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周练7答案


数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? x x2 ? x ? 2 ? 0 , N ? x y ? x ? 1 ,则 M ? N ? ( A ) A. ?x x ? ?1? B. ?x 1 ? x ? 2? C. ?x ? 1 ? x ? 2? D. ?x x ? 0?

?

?

?

?

2.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2i ,则 z 的虚部是( A ) A.1 B. i C. ?1 D. ?i

3.已知实数 x, y 满足 a x ? a y ? a ? 1? ,则下列关系式恒成立的是( D ) A.
1 1 ? x ?1 y ?1

B.sin x ? sin y

C.lg x2 ? 1 ? lg y2 ? 1

?

?

?

?

D.3 x ? 3 y

4.世界数学名题“ 3 x ? 1 问题”:任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以 2,如 果它是奇数,我们就把它乘 3 再加上 1.在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数. 如果反复使用这个变换,我们就会得到一串自然数,猜想就是:反复进行上述运算后,最后 结果为 1.现根据此问题设计一个程序框图如图所示 .执行该程序框图,输入的
N ? 5 ,则输出 i ? (

C) C.6 D.7

A.3

B.5

5.已知 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S3、S9、S6 成等差数列,若 a8 ? 3 ,则
a2 ? a5 为( B

) B.6 C. 8 D.9

A.3

?x ? y ? 1 ? 0 ? 6.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? 2 y 的最大值为 1,则实数 a 的 ?x ? a ?

值是(B A. 2 ? 1

) B.1 C.
2+1

D.3

7.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到. 图二是第 1 代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第 2 代“勾股树”,以此类推,已 知最大的正方形面积为 1,则第 n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为( D )

A. n 8.设双曲线 C :

B. n2

C. n ? 1

D. n ? 1

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的右焦点为 F ? c,0 ? ,点 M 、N 在双曲线 C 上,O 是坐 a 2 b2

标原点,若四边行为平行四边形,且四边形 OFMN 的面积为 bc ,则双曲线 C 的离心率是 ( C ) A. 3 B.2 C. 2 2 D. 2 3

9.将余弦函数 f ? x ? ? cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) ,再 将所得到的图象向右平移

? 个单位长度,得到函数 g ? x ? 的图象.若关于 x 的方程 2

f ? x ? ? g ? x ? ? m 在 ? 0, ? ? 内有两个不同的解,则实数 m 的取值范围为( A )

A. ?1, 2?

B. ?1, 2?

C. ? ?2,2?

D. ? ?1,2?

10.若实数 x,y 满足 x ? 0 , y ? 0 ,且 log 2 3x ? log ( C ) A. 4 2 B. 2 2 C.

2

1 1 3y ? log 4 81,则 ? 的最小值为 x y

3 ? 2 2

D. 3 ? 2 2

11.定义在实数集 R 上的函数 f ? x ? ,满足 f ? x ? ? f ? 4 ? x ? ? f ? x ? 4? ,当 x ? ?0, 2? 时,

f ? x ? ? 3x ? x ? 1 ,则函数 g ? x ? ? f ? x ? ? log2 ? x ? 1? 的零点个数为( B )
A.31 B.32 C. 63 D.64

???? ??? ? ???? 2 12. 在 ?ABC 中, AB ? 3 AC ? 9 , AC ? AB ? AC ,点 P 是 ?ABC 所在平面内一点,则当
??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 PA ? PB ? PC 取得最小值时, PA ? BC ? ( D )

A. ?24

B. 6 2

C.

9 2

D.24

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? ax ? cos x 在 R 上单调递增”的______________条件。 (请填 写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 充分不必要条件

14. 已知圆 : 2 + 2 + 8 + 15 = 0, 若直线 = ? 2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆有公共点,则实数的取值范围为_____________. 4 [? , 0 ] 3 15. 已知函数 f ? x ? ? 3xe ? a ,如果存在唯一的 x0 ? Z ,使得 f ? x0 ? ? ax0 成立,则实数
x

a 的取值范围是__________.

