 当 a ? 0 时, x ? {x | ? x ? 1} a
当 0 ? a ? 2 时, x ? { x | x ?
2 a 2 或x ? 1} a

当 a>2 时, x ? { x | x ? 或x ? 1} ??????12′

45.已知 f(x)在(-1,1)上有定义,f( ⑴证明:f(x)在(-1,1) ⑵对数列 x1=

x? y 1 )=-1,且满足 x,y∈(-1,1)有 f(x)+f(y)=f( ) 2 1 ? xy

2xn 1 ,xn+1= ,求 f(xn); 2 2 1 ? xn

37

⑶求证

1 1 1 2 n ? 5 ? ? ? ? ? ? f ( x ) f ( x ) f ( x ) n ? 2 1 2 n

20.(Ⅰ)证明:令 x=y=0,∴2f(0)=f(0),∴f(0)=0 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数 4 分 (Ⅱ)解:f(x1)=f(

2 xn x ? xn 1 )=-1,f(xn+1)=f( )=f( n )=f(xn)+f(xn)=2f(xn) 2 2 1 ? xn ?x n 1 ? xn



f ( x n ?1 ) =2 即{f(xn)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列 f (xn )
-1

∴f(xn)=-2n (Ⅲ)解:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ( 1 ? ? ? ? ? ) 2 n ? 1 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 2 2 2 1 2 n

1 1 ?n 1 1 ? ? 2? ? ( 2 ?n )? ? 2 ?n ? ? 2 ? 1 1 1 2 2? 1 ? 2 2 n ? 5 1 1 而? ? ? ( 2 ? ) ? ? 2 ? ? ? 2 n ? 2 n ? 2 n ? 2


1 1 1 2 n ? 5 ? ? ? ? ? ? f ( x ) f ( x ) f ( x ) n ? 2 1 2 n

46.已知函数 y ? f ( x), x ? N , f ( x) ? N ,满足:对任意 x1 , x2 ? N , x1 ? x2 , 都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ;
(1)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (2) ?n ? N ,且 f (0) ? 1 ,求证: f (n) ? n ? 1 ; (3)若 f (0) ? 1 ,对任意 m, n ? N ,有 f (n ? f (m)) ? f (n) ? 1 ,证明: ?
i ?1
* 证明: (1)由①知,对任意 a, b ? N , a ? b ,都有 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,

n

1 1 ? . i 4 f (3 ? 1) 2

由于 a ? b ? 0 ,从而 f (a) ? f (b) ,所以函数 f ( x) 为 N 上的单调增函数.
*

(2)由(1)可知 ?n ? N 都有 f(n+1)>f(n),则有 f(n+1) ? f(n)+1

? f(n+1)-f(n) ? 1 , ? f(n)-f(n-1) ? 1 ??? ? f(2)-f(1) ? 1 ? f(1)-f(0) ? 1 由此可得 f(n)-f(0) ? n ? f(n) ? n+1 命题得证
m, n ? N ,有 f (n ? f (m)) ? f (n) ? 1 (3) (3)由任意
得 f (m) ? 1 由 f(0)=1 得 m=0
38

则 f(n+1)=f(n)+1,则 f(n)=n+1

?
i ?1

n

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ? 3 3 ? (1 ? n ) ? i 1 2 3 2 f (3 ? 1) 3 3 3 1? 3

47.已知函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,且同时满足: (1)对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值;
* (III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? ? 1 . 2 (an ? 3), n ? N

求证: f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ?

? f (an ) ? 3 ? 2n ? 2

1 . 2?3n?1

解: (I)令 x1 ? x2 ? 0 ,由(3),则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2 由对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2,? f (0) ? 2 (2 分) (II)任意 x1 , x2 ??0,1? 且 x1 ? x2 ,则 0 ? x2 ? x1 ? 1,? f ( x2 ? x1 ) ? 2

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 ) ? f max ( x) ? f (1) ? 3
* ? Sn?1 ? ? 1 Sn ? ? 1 2 (an?1 ? 3)(n ? 2) 2 (an ? 3)(n ? N ) 1 1 ?an ? 3 an?1 (n ? 2), a1 ? 1 ? 0?an ? 3n?1

(6 分) (8 分)

(III)

? f (an ) ? f (
1)? ? f (3 n

1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 2 )? f ( 1 )?2?3f ( 1 )?4 3n 3n 3n 3n 3n 3n 3n?1 1 f ( 1 ) ? 4 ,即 4 f (an?1 ) ? 1 n) ? 3 。 3 3 3 3n?1

f (a

4 1 4 4 ? f (an ) ? 1 3 f (an?1 ) ? 3 ? 32 f (an?2 ) ? 32 ? 3 ?

? 3n1?1 f (a1 ) ? 3n4?1 ? 3n4?2 ?

1 ? 342 ? 4 3 ? 2 ? 3n?1



f (an ) ? 2 ?

1 3n?1

? f (a1 ) ? f (a2 ) ?

? f (an ) ? 2n ? 1?31 即原式成立。 3

1?( 1 )n

(14 分)

48.对于定义域为 ?0,1? 的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三条:①对任意的 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 0 ;② f (1) ? 1 ; ③若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为理想函数. (1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2)判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? [0,1]) 是否为理想函数,并予以证明;
x

(3) 若函数 f ( x) 为理想函数, 假定 ? x0 ? ?0,1? ,使得 f ( x0 ) ??0,1? ,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证 f ( x0 ) ? x0 . 解: (1)取 x1 ? x 2 ? 0 可得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 .---------------1 分 又由条件① f (0) ? 0 ,故 f (0) ? 0 .---------------3 分
39

(2)显然 g ( x) ? 2 x ?1 在[0,1]满足条件① g ( x) ? 0 ;---------------4 分 也满足条件② g (1) ? 1 .---------5 分 若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? [(2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1)] ? 2 x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x2 ?1)(2 x1 ?1) ? 0 ,即满足条件③,---------------8 分
故 g ( x) 理想函数. ---------------9 分

(3)由条件③知,任给 m 、 n ?[0,1],当 m ? n 时,由 m ? n 知 n ? m ?[0,1],

? f (n) ? f (n ? m ? m) ? f (n ? m) ? f (m) ? f (m) . --------------11 分
若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾;--------------12 分 若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,前后矛盾.--------------13 分 故 x0 ? f ( x0 ) . --------------14 分 (用其他方法解答的,请参照给分.)

49.(本小题满分 14 分)已知定义在 R 上的单调函数 f ( x) ,存在实数 x0 ,使得对于任意实数 x1 , x2 ,总有

f ( x0 x1 ? x0 x2 ) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立。(Ⅰ)求 x0 的值;(Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 1 ,且对任意正整数 n ,有
an ? f ( 1 ) ? 1 , ,求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)若数列{bn}满足 bn ? 2 og 1 an ? 1 ,将数列{bn}的项重新组合成新数 2n 2

列 ?cn ? ,具体法则如下: c1 ? b1 , c2 ? b2 ? b3 , c3 ? b4 ? b5 ? b6 , c4 ? b7 ? b8 ? b9 ? b10 , ??,求证:

1 1 1 ? ? ? c1 c2 c3

?

1 29 。 ? cn 24

22.解:(Ⅰ)令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? ? f (0) ,① 令 x1 ? 1, x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f (1) ? f (0) ,? f (1) ? ? f (0) ,② 由①、②得 f ( x0 ) ? f (1) ,又因为 f ( x) 为单调函数,? x0 ? 1 ??(2 分) (Ⅱ)由(1)得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( x1) ? f ( x 2) ?1 ,

1 1 1 1 f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1), 2 2 2 2
40

1 1 f ( ) ? 0, a1 ? f ( ) ? 1 ? 1 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( n ) ? f ( n ?1 ? n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f (1) ? 2 f ( n ?1 ) ? 1 ,??(3 分) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 f ( n ?1 ) ? 1 ? [ f ( n ) ? 1], ??(4 分) 2 2 2
1 ?1? an ?1 ? an , an ? ? ? 2 ?2?
n ?1

,??(5 分)
n ?1

?1? bn ? 2 og 1 an ? 1 ? 2 og 1 ? ? 2 2 ?2?
[1+2+?+(n-1)]+1=

? 1 ? 2n ? 1 ??(6 分)

(Ⅲ)由{Cn}的构成法则可知,Cn 应等于{bn}中的 n 项之和,其第一项的项数为

( n ? 1) n ( n ? 1) n +1,即这一项为 2×[ +1]-1=n(n-1)+1 2 2 n(1 ? 2n ? 1) 3 Cn=n(n-1)+1+n(n-1)+3+?+n(n-1)+2n-1=n2(n-1)+ =n ??(8 分) 2 1 9 29 1? 3 ? ? 2 8 24 1 1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] ??(12 分) 当 n ? 3 时, 3 ? 2 2 n nn n(n ? 1) 2 (n ? 1)n n(n ? 1)

?1 ?

