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由数学竞赛题引发对中学三角函数的思考与见解


由数学竞赛题引发对中学三角函数的思考与见解
章君
(福建师范大学 数学系 福建 福州 350108)

【摘要】 :本文主要解答了 2011 年全国大学生数学竞赛赛区赛(福建赛区)中的一道分
析类的三角函数求最值问题, 并由此联想到中学数学中的一些常见的重要三角函数问题, 并 加以推广,提出一些针对三角函数问题的一些重要思维方法;

【关键词】 :中学数学、三角函数、最值、竞赛;

本文要讨论的 2011 年全国大学生数学竞赛中的三角函数求最值问题为: 在?ABC中,求4 sin A+3sin B+18sin C的最大值?

【思考】 :本题是一道比较难的三角函数问题,题目看起来很简洁,但若用中学数学知识去 求解,过程可能会相当复杂,并且解起来,若计算能力不过关,可能得不出正确的结果;接 下来,我将提出我个人的一种较为简洁直观的解法。

解: 令 f (A,B,C)=4 sin A+3sin B+18sin C --------- 并将其作为目标函数; 因为 A,B,C 为三角形的内角,所以必有 A ? B ? C ? ? --------- 将其作为约束条件 以下构造一个新的函数 F ( A, B, C, ? ) ? 4 sin A+3sin B+18sin C ? ? ( A ? B ? C ? ? )

则 有 :

?F ? 4 cos A ? ? , ?A

?F ?B

? 3 cos B ? ?

,

?F ?C

? 18 cos C ? ? ,

?F ??

? A? B ? C ?? ;

不妨令

? F ? F ? F ?F ? ? ?0; ? ? A ? B ? C ??

解得: cos A ? ?

?
4



cos ?? B

?
3



cos ?? C

?
18



1 A ? B ? C ? --------○; ?

1 s ? A, B, C为?ABC内角, ? ? ?c o B ? 1 从而解得: ?3 ? ? ? 3 ; ,

进一步思考: ? A, B, C为?ABC内角 ,

?c o s , c o s , c o不可能同时为负数; A B C s



? ?0



??3 ? ? ? 0

2 ----------- ○;

1 又由○知: C ? ? ? ( A ? B)

? cos C ? ? cos( A ? B)

从而: cos( A ? B ) ?

?
18

又 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B

3 -----------○

显然 sin A ? 0 , sin B ? 0 , ? A , B 为三角形内角) (
3 ? 由○式可得: ?

2

12

? 1?

?2
16

1?

?2
9

?

?
18

4 -----------○

4 化简○式得: 12? ? 229? ? 1296 ? 0

3

2

5 -----------○

5 以下讨论方程○根的问题:

不妨设 g (? ) ? 12?3 ? 229? 2 ?1296

? g ?(? ) ? 36? 2 ? 458? , 令 g ?(? ) ? 0 ,? ?1 ? 0, ?2 ?

229 ; 18

2 又由○知:

?3 ? ? ? 0


?易知: g (? ) 在(-3,0)上单调递增
又?

g (0) ? 1296 ? 0 , g (?3) ? ?1089 ? 0 ? g (? ) 在(-3,0)上有且仅有一个实根
9 4

由一元三次方程的一般解法(盛金求根公式法)解得: ? ? ?

又? 目标函数 f (A,B,C)=4 sin A+3sin B+18sin C

= 16 ? ? 2 ? 9 ? ? 2 ? 324 ? ? 2

6 ---------○

将? ? ?

9 35 6 7 代入○式得: f (A,B,C) = 4 4

考虑到实际情况,

35 7 就为所求的最大值; 4

在解决上述的竞赛题时, 很多人尝试用中学数学中的一些和差化积以及其他的一些方法 解决上述问题,但最终发现过程相当复杂,并且计算量很大,很难算出正确的结果,但利用 上述方法(Lagrange 乘数法)就可以轻易解决问题;虽然说 Lagrange 乘数法很好用,但其 毕竟是大学里才学到的知识, 不能让初高中生看懂, 因此掌握熟练的中学三角函数知识尤为 重要,对此,我想就自己的思维方法对中学三角函数知识进行一个推广,提出一些较为简便 巧妙的思维方法来解决一般的三角函数问题。 在提出一些思维方法之前,简单提出和差化积和积化和差的公式以及万能公式; 1.和差化积公式: sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

cos

? ??
2

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 1 2.积化和差公式: sin ? sin ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2
3、万能公式: sin ?

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

? ??

sin

? ??

?

2 tan 1 ? tan
2 tan

?

2
2

?
2

1 ? tan 2 ? 2 cos? ? 2? 1 ? tan 2

?
2

tan ? ?
一、证明类型

1 ? tan 2

?
2

例 1,:已知 ? , ? 为锐角,且 3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1 , 3sin 2? ? 2sin 2? ? 0 , 求证: ? +2 ? =

? ; 2

证: ? 3 s i n?2?

2 s? n 2 i ?

n 0 3 s i? ?

cos ??

2 ? i n ?c o s // 二倍角公式 s
三角函数一般展开式

( 2 ) o ?s ? c o s? ? ? ? c ? s c o ? 2 ? s i n ?s i n 2 //

= cos ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? sin ? 2sin ? cos ? = cos? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 3sin 2 ? cos? = cos? (cos2 ?