3 ? ? 2 9e3 ? ?2 , ? e2 2e ? ? ? 6e , 2 ? ? ? ? ?
16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 的方程为 x ? y ?
2 2

线,切点分别为 A 1P 1 B1 ? 1、B 1 ,且满足 ?A 线,切点分别为 A2 、 B2 ,满足 ?A2 P2 B2 ?

?
3

1 ,过点 P1 作 C1 的两条切 4

,记 P1 的轨迹为 C2 ,过点 P 2 作 C2 的两条切

?

3

,记 P 2 的轨迹为 C3 ,按上述规律一直进行下

去??,记 an ?| An An?1 |max ( n ? N * ) ,且 Sn 为数列 ?

?1? ? 的前 n 项和,则满足 ? an ?

| Sn ?

4 1 |? 的最小的 n 是. 10 3 500

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
? ? ? ? 17. 已知向量 a ? sin x, ? 3 , b ? ?1, cos x ? ,且函数 f ? x ? ? a ? b .

?

?

? ? (1)若 a ? b ,求 tan 2 x 的值;

(2)在 ?ABC 中, AC ? 2 且 f ? B ? ? 0 ,求 ?ABC 面积的最大值.

? ? 解: (1)由题意知, f ? x ? ? a ? b ? sin x ? 3 cos x ? 0 ,
2tan x ?? 3. 1 ? tan 2 x ? ? ?? ? (2)由题意知, f ? x ? ? a ? b ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? ? , 3? ? ?? ? ? ∴ f ? B ? ? 2sin ? B ? ? ? 0 ,又 0 ? B ? ? ,∴ B ? . 3? 3 ?
∴ tan x ? 3 ,∴ tan 2x ?

在 ?ABC 中, 4 ? a2 ? c2 ? 2ac ? ∴ S ?ABC ?

1 ? a2 ? c2 ? ac ? ac . 2

1 1 3 ac sin B ? ? 4 ? ? 3 ,当且仅当 a ? c ? 2 时“ ? ”成立, 2 2 2

故 ?ABC 的面积的最大值为 3 . 18.已知抛物线:2 = 2 ( > 0)的焦点为,点(?1,0)为直线 与抛物线准线的交点, 直线 与抛物线相交于、两点,点关于轴的对称点为. (1)求抛物线的方程; (2)证明:点在直线上. 解: (1)依题意知? = ?1,解得 = 2,
2



所以抛物线的方程2 = 4. (2)设直线 的方程为 = ? 1(≠ 0) , 由

= ? 1 消去 x 整理得2 ? 4 + 4 = 0, 2 = 4

设(1 , 1 ),(2 , 2 ),则(1 , ?1 ), 且1 + 2 = 4 ,1 2 = 4. 又直线的方程为 ? 2 = 即1 ? 2 =
4

1 +2 ( ? 2 ), 2 ?1

2 ?1

( ? 2 ),
4

2

在上述方程中,令 = 0,得 = 所以点(1,0)在直线上.

1 2
4

= 1.

19.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足: ( n ? N *) . a1 ? 1 , an ? 0 , an?12 ? 4Sn ? 4n ? 1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和. ? an an ?1 ?

2 ? ?an ?1 ? 4Sn ? 4n ? 1, 解: (1)当 n ? 2 时, ? 2 两式相减得 an?12 ? an 2 ? 4an ? 4 , ? ?an ? 4Sn ?1 ? 4(n ? 1) ? 1,

即 an?1 ? an ? 4an ? 4 ? (an ? 2) ,又 an ? 0 ,故 an?1 ? an ? 2 .
2 2 2

在 an?1 ? 4Sn ? 4n ? 1 中令 n ? 1 ,可得 a2 ? 4a1 ? 4 ? 1 ? 9 ,
2 2

又 an ? 0 ,∴ a2 ? 3 ,则 a2 ? a1 ? 2 , 综上知 n ? N * 时, an?1 ? an ? 2 , a1 ? 1 ,故 an ? 2n ? 1.

(2)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
x2 y 2 下顶点构成直角三角形, 以椭圆 C 的 ? ? 1? a ? b ? 0? 的一个焦点与上、 a 2 b2

则 Tn ?

20.已知椭圆 C :

长轴长为直径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设过椭圆右焦点且不平行于 x 轴的动直线与椭圆 C 相交于 A、 B 两点,探究在 x 轴上是
??? ? ??? ? 否存在定点 E ,使得 EA ? EB 为定值?若存在,试求出定值和点 E 的坐标;若不存在,请说

明理由.
?b ? c ?a ? 2 ? 0?0?2 ? ? 解: (1)由题意知, ?a ? ,解得 ?b ? 1 , 2 ? ?c ? 1 ? ?b 2 ? c 2 ? a 2 ?

则椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

(2)当直线的斜率存在时,设直线 y ? k ? x ? 1?? k ? 0? ,
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 2 ,得 1 ? 2k 2 x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0, ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 , ? y ? k ? x ? 1? ?

?

?

∴ xA ? xB ?

4k 2 2k 2 ? 2 . , xA xB ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??? ? ??? ? 假设 x 轴上存在定点 E ? x0 ,0 ? ,使得 EA ? EB 为定值,

??? ? ??? ? ∴ EA ? EB ? ? xA ? x0 , yA ? ? ? xB ? x0 , yB ? ? xA xB ? x0 ? xA ? xB ? ? x02 ? y A yB
? xA xB ? x0 ? xA ? xB ? ? x02 ? k 2 ? xA ? 1?? xB ? 1?

? ?1 ? k 2 ? xA xB ? ? x0 ? k 2 ? ? xA ? xB ? ? x02 ? k 2

? 2x ?

2

0

? 4 x0 ? 1? k 2 ? ? x0 2 ? 2 ? 1 ? 2k 2

.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 要使 EA ? EB 为定值,则 EA ? EB 的值与 k 无关,∴ 2x02 ? 4x0 ? 1 ? 2 x02 ? 2 ,

?

?

解得 x0 ?

??? ? ??? ? 5 7 ?5 ? ,此时 EA ? EB ? ? 为定值,定点为 ? , 0 ? . 4 16 ?4 ?

当直线的斜率不存在时,也满足条件. 21. 已知函数 f ? x ? ? ex ? ? x ? a ? ln ? x ? a ? ? x, a ? R . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的图象在 x ? 0 处的切线方程; (2)若函数 f ? x ? 在定义域上为单调增函数. ①求 a 最大整数值;
e ? 3? ? 4? ? n ?1? ②证明: ln 2 ? ? ln ? ? ? ln ? ? ? ? ? ln . ? ? n ? e ?1 ? 2? ? 3? ?
2 3 n

解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? ex ? ? x ? 1? ln ? x ? 1? ? x ,∴ f ? 0? ? 1 , 又 f ? ? x ? ? ex ? ln ? x ? 1? ,∴ f ? ? 0? ? 1 , 则所求切线方程为 y ? 1 ? x ,即 x ? y ? 1 ? 0 . (2)若函数 f ? x ? 在定义域上为单调增函数,则 f ? ? x ? ? 0 恒成立. ①先证明 e x ? x ? 1 .设 g ? x ? ? ex ? x ? 1, 则 g ? ?x ? ? e 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, ∴ g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,即 e x ? x ? 1 . 同理可证 ln x ? x ? 1 ,∴ ln ? x ? 2 ? ? x ? 1 ,∴ ex ? x ? 1 ? ln ? x ? 2? . 当 a ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 恒成立. 当 a ? 3 时, f ? ? 0? ? 1 ? ln a ? 0 ,即 f ? ? x ? ? ex ? ln ? x ? a ? ? 0 不恒成立. 综上所述, a 的最大整数值为 2. ②由①知, e x ? ln ? x ? 2? ,令 x ?
? t ?1 t

x

, 则函数 g ? x ? 在 ? ??,0 ? 上单调递减, ?1

?t ? 1 , t
t

∴e

? ?t ? 1 ? ? t ?1? ? t ?1? ? t ?1 ? ln ? ? 2 ? ? ln ? ? ,∴ e ? ? ln ? . t ? ? t ? ? t ? ?
2

? 3? 由此可知,当 t ? 1 时, e0 ? ln 2 .当 t ? 2 时, e?1 ? ? ln ? , ? 2?

? 4? ? n ?1? 当 t ? 3 时, e?2 ? ? ln ? , ?? ,当 t ? n 时, e? n ?1 ? ? ln ? . 3 n ? ? ? ? ? 3? ? 4? ? n ?1? 累加得 e0 ? e?1 ? e?2 ? ? ? e? n ?1 ? ln 2 ? ? ln ? ? ? ln ? ? ? ? ? ln ? . n ? ? 2? ? 3? ?
?1? 1? ? ? ?n? ? 1 ? e , ? 1 1 e ?1 1? 1? e e
n
n

3

n

2

3

n

又 e0 ? e?1 ? e?2 ? ? ? e? n ?1

e ? 3? ? 4? ? n ?1? ∴ ln 2 ? ? ln ? ? ? ln ? ? ? ? ? ln . ? ? 2 3 n e ?1 ? ? ? ? ? ?

2

3

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的方程为 x ? 3 y ? 0 ,以 O 为极点,以 x 轴非负半轴 为极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 ? sin(? ?
2

?
3

) ?1 ? 0 .

(1)求圆 C2 的直角坐标系下的标准方程; (2)若直线 C1 与圆 C2 交于 P , Q 两点,求 | OP | ? | OQ | 的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? | 2x ?1| ? | x ?1| ? x . (1)求 f ( x ) 的定义域; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ,若关于 x 的不等式 g ( x) ? a 的解集不是空集,求实数 a 的取值
2

范围. 22.解: (1) ? ? 4 ? sin(? ?
2

?
3

) ? 1 ? 0 ,即 ? 2 ? 2? sin ? ? 2 3? cos? ? 1 ? 0 ,

即 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 3 , 则曲线 C2 在直角坐标系下的标准方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 3 . (2)直线 C1 的方程可化为 ? cos? ? 3? sin ? ? 0 ,则其极坐标方程 ? ? 设 P( ?1 ,?1 ) , Q( ?2 ,?2 ) ,将 ? ?
2

?
6

(? ?R ) .

?
6

( ? ? R )代入 ? 2 ? 2 3? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0 ,

得 ? ? 4? ? 1 ? 0 ,故 ?1?2 ? 1 ,所以 | OP | ? | OQ |? ?1?2 ? 1 .

23.解: (1)由题知 | 2 x ? 1| ? | x ? 1|? x , 当 x ? ?1 时,得 1 ? 2 x ? x ? 1 ? x ,即得 x ? ?1 ; 当 ?1 ? x ? 当x?

1 时,得 1 ? 2 x ? x ? 1 ? x ,即 ?1 ? x ? 0 ; 2

1 时,得 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? x ,得 ?2 ? 0 ,无解. 2

综上, x ? 0 ,所以 f ( x ) 的定义域为 ?x | x ? 0? . (2) g ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 1| ( x ? 0 ) , g ( x) ? ?

, x ?, 1? ?? x ? 2 ??3x, ?1 ? x ? 0,

则函数 g ( x) 在 ( ??, 0] 上单调递减,故 g ( x)min ? 0 ,由条件知 g ( x)min ? a ,即 a ? 0 .


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