1 1 1 ? ? ? 23 33 43

?

1 1 1 1 1 ? 1? ? [ ? ? 3 n 8 2 2 ? 3 3? 4

?

1 1 ? ] (n ? 1) ? n n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 29 ? 1? ? [ ? ] ? 1 ? ? ? ??(14 分) 8 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) 8 12 24
解法 2:

n3 ? 4n(n ?1) ? n(n ? 2)2 ? 0,?n3 ? 4n(n ?1)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 3 n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 1 ? ? ( ? ? 2 3 4 n 8 4 2 3 1 1 1 1 1 19 29 ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 8 16 4n 8 16 16 24

?

1 1 ? ) n ?1 n

50. 设函数 f ( x ) 是定义域在 (0, ??) 上的单调函数,且对于任意正数 x, y 有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,已知

f (2) ? 1.

1 f( ) (1)求 2 的值;
(2)一个各项均为正数的数列 的和,求数列

{an }

满足:

f (Sn ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ?1(n ? N*) ,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项

{an }

的通项公式;
41

(3)在(2)的条件下,是否存在正数 M ,使

2n ? a1 ? a2 ?

? an ? M 2n ? 1(2a1 ?1) ?(2a2 ?1)

?(2an ? 1)

对一切 n ? N * 成立?若存在,求出 M 的取值范围;若不存在,说明理由.

解: (1)∵ f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,令 x ? y ? 1 ,有 f (1) ? f (1) ? f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 .
1 1 1 1 f (1) ? f (2) ? f ( ) f ( ) ? ?1 f ( ) ? f (1) ? f (2) ? 0 ? 1 ? ?1 2 ,有 2 ,∴ 2 再令 ,∴ 2 ???4 分 1 1 ? f [an (an ? 1)] ? f ( ) ? f [ an (an ? 1)] f (Sn ) ? f (an ) ? f (an ?1) ?1 2 2 (2)∵ , 1 1 a (a ? 1) ? 0 S n ? an ( an ? 1) Sn ? 0 2 n n f ( x ) (0, ?? ) 2 又∵ 是定义域 上单调函数,∵ , ,∴ ??① x ? 2, y ?

1 1 a1 (a1 ? 1) Sn ?1 ? an ?1 (an ?1 ? 1) a1 ? 1 n ? 2 2 2 ,得 ,当 时, 1 1 Sn ? Sn ?1 ? an (an ? 1) ? an ?1 (an ?1 ? 1) ? an 2 2 由①-②,得 ,
当 n ? 1 时,由

S1 ?

??②

化简,得 ∵ ∴

2 2 an ? an ?1 ? (an ? an?1 ) ? 0 ,∴ (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 1) ? 0 ,

an ? 0

,∴

an ? an?1 ?1 ? 0 ,即 an ? an?1 ? 1 ,∴数列 {an } 为等差数列. a1 ? 1 ,公差 d ? 1 .
???? 8 分

an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ,故 an ? n .

n (3)∵ 2 ? a1 ? a2

? an ? 2n ?1? 2

? n ? 2n ? n!, (2a1 ?1)(2a2 ?1)

(2an ?1) ? 1? 3 ? (2n ?1)

bn ?


2n ? a1 ? a2

? an

2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)

2n ? n ! (2an ? 1) = 2n ? 1 ?1? 3 ? (2n ? 1) ,

bn?1 ?


2n?1 ? (n ? 1)! 2n ? 3 ?1? 3 ? (2n ? 1)(2n ? 1) .

2(n ? 1) bn ?1 2(n ? 1) 2n ? 1 4n2 ? 8n ? 4 ? ? ?1 (2n ? 1)(2n ? 3) = 4n2 ? 8n ? 3 (2n ? 1) 2n ? 3 ∴ bn ,



bn?1 ? bn ,数列 {bn } 为单调递增函数,由题意 M ? bn 恒成立,则只需 M ? (bn )min =
M ? (0,

b1 ?

2 3,



2 3 2 3 ] (0, ] 3 ,存在正数 M ,使所给定的不等式恒成立, M 的取值范围为 3 .??13 分

( ?? n ) fm () · fn ( ) 51.设函数 f(x)定义在 R 上,对于任意实数 m、n,恒有 fm ,且当 x>0 时,0<f(x)<1。
(1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1;
42

(2)求证:f(x)在 R 上单调递减;
2 2 (3)设集合 A , ? ( x , y ) |( f xf ) · ( y ) ? f ( 1 )

?

?

B ? ( x , y ) |( f a x ? y ? 2 ) ?? 1 , a R ,若 A ,求 a 的取值范围。 ∩ B?? ? ?

分析:我们知道,指数函数 ①f(x+y)= f(x) ·f(y) ; ② f (x?y )?

满足:

f (x) 。 f (y)
x

分析本题条件和结论,可推知本题是以函数 fx 为模型命制的。 () ? a 0 ? a ? 1 ? ? 解: (1)令 m=1,n=0,得 f(1)= f(1) ·f(0) 又当 x>0 时,0< f(x)<1,所以 f(0)=1 设 x<0,则-x>0 令 m=x,n=-x,则 f(0)= f(x) ·f(-x) 所以 f(x) ·f(-x)=1 又 0< f(-x)<1,所以 f (x )?

1 ?1 f (? x )

(2)设 x ,且 x 、 x R x 0 1 ?x 2,则 x 2? 1? 1 2? 所以 0 ? fx ( ? x ) ? 1 2 1 从而 f ( x )( ? f x ? x ? x )( ? f x ? x ) · f ( x ) 2 212 21 1 又由已知条件及(1)的结论知 f(x)>0 恒成立 所以

f (x 2) ? f (x x ) 2? 1 f (x ) 1 f (x2 ) ?1 f (x1)
43

所以 0 ?

所以 f(x2)< f(x1) ,故 f(x)在 R 上是单调递减的。

(3)由

得: f( x? y)? f() 1
2 2

因为 f(x)在 R 上单调递减 所以 x ?y ?1 ,即 A 表示圆 x ?y ?1 的内部
2 2 2 2

由 f(ax-y+2)=1= f(0)得:ax-y+2=0 所以 B 表示直线 ax-y+2=0 所以 A ,所以直线与圆相切或相离,即 ∩ B??

2 1? a2

?1

? a ?3 解得: ? 3
52.定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 a、b 都有 f(a+b)+ f(a-b)=2 f(a) ·f(b)成立,且 f (0 ) ?0。 (1)求 f(0)的值; (2)试判断 f(x)的奇偶性; (3)若存在常数 c>0 使 f ( ) ? 0 ,试问 f(x)是否为周期函数?若是,指出它的一个周期;若不是,请说明 理由。

c 2

o s ? ?? c o s ? 2 c o s c o s 分析:由三角函数的和差公式可知 c ,观察题设条件,我们可判断本题 ? ? ? ?
是以余弦函数 f(x)=cosx 为模型设计的问题。 解: (1)令 a=b=0 则 f(0)+ f(0)=2 f(0) ·f(0) 所以 2 f(0) ·[f(0)-1]=0

? ?? ?? ?

) ?0,所以 f(0)=1 又因为 f (0
(2)令 a=0,b=x,则 f(x)+ f(-x)=2 f(0) ·f(x) 由 f(0)=1 可得 f(-x)= f(x) 所以 f(x)是 R 上的偶函数。

b? ,则 (3)令 a?x? ,
44

c 2

c 2

c ? ? ? ? ? c ? c ?c ? c ?c ? ? ? f x ? ? ? f x ? ? ? 2 fx ? · f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 ? ? ? ? 22 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?
因为 f ? ? ? 0

? c? ? 2?

所以 f(x+c)+ f(x)=0 所以 f(x+c)=- f(x) 所以 f(x+2c)=- f(x+c)= -[-f(x)]= f(x) 所以 f(x)是以 2c 为周期的周期函数。

53.已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足:

x ? x ) ? (1) f( 1 2

f( x ) · f( x ) ? 1 1 2 f( x ) ? f( x ) 2 1

(2)存在正常数 a,使 f(a)=1 求证: (1)f(x)是奇函数; (2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为 4a。 分析:根据三角函数公式可判断本题应是以余弦函数 f(x)=cotx 为模型命制的。 证明: (1)设 t? ,则 x x 1? 2

f (? t) ? f (x2 ? x1) ? f (x2 )· f (x1) ? 1 f (x1) ? f (x2 )

f (x1)· f (x2 ) ? 1 f (x2 ) ? f (x1) ? ? f (x1 ? x2 ) ? ? f (t) ? ?
所以函数 f(x)是奇函数。

? 2 a , x a (2)令 x ,则 f( a )? 1 2?
f (2a) ?1 1? f (2a)

f( 2 a ) · f( a )? 1 f( a )?f( 2 a )

即 1?

解得:f(2a)=0
45

所以 f ( x ? 2 a ) ?

f ( x ) · f ( ? 21 a ) ?f ( x ) · [( ? fa 21 ) ] ? 1 ? ? ? f ( ? 2 a ) ? f ( x ) ? fa ( 2 ) ? f ( x ) f ( x )

所以 f? x ? 4 a ? ? ?

1 1 ? ? ? f() x 1 f( x ? 2 a ) ? f() x

因此,函数 f(x)是周期函数,并且有一个周期为 4a。 54.已知函数 f ( x ) 是定义在 (? 恒成立, ? , 1 ]上的减函数,且对一切实数 x,不等式 fk (? s i n x ) ? fk (? s i n) x
2 2

求 k 的值。 分析:由单调性,脱去函数记号,得
2 2 ? ?k ? sin x ? 1 ? 2 2 ? ?k ? sin x ? k ? sin x ?k 2 ? 1? sin2 x (1) ? ?? 2 1 12 ?k ? k ? 4 ? (sin x ? 2) ?

(2)

由题意知(1)(2)两式对一切 x? 恒成立,则有 R
2 2 ? ? k ? ( 1 ? s i n x ) 1 m i n? ? ? ? k ? ? 1 ?2 ? 1 1 9 2 k? k ?? ( s i n x ?) m a x? ? ? 4 2 4 ? ?

55.设函数

的定义域为全体 R,当 x<0 时,

,且对任意的实数 x,y∈R,有

成立,数列

满足,且

(n∈N*)

(Ⅰ)求证:

是 R 上的减函数;

(Ⅱ)求数列

的通项公式;

(Ⅲ)若不等式 最大值. 解析:(Ⅰ)令 ,得
46

对一切 n∈N*均成立,求 k 的



由题意知

,所以

,故





时,



,进而得







,则







,所以

是 R 上的减函数.

??????-4 分

(Ⅱ)由





所以



因为

是 R 上的减函数,所以



??????6 分



, 进而



所以

是以 1 为首项,2 为公差的等差数列.

所以



所以



??????9 分

(Ⅲ)由

对一切 n∈N*均成立.
47



对一切 n∈N*均成立.















为关于 n 的单调增函数,



所以

,k 的最大值为

??????14 分

七.信息迁移题 56.已知函数 f (x) 的定义域为 D,且 f (x) 同时满足以下条件: (Ⅰ)f (x) 在 D 上单调递增或单调递减 (Ⅱ)存在区间[a ,b ] ? D,使得 f (x) 在区间 [a ,b ]上的值域是[a ,b ] 那么我们把函数 f (x) (x ? D )叫闭函数 (1)求闭函数 y = ? x 符合条件(2)的区间 [a ,b ];
3

(2)判断函数 y =2x-lgx 是不是闭函数?若是,请说明理由,并找出区间 [a ,b ];若不是,请说明理由; (3)若 y = k +

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

(1)区间为[ -1,1] (2)取 x=0.01 ,则 y=2.02 取 x=1 , 则 y=2 取 x=10 ,则 y=19 所以 y=2x-lgx 在(0,+∞)不满足条件(Ⅰ),不是闭函数 (3)y = k + x ? 2 在(-2 ,+∞)上单调递增
48

设满足条件(Ⅱ)的区间为[a ,b ] 则 k+ k+

a?2 = a
有解

b?2 = b

即方程 k + x ? 2 = x 至少有两个不同的解 这等价于方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0 有两个大于等于 k 且大于等于-2 的不相同的解 所以 △ >0 f ( k ) ≥0

k ?1 >k 2
f ( -2 ) ≥0

所以

k ?1 >-2 2 9 ? <k ≤-2 4

57.如果 f ( x) 在某个区间 I 内满足: 对 任 意 的 x1 , x 2 ? I , 都有 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f (

