当前位置:首页 >> 高一数学 >>

函数的单调性


1.单调函数的定义

2.单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单 调区间. 注意: 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中 x1,x2 具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么
1



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0? f(x)在[a,b]上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0? f(x)在[a,b]上是减函数. x1 ? x2

②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0? f(x)在[a,b]上是增函数; (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0? f(x)在[a,b]上是减函数. 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结, 也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取 x1、x2∈D,且 x1<x2; ②作差 f(x1)-f(x2),并适当变形 (“分解因式”、配方成同号项的和等); ③依据差式的符号确定其增减性. (2) 导数法: 设函数 y=f(x)在某区间 D 内可导.如果 f ′(x)>0,则 f(x)在区间 D 内为增函数;如果 f ′(x)<0,则 f(x)在区间 D 内为减函数. 注意:(补充)
2

(1)若使得 f ′(x)=0 的 x 的值只有有限个, 则如果 f ′(x) ? 0 ,则 f(x)在区间 D 内为增函数; 如果 f ′(x) ? 0 ,则 f(x)在区间 D 内为减函数. (2)单调性的判断方法: 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 (补充)单调性的有关结论 1.若 f(x),g(x)均为增(减)函数, 则 f(x)+g(x)仍为增(减)函数. 2.若 f(x)为增(减)函数, 则-f(x)为减(增)函数,如果同时有 f(x)>0, 则

1 为减(增)函数, f ? x?

f ? x ? 为增(减)函数.

3.互为反函数的两个函数有相同的单调性. 4.y=f[g(x)]是定义在 M 上的函数, 若 f(x)与 g(x)的单调性相同, 则其复合函数 f[g(x)]为增函数; 若 f(x)、g(x)的单调性相反, 则其复合函数 f[g(x)]为减函数. 简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.
3

二、例题分析: (一) 函数单调性的判断与证明 判断下列说法是否正确 (1)函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.( ) 1 (2)函数 f(x)=x在其定义域上是减函数.( ) (3)已知 f(x)= x,g(x)=-2x,则 y=f(x)-g(x)在定义域 上是增函数.( ) 答案: √ × √ 例 1. (2014· 北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的 是( ) A.y= x+1 B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)

答案:A. 例 2. ax 判断函数 f(x)= 在(-1,+∞)上的单调性,并证明. x+1

4

法一:定义法 设-1<x1<x2, ax1 ax2 - x1+1 x2+1 ax1?x2+1?-ax2?x1+1? = ?x1+1? ? x2+1? a?x1-x2? = ?x1+1? ? x2+1? ∵-1<x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0. ∴当 a>0 时,f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴函数 y=f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 同理当 a<0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2), ∴函数 y=f(x)在(-1,+∞)上单调递减. 则 f(x1)-f(x2)= 法二:导数法 1.判断函数的单调性应先求定义域; 2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为: 取值—作差—变形—判号—定论, 其中变形为关键, 而变形的方法有因式分解、 配方法等; 3.用导数判断函数的单调性简单快捷,应引起足够的重视
5

(二)求复合函数、分段函数的单调性区间 例1 求函数 y=x-|1-x|的单调增区间

?1,x≥1, y=x-|1-x|=? ?2x-1,x<1. 作出该函数的图象如图所示.

由图象可知,该函数的单调增区间是(-∞,1]. 例 2. 求函数 y=log1 (x2-4x+3)的单调区间. 3

解析:令 u=x2-4x+3, 原函数可以看作 y=log1 u 与 u=x2-4x+3 的复合函数. 3
6

令 u=x2-4x+3>0.则 x<1 或 x>3. ∴函数 y=log1 (x2-4x+3)的定义域为 3 (-∞,1)∪(3,+∞). 又 u=x2-4x+3 的图象的对称轴为 x=2,且开口向上, ∴u=x2-4x+3 在(-∞,1)上是减函数, 在(3,+∞)上是增函数. 而函数 y=log1 u 在(0,+∞)上是减函数, 3 ∴y=log1 (x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞), 3 单调递增区间为(-∞,1).

注意: 求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性, 即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的 图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间.

? 例 2.(2)(补充) y ? ? log 1 ? 2

? x ? ? 4log 1 x ? 2
7

2

答案:增区间: ?

?1 ? ? 1? , ?? ? ;减区间: ? 0, ? ?4 ? ? 4?
2

练习: y ? ? log 2 x ? ? log 2 x 答案:增区间:

?

2, ?? ;减区间: 0, 2

?

?

?

(三)利用单调性解(证)不等式及比较大小 1 已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞), 1-x 则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

【规范解答】 ∵函数 f(x)=log2x+

1 在(1,+∞)上为 1-x

增函数,且 f(2)=0, ∴当 x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0.
8

2 ?x -4x+3,x≤0, 例 1.(2)已知函数 f(x)=? 则不等 2 ?-x -2x+3,x>0, 式 f(a2-4)>f(3a)的解集为( ) A.(2,6) B.(-1,4) C.(1,4) D.(-3,5)

【规范解答】作出函数 f(x)的图象, 如图所示,则函数 f(x)在 R 上是 单调递减的.由 f(a2-4)>f(3a), 可得 a2-4<3a,整理得 a2-3a-4<0, 即(a+1)(a-4)<0,解得-1<a<4, 所以不等式的解集为(-1,4). 注意:本例分段函数的单调区间可以并! (四)已知单调性求参数的值或取值范围

?? a ? 2 ? x, x ? 2 ? 例 1.已知函数 f ? x ? ? ?? 1 ? x 满足对任意的实 ?? ? ? 1, x ? 2 ?? 2 ?
9

数 x1≠x2,都有 范围为( )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则实数 a 的取值 x1 ? x2
?13 ? C.(-∞,2] D.? 8 ,2? ? ?

