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生活中的变量关系

变量间的依赖关系
生活中处处有变量,变量之间充满了依赖关系 实例分析
我国的道路交通 网,近十年的发 展非常迅速.

实例分析
1、我国自1998年开始建设高速公路,全国高速公路 通车总里程,于1998年底,位居世界第八;1999年底, 位居世界第四;2000年底,位居世界第三;2001年底, 超过了加拿大,跃居世界第二位.如下表格:
1998~2001 年全国高速公路总里程 年份 总里程 年份 总里程 1988 147 1995 2141 1989 271 1996 3422 1990 522 1997 4771 1991 574 1998 8733 1992 652 1999 11605 1993 1145 2000 16314 单位:千米 1994 1603 2001 19453

实例分析
(1)高速公路里程数随时间的变化而变化.所以, 高速公路里程可以看成因变量,年度可以看成 自变量,从而高速公路里程数是年度的函数. (2)从1988年到2001年,里程数是不断增加的, 其中从1999年到2000年增长得最快.

实例分析
2、一辆汽车在高速公路上行驶的过程中,每个 时刻都有唯一行驶路程与它对应,行驶路程(因 变量)随时间(自变量)的变化而变化,行驶路程 是时间的函数,同样,汽车的速度、耗油量也 是时间的函数.

问题研讨
以上问题在介绍高速公路的情况下,得到变量与变 量之间的一些依赖关系,你能联想到类似情景下, 如邮局、机场等变量之间的依赖关系吗?

注 意
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.

问题 如何判断两个有依赖关系的变量之间
是否是函数关系? 首先,确定因变量和自变量; 其次,判断对于自变量的每一个确定的值, 因变量是否有唯一确定值与之对应,若满 足则是函数关系,否则不是.

例1 当你去电影院时,你联想到哪些变量之间的关系 呢? 解 (1)每张电影票都有唯一的座位与它对应,座位随 电影票的变化而变化,座位是电影票的函数. (2)电影广告的宣传费用与它获得的利润对应,利 润是宣传费用的函数. (3)电影的票价与它获得的利润对应,利润是电影 票价的函数. 例2 请举出现实生活中变量之间关系的实例. 解 (1)物体的热量与温度有关;(2)声音与乐器有关 系;(3)亮度与视觉有关系;(4)数轴上的点与实数之间 有关系;(5)气候与日期有关系;(6)人的脑重与体重有 关系.

实例分析
3、下图是某高速公路加油站的图片,加油站常 用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、截 面半径r是常量;油面高度h、油面宽度w、储油 量v是变量.
储油量v与油面高度h存在 着依赖关系,储油量v与油 面宽度w也存在关依赖关系
那个是函数关系?

实例分析
对于油面高度h的每一个取值,都有唯一
的储油量v和它对应,所以,储油量v是油面

高度h的函数.
对于油面宽度w的一个值可以有两种油面 高度和它对应,于是可以有两种储油量v和它 对应,所以,储油量v不是油面宽度w的函数.

问题研讨 进一步分析上述储油罐的问题,讨论: (1)还有哪些常量?哪些变量? (2)哪些变量之间存在依赖关系? (3)哪些依赖关系是函数关系?哪些依赖 关系不是函数关系?

例3 给出下列情境与关系
(1)某护士从上午8:00到下午2:00每小时量一次病人的体温,结果如下表: 时间 体温 8:00 37.2 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 37.3 37.4 37.6 38.0 38.1 14:00 38.4

(2)班上45位同学,每人都有一个不同的学号,某次数学测验共有36个不同的 判断一些变量间的依赖 分数.关系为:学生的分数与学号的关系 ;

关系是否为函数关系, (3)某电视台广告价格表(2001年1月份报价 ,单位:元)
其关键是看对于每一个 30s 40s 45s 50s 60s 时段 变量的值,是否惟一确 19:30~22:00 600 650 700 800 900 950 1000 1100 定因变量的值.若是惟一 22:00~23:00 500 550 600 700 800 850 900 1000 的,则是函数关系,否 23:00~结束 400 450 500 600 700 750 800 900 则,不是函数关系. 关系:广告价格播出时间长短的关系.
播出时间

10s 15s

20s

(1)(2) 属于函数关系的有____________.

练习
1、某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机, 然后以2100元的价格售出,随着售出台数的变化,商 店获得的收入是怎样变化的?其收入和售出 的台数 间存在函数关系吗? 设售出台数为x台,收入为y元,则y=(2100-2000)x 收入和台数间存在函数关系 2、坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在怎 样的依赖关系? 对于任一时间,电梯都有唯一高度.它们之间存在函 数关系

练习
3、在一定量的水中加入蔗糖,糖水的质量浓度与所加 蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系?如果是函数关 系,指出自变量和因变量. 存在函数关系,其中蔗糖质量是自变量,糖水质量 浓度是因变量; 也可以糖水质量深度是自变量,蔗糖的质量是因变量 4、日期与星期之间存在差怎样的依赖关系?这种依赖 关系是函数关系吗?如果是,指出自变量和因变量. 每一个日期都有一个星期几和它对应,所以它们存 在函数关系;日期是自变量,星期是因变量
星期不能作自变量,对于每一个星 期,有很多个日期,不具有单值性

星期可否作 为自变量?

练习
5、下列过程中,变量之间是否存在依赖关系,其中哪 些是函数关系: (1)地球绕太阳公转的过程中,二者的距离与时间的 关系 (2)在空中作斜抛运动的铅球,铅球距地面的高度与 时间的关系; (3)某水文观测点记录的水位与时间的关系; (4)某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系 .

练习
6、在物理化学等学科中找出有函数关系的变 量的例子,并指出其中的自变量和因变量. 7、请找出至少3个生活中存在的函数关系的 实例,并与同伴交流.

例1 口香糖的生产已有很长的历史,咀嚼口香糖 有很多益处,但其残留物也会带来污染.为了研 究口香糖的黏附力与温度的关系,一位同学通过 试验,测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷 砖地面的黏附力,得到了如下表所示的一组数据:
次序

项目
温度
( 0C )

1

2

3

4

5

6

7

8

15 25 30 35 37 40 45 50
3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4

黏附 2.0 力(N )

问题:(1)请根据上述数据,绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像; (2)根据上述数据以及得到的图像,你能得到怎样的实验结论呢? (3)如果口香糖不小心粘在衣服上,用什么办法清理最干净?

探究:在图像上描出题中表格中数据对应的点,
之后用直线将两相邻点连结得到近似图像,然 后根据图像合理推出结论. (1)口香糖黏附力F随温度变化的图像如图所示:
F(N) 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0

?? ? ? ? ? ?
20

(2)实验结论: (a)随着温度的升高,口香 糖的黏附力先增大后减小; (b)当温度在 37 0C 时, 口香糖的黏附力最大.

?
50

(3)将衣服在冰箱中冷冻, 然后取出用东西刮一下 就干净了.
t( 0C )

O

10

30

40

小结

量与量之 间的关系

每一个自变量有惟 一确定因变量的值 依赖关系 函数关系


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