1 2

x1 ? x2 ) , 则 称 f ( x) 在 I 上 为 下 凸 函 数 ; 已 知 函 数 2

f ( x) ? ax2 ? x.
(Ⅰ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) 在 R 上为下凸函数; (Ⅱ)若 x ? (0,1) 时, | f ( x) |? 1, 求实数 a 的取值范围 解(Ⅰ) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 ) 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 ) ? ] 2 2

2 ? ax12 ? x1 ? ax2 ? x2 ? 2[a(

a ( x1 ? x 2 ) 2 ? , ????????????????????????4 分 2
x ? x2 1 ? a ? 0,? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( 1 ), 2 2

?当a ? 0时, f ( x) 为 R 上的下凸函数。????????????6 分
49

| f ( x) |? 1, (Ⅱ)?

? ?1 ? ax2 ? x ? 1,
?? 1 1 1 1 ? ? a ? 2 ? . ??????????????????10 分 2 x x x x

? x ? (0,1),
? ?2 ? a ? 0. ????????????????????????12 分
58.如右图(1)所示,定义在区间 D 上的函数 f ( x) ,如果满 足:对 ? x ? D , ? 常数 A,都有 f ( x) ? A 成立,则称函数 ..

f ( x) 在 区间 ,其中 A 称为函数的下界 . (提示:图(1)、 . ..D 上有下界 .... .....
(2)中的常数 A 、 B 可以是正数,也可以是负数或零) (Ⅰ)试判断函数 f ( x ) ? x ?
3

48 在 (0, ??) 上是否有下界?并说明理由; x

(Ⅱ)又如具有右图(2)特征的函数称为在区间 D 上有上界. 请你类比函数有下界的定义,给出函数 f ( x) 在区间 D 上 有上界的定义,并判断(Ⅰ)中的函数在 (??, 0) 上是否 有上界?并说明理由; (Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 D 上既有上界又有下界,则称函数

f ( x) 在区间 D 上有界,函数 f ( x) 叫做有界函数.试探究函数 f ( x ) ? ax 3 ?
是否是 [ m, n] ( m ? 0, n ? 0, m 、 n 是常数)上的有 界函数?

b ( a ? 0, b ? 0 a , b 是常数) x

(I)解法 1:∵ f ?( x ) ? 3 x ?
2

48 48 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 3 x ? 2 ? 0 , 2 x x
∴x ? 2,

x4 ? 16,

∵ x ? (0, ??) ,

∵当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(0,2)上是减函数; 当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(2,+ ? )上是增函数; ∴ x ? 2 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点, f ( x) min ? f (2) ? 8 ? ∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 ,
50

48 ? 32 2

即在区间(0,+ ? )上存在常数 A=32,使得对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立, ∴函数 f ( x ) ? x ?
3

48 在(0,+ ? )上有下界. x

[解法 2:

x ? 0 ? f ( x) ? x 3 ?

48 16 16 16 16 16 16 ? x3 ? ? ? ? 4 4 x3 ? ? ? ? 32 x x x x x x x

当且仅当 x 3 ?

16 即 x ? 2 时“=”成立 x

∴对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 , 即在区间(0,+ ? )上存在常数 A=32,使得对 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? A 成立, ∴函数 f ( x ) ? x ?
3

48 在(0,+ ? )上有下界.] x

(II)类比函数有下界的定义,函数有上界可以这样定义: 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对 ? x ? D , ? 常数 B,都有 f ( x) ≤B 成立,则称函数 f ( x) 在 D 上有上 界,其中 B 称为函数的上界. 设 x ? 0, 则 ? x ? 0 ,由(1)知,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 32 , ∴ f (? x) ? 32 ,∵函数 f ( x ) ? x ?
3

48 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) x

∴ ? f ( x) ? 32 ,∴ f ( x) ? ?32 即存在常数 B=-32,对 ? x ? (??, 0) ,都有 f ( x) ? B ,

48 在(- ? , 0)上有上界. x b 2 (III)∵ f ?( x ) ? 3ax ? 2 , x b 2 由 f ?( x) ? 0 得 3ax ? 2 ? 0 ,∵ a ? 0, b ? 0 x
∴函数 f ( x ) ? x ?
3

∴x ?
4

b , 3a
4

∵ [m, n] ? (0, ??) , ∴ x ?