13? ? A.(-∞,2) B.?-∞, 8 ? ? ?

【规范解答】函数 f(x)是 R 上的减函数, a-2<0, ? ? 13 于是有? 由此解得 a≤ , ?1?2 8 ?2? -1, ? ??a-2? ×2≤ ? ? 13? ? 即实数 a 的取值范围是?-∞, 8 ?. ? ? 例 2.(1) (补充)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间 (-∞,4)上单调递增,则实数 a 的取值范围是________.

[答案]

1 [- ,0] 4
10

[解析] (1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上单调 递增,故在(-∞,4)上单调递增; 1 (2)当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为直线 x=-a, 1 因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以 a<0,且-a≥4,解 1 1 得- ≤a<0.综上所述- ≤a≤0. 4 4 例 2.(2)(补充) 若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2), 则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.[-2,2] C.{2} D.[2,+∞)

[答案]

C

[解析] f ′(x)=3x2-6a, 若 a≤0,则 f ′(x)≥0,∴f(x)单调增,排除 A; 若 a>0,则由 f ′(x)=0 得 x=± 2a,当 x<- 2a和 x> 2a 时, f ′(x)>0, f(x)单调增, 当- 2a<x< 2a时, f(x)单调减, ∴f(x)的单调减区间为(- 2a, 2a),从而 2a=2,
11

∴a=2. 变式:若 f(x)=x3-6ax 在区间(-2,2)单调递减, 则 a 的取值范围是?

[点评] f(x)的单调递减区间是(-2,2) 和 f(x)在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分. 本例亦可用 x=± 2 是方程 f ′(x)=3x2-6a=0 的两根 解得 a=2. 例 2.(3) (补充) 3 若函数 f ( x) ? log1 ( x ? ax)在(?3,?2) 上单调递减,
2

则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[9,12] B.[4,12] C.[4,27]

D.[9,27]

答案:A 温故知新 P23 第 9 题
12

若函数 f ? x ? ? log 1 x ? ax ? 3a 在区间
2

?

?

?2, ??? 上单调递减,则实数 a 的取值范围是
8、设函数 f ? x ? ? 那么 a 的取值范围是 答案: 1, ?? ?

2

ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上是增函数, x ? 2a

?

x ? x ? a? x ?a (2)若 a ? 0 且 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 内单调递减, 求 a 的取值范围.
10、设函数 f ? x ? ? 答案: 1, ?? ? (五)抽象函数的单调性 例 1.(补充)已知 f(x)为 R 上的减函数,那么满足 f(|

?

1 |)<f(1)的实数 x 的取值范围是( ) x
B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1)

13

答案:C 解析: 因为 f(x)为减函数, f(|

1 1 |)<f(1), 所以| |>1, 则|x|<1 x x

且 x≠0,即 x∈(-1,0)∪(0,1).

练习: y ? f ( x) 是定义在 ?1,1 上的增函数, 解不等式 f (1 ? x) ? f (1 ? x )
2

?

?

答案: ? 0,1? 注意: 解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解 例 2.函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,且对一切

x ? 0, y ? 0

14

都有 f ( ) ? f ( x ) ? f ? y ? ,当 x ? 1 时,有 f ( x) ? 0 。 (1) 求 f (1) 的值; (2) 判断 f ( x) 的单调性并加以证明; (3) 若 f (4) ? 2 ,求 f ( x) 在 1,16 上的值域. 答案:单调增; 0,4

x y

?

?

? ?

注意:有关抽象函数单调性的证明通常立足定义

练习: 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,且对一切 x, y ? R 都有 f ( x) ? f ? y ? ? f ( x ? y) ,当 x ? 0 时,有

2 f ( x) ? 0, f ?1? ? ? . 3 (1)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (2)求 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的最大值与最小值.

答案: 2; ?2
15


赞助商链接
相关文章:
函数的单调性_知识点与题型归纳
函数的单调性_知识点与题型归纳_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.单调函数的定义 2.单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,...
函数单调性讲解及常见类型(整理)
函数单调性讲解及常见类型(整理)_数学_高中教育_教育专区。高中总结 函数的单调性题型一 判断、讨论、证明函数的单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的...
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单 调性的方法有如下几种: 1.1 定义法...
函数的单调性 知识点与题型归纳
函数的单调性 知识点与题型归纳 - ●高考明方向 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情...
函数单调性的判定方法(高中数学)
小初高 1 对 1 课外辅导专家 函数单调性的判定方法学生: 日期; 课时: 教师: 1.判断具体函数单调性的方法 1.1 定义法 一般地,设 f 为定义在 D 上的函数...
《函数的单调性》教学设计(优秀)
函数的单调性》教学设计 安徽省亳州市第一中学 一、教学内容解析 1.教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》 (必修 1)第二章第 3 节函数单调性的第一...
函数的单调性与求函数的最值
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 定义 自变量的值 x1...
函数单调性的判断、证明和单调区间的求法
f ( x) 的单调 第06 讲:函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法 【考纲要求】 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。 【基础知识】 区间具有...
函数的单调性
函数的单调性_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性 要点一、函数的单调性 1.增函数、减函数的概念 一般地,设函数 f(x)的定义域为 A,区间 如果对于 内的任...
函数的单调性与最值(含解析)
函数的单调性与最值(含解析)_数学_高中教育_教育专区。第三节 函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 设...
更多相关标签: