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3.3 直线的交点坐标与距离公式


3.3 直线的交点坐标与距离公式
一·两条直线的交点坐标 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0

两条直线的交点坐标就是方程组

的解

若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点坐标; 若方程无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行。反之亦成立 二·两点之间的距离 平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式 |P1P2|=

原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= 三·点到直线的距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离

d= (使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式 Ax+By+C=0 的形式) 四·两条平行直线间的距离 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离

d= 使用两平行线间的距离公式时 1)首先直线的方程化成一般形式 2)还要注意 x、y 的系数必须相同时才能读出 C1、C2 的值. 基本问题 一.两直线的交点问题: (1)先求出两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再依其他条件求解. (2)运用过两直线交点的直线系方程:若两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 有交点,则过 l1 与 l2 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ 为待定常数,不包括直线 l2),设出方程 后再利用其他条件求解. 二.距离问题 三.对称问题 1.中心对称

(1)若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两 点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对 称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2,由点斜式得到所求直线 方程. 2.轴对称 (1)点关于直线的对称

若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称,则线段 P1P2 的中点在对称轴 l 上,而且 连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l,由方程组

可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 B≠0, x1≠x2) (2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决, 若已知直线 l1 与对称轴 l 相交, 则交点必在与 l1 对称 的直线 l2 上,然后再求出 l1 上任一个已知点 P1 关于对称轴 l 对称的点 P2,那么经过交点及点 P2 的直线就 是 l2;若已知直线 l1 与对称轴 l 平行,则与 l1 对称的直线和 l1 到直线 l 的距离相等,由平行直线系和两条 平行线间的距离,即可求出 l1 的对称直线,或者在已知直线上任取一点,找它关于对称轴的对称点,用点斜 式求方程.

习题

直线的交点坐标与距离公式
1. 已知集合 M={(x,y)∣x+y=2},N={(x,y)∣x–y=4},那么集合 M∩N 为( D A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1) D.{(3,–1)} 2. 已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=– A.–6<k<2 B.– )

1 <k<0 6

1 x+2 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值范围是( C ) 2 1 1 1 C.– <k< D. <k<+∞ 6 2 2
C +1 A ) ) -1 D.

3.已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( A. B.2- C.

4.若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0 相交于同一点,则点(m,n)可能是( A.(1,-3) B.(3,-1) C.(-3,1) D.(-1,3) 5.两直线 x-y-2=0 与 2x-2y+3=0 的距离为( B )

6. 点 P 在直线 x+y–4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是( C A.2 B. 6 C. 2 2 D. 10

)

7.一条直线经过 P(1,2), 且与 A(2,3)、B(4,-5)距离相等,则直线 l 为( A. 4x+y-6=0 B. x+4y-6=0 C. 3x+2y-7=0 和 4x+y-6=0 D. 2x+3y-7=0, x+4y-6=0

C )

8.过两直线 x– 3 y+1=0 和 3 x+y– 3 =0 的交点,并与原点的距离等于 1 的直线共有( B

)

A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 9.经过点 A(1, 0)和 B(0, 5)分别作两条平行线,使它们之间的距离等于 5,则满足条件的直线共有( B A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 10. 已知点 A(1,3)、B(5,2),点 P 在 x 轴上,使|AP|–|BP|取得最大值时 P 的坐标( B ) A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)

)

11.两直线位置关系的判定
已知直线 l1 : (m+3)x+4y=5-3m l2:2x+(m+5)y=8

问:m 为何值时 1)l1‖l2

2)l1 与 l2 重合

3)l1 与 l2 垂直

12.两直线的交点问题 求经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x-5y+6=0 的直线 l 的 方程. (5x+3y-1=0)

13.距离问题 已知点 P(2,-1).(1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (x=2 或 3x-4y-10=0.| 2x-y-5=0 根号五)


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