4

b , 3a

∵当 0 ? x ?

b b 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在(0, 4 )上是减函数; 3a 3a

当x?

4

b b 时, f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在( 4 ,+ ? )上是增函数; 3a 3a

∴x?

4

b 是函数的在区间(0,+ ? )上的最小值点, 3a
51

f (4

b b 3 b 4 ) ? a( 4 ) ? ? 4 3ab3 3a 3a 3 b 4 3a
4

①当 m ?

b 时,函数 f ( x) 在 [ m, n] 上是增函数; 3a

∴ f (m) ? f ( x) ? f (n) ∵ m 、 n 是常数,∴ f ( m) 、 f ( n) 都是常数 令 f (m) ? A, f (n) ? B , ∴对 ?x ? [m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B 即函数 f ( x ) ? ax ?
3

b 在 [ m, n] 上既有上界又有下界 x

②当 n ?

4

b 时函数 f ( x) 在 [ m, n] 上是减函数 3a

∴对 ?x ? [m, n] 都有 f (n) ? f ( x) ? f (m) ∴函数 f ( x ) ? ax ?
3

b 在 [ m, n] 上有界. x

③当 m ?

4

b ? n 时,函数 f ( x) 在 [ m, n] 上有最小值 3a

f ( x)min = f ( 4

b b 3 b 4 ) ? a( 4 ) ? ? 4 3ab3 3a 3a 3 b 4 3a

令A?

44 3ab 3 ,令 B= f ( m) 、 f (n) 中的最大者 3

则对 ?x ? [m, n] , ? 常数 A,B,都有 A ? f ( x) ? B

b 在 [ m, n] 上有界. x b 3 综上可知函数 f ( x ) ? ax ? 是 [ m, n] 上的有界函数. x
∴函数 f ( x ) ? ax ?
3

59.将奇函数的图像关于原点(即 (0,0) )对称这一性质进行拓广,有下面的结论: ① 函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 的充要条件是 y ? f ( x) 的图像关于点 ( a, b) 成中心对称. ② 函数 y ? f ( x) 满足 F ( x) ? f ( x ? a) ? f ( a) 为奇函数的充要条件是 y ? f ( x) 的图像关于点 (a, f (a)) 成中心对 称(注:若 a 不属于 x 的定义域时,则 f (a ) 不存在) . 利用上述结论完成下列各题: (1)写出函数 f ( x ) ? tan x 的图像的对称中心的坐标,并加以证明. (2)已知 m ( m ? ?1 )为实数,试问函数 f ( x) ?

x?m 的图像是否关于某一点成中心对称?若是,求出对称 x ?1
52

中心的坐标并说明理由;若不是,请说明理由.

2? ?2 ? (3)若函数 f ( x) ? ? x ? ? ?| x ? t | ? | x ? 3 |? ? 4 的图像关于点 ? , 3? ? ?3

? 2 ?? f ? ? ? 成中心对称,求 t 的 ? 3 ??
?2 分

? k? ? , 0 ? ( k ? N* ) (1)函数 f ( x ) ? tan x 的图像的对称中心的坐标为 ? . 2 ? ? 当 k ? 2n ( n ? N * )时, ? k? ? ? k? ? tan ? ? x ? ? tan ? ? x ? ? tan x ? tan x ? 0 ; 2 2 ? ? ? ?
当 k ? 2n ? 1 ( n ? N * )时, ? k? ? ? k? ? tan ? ? x ? ? tan ? ? x ? ? ? cot x ? cot x ? 0 ,得证. ? 2 ? ? 2 ? (2)由 f ( x) ?

?6 分

x?m m ?1 ,得 f ( x) 的图像的对称中心的坐标为 (1,1) .?9 分 ?1 ? x ?1 x ?1 x ? 1 ? m 1 ? x ? m x ? 1 ? m ?x ? 1 ? m f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? ? ? ? ? 2 , 由 结 论 ① 得 , 对 实 数 m ( m ? ?1 ) , 函 数 x ? 1 ?1 1 ? x ?1 x ?x x?m 的图像关于点 (1,1) 成中心对称. ?12 分 f ( x) ? x ?1 ? 2? 2 7? ? ? 2? (3)由结论② F ( x) ? f ? x ? ? ? f ? ? ? x ? x ? ? t ? x ? ? 为奇函数,?14 分 3? 3 3? ? ? 3? ?
其中 g ( x) ? x 为奇函数,故 h( x) ? x ? 于是,由 h( x) ? h(? x) 可得 x ? 因此,

2 7 ? t ? x ? 为偶函数(证明略) , 3 3
?16 分 ?18 分

2 7 7 ?2 ? ?t ? x ? ? x ?? ?t? ? x ? , 3 3 3 3 ? ?

60. 对 于 函 数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) , 如 果 存 在 实 数 a , b 使 得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) , 那 么 称 h( x) 为

5 2 7 ? t ? ,解得 t ? 为所求. 3 3 3

f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.
(1)下面给出两组函数, h( x) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? cos x, h( x) ? sin( x ?

?
3

);

第二组: f1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1 ; (2)设 f1 ( x) ? log 2 x, f 2 ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ?1 ,生成函数 h( x) .若不等式
2

h(4 x) ? th(2 x) ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围; 1 ( x ? 0) ,取 a ? 0, b ? 0 ,生成函数 h( x) 图像的最低点坐标为 (2, 8) .若 (3)设 f1 ( x) ? x ( x ? 0), f 2 ( x) ? x 对于任意正实数 x1 , x2 且 x1 ? x2 ? 1 .试问是否存在最大的常数 m , 使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立?如果存在, 求出这个 m
的值;如果不存在,请说明理由. 解: (1)① 设 a sin x ? b cos x ? sin( x ? 取a ?

?

1 3 ) ,即 a sin x ? b cos x ? sin x ? cos x , 3 2 2

1 3 , b? ,所以 h( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. ?????????2 分 2 2 2 2 2 2 2 ② 设 a( x ? x) ? b( x ? x ? 1) ? x ? x ? 1 ,即 (a ? b) x ? (a ? b) x ? b ? x ? x ? 1,
53

?a ? b ? 1 ? 则 ?a ? b ? ?1 ,该方程组无解.所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.????4 分 ?b ? 1 ?
(2) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x
2

?????????5 分 ?????????6 分 ?????????7 分 ?????????8 分

h(4 x) ? th(2 x) ? 0 ,即 log2 (4 x) ? t log 2 2 x ? 0 ,
也即 (2 ? log 2 x) ? t (1 ? log 2 x) ? 0 因为 x ?[2, 4] ,所以 1 ? log2 x ?[2, 3] 则t ? ?

2 ? log 2 x 1 ? ?1 ? 1 ? log 2 x 1 ? log 2 x

?????????9 分

函数 y ? ?1 ?

4 1 4 在 [2, 4] 上单调递增, ymax ? ? .故, t ? ? .??10 分 3 1 ? log 2 x 3

(3)由题意,得 h( x) ? ax ?

b b ( x ? 0) ,则 h( x) ? ax ? ? 2 ab x x

b ? ?a ? 2 8 ? 2a ? ? 8 ( x ? 0) ????????12 分 2 ,解得 ? ,所以 h( x ) ? 2 x ? ? x b ? 8 ? ? 2 ab ? 8 ? 假设存在最大的常数 m ,使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立.
于是设 u ? h( x1 )h( x2 ) ? 4( x1 ?

4 4 64 x x )( x2 ? ) ? 4 x1 x2 ? ? 16( 1 ? 2 ) x1 x2 x1 x2 x2 x1

2 x12 ? x2 ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 64 64 80 = 4 x1 x2 ? ? 16 ? ? 4 x1 x2 ? ? 16 ? ? 4 x1 x2 ? ? 32 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2

令 t ? x1 x2 ,则 t ? x1x2 ? (

x1 ? x2 2 1 1 ) ? ,即 t ? (0, ] ???????????14 分 2 4 4 80 1 ? 32 , t ? (0, ] . 设 u ? 4t ? 4 t 80 80 80 1 ? 3 ? [ 4t 2 ? ? 3] ? (t1 ? t 2 ) [ 4 ? ] 设 0 ? t1 ? t2 ? , u1 ? u 2 ? 4t1 ? t1 t2 t1t 2 4 0 ? t1t 2 ?

80 1 1 ? 32 在 t ? (0, ] 上单调递减, , u1 ? u 2 ? 0 ,所以 u ? 4t ? 4 t 16

1 u ? u( ) ? 289 ,故存在最大的常数 m ? 289 ?????????????16 分 4

54


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