? sin 2 ? ? 3sin 2 ? )

= cos? (1 ? 2sin 2 ? ? 3sin 2 ? ) 又? 3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1

? cos(? ? 2? ) ? 0
例 2、求证: cos 证明:? cos

即: ? +2 ? =

? 2



证毕

?
8

?

1 2? 2 ; 2

2 ? ? 1 ? cos 2?

2

// 二倍角公式

? ? 替换 得: 2 ? 1? cos 4 2 ? 2 用 ? cos ? ? 8 8 2 4
? cos
?
8 ? 1 2? 2 ; 2
证毕;

二、计算类型 例1、 求

2sin130? ? sin100? (1 ? 3 tan370? ) 的值? 1 ? cos10?

2sin130? ? sin100? (1 ? 3 tan10? ) 解:原式= 1 ? cos10?
2cos 40? ? cos10? (1 ? 3
=

sin10? ) cos10?

1 ? cos10?

2cos 40? ? 2( cos10? ?
=

1 2

3 sin10? ) 2

1 ? cos10?

=

2cos40? ? 2sin 40? 1? cos10?

=

4(1 ? sin 80? ) =2 1 ? cos10?

例2、 求 cos20? cos40? cos60? cos80? 的值? 解:分子分母同时乘以 2 sin 20 得:
?

2sin 20? cos 20? cos 40? cos 60? cos80? 原式= 2sin 20?
=

2sin 40? cos 40? cos 60? cos80? 4sin 20? 2sin 80? cos 60? cos80? 8sin 20? sin160? cos 60? 1 = 16 8sin 20?

=

=

三、化简类型 例 1、若

3? 1 1 1 1 ? ? ? 2? ,化简 ? ? cos 2? ; 2 2 2 2 2

解:原式=

1 1 1 ? cos 2? ? 2 2 2
1 1 ? cos ? 2 2 1 ? cos ? ? = cos 2 2
? cos
又?

=

3? ? ? ? 2? ,? cos? > 0 2 3? ? ? ?? 4 2

?原式= ?原式=

?

?c o s

?
2

<0

?
2

;

例 2、化简 tan? tan2? ? tan2? tan3 ? ..... ? tan n tan(n ?1)? , 其中n ? N? . ? ? 解:? tan(2? ?? ) =

tan 2? ? tan ? = tan ? 1 ? tan ? tan 2? tan 2? ? tan ? -1 ? tan ? tan 2? = tan ?

同理可知: tan 2? tan3? =

tan 3? ? tan 2? ?1 tan ? tan(n ? 1)? ? tan n? ? 1. tan n? tan(n ?1)? = tan ?

.......

左右相加得: tan? tan 2? ? tan 2? tan3 ? ..... ? tan n? tan(n ?1)? ?

=

1 [(tan 2? ? tan ? ) ? (tan 3? ? tan 2? ) ? ... ? (tan(n ? 1)? ? tan n? )] ? n tan ?

=

1 [tan(n ? 1)? ? tan ? ] ? n = cot ? [tan(n ?1)? ? tan? ] ? n tan ?

= cot ? tan(n ?1)? ?1? n 例3、 化简 sin 5?

? sin 3? ?

化简 2cos3? cos ? ?

以上两题均可利用和差化积和积化和差的方法进行化简,在此不做一一说明;

四、与一般函数复合类型(求取值范围、求最值、求周期) 例1、 求 y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x的周期,最小值,以及y取最小值时的x的集合。 解: y ? sin2 x ? 2 sin x cos x ? 3cos2 x =1 ? 2 sin x cos x ? 2 cos = 2 ? sin 2 x ? cos 2 x = 2 ? 2 sin(2x ? 易知当 sin(2x ? 此时 2 x ?
2

x

?

?
4

4

)

?T =

2? =? 2

) = ?1 时, 3? 2

ymin ? 2 ? 2

?
4

? 2 k? ?

? x ? k? ?
?

5? 8

从而 x 的集合为 ? x x ? k? ?

? ?

5? ? ,k ?Z? 8 ?

例 2、已知 sin ? cos ?

1 ,求 cos ? sin ? 的取值范围? 2

解:? ?1 ? sin(? ? ? ) ? 1

? ? o ? n ? ?1 ? s i n c o s ? c? s s i?
又? sin ? cos ?

1
2
1 --------○

?

1 2

3 1 ? ? ? cos ? sin ? ? 2

同理由 ?1 ? sin(? ? ? ) ? 1 可知: ?

1 3 ? cos ? sin ? ? 2 2 1 1 1 2 ?由○○可知: ? ? cos ? sin ? ? 2 2

2 -------○

例2、 若 sin ? A、 (0,

? cos? ? tan ? (0 ? ? ? ) ,
B、 (

? 2

则 ? ? ___C____ D、 (

?) 6 解: ? tan ? ?

? ,? ) ? ? C、 ( , ) 6 4 4 3 ? ) 0 ?? ? ? 2 sin(? ? 4 2
从而有

? ,? ) 3 2

? ?? ? ? ? ? ? 34 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4

?1 ? tan? ? 2 ? 3

?? ? ? ? ?
4

3

以上的这些问题都是中学数学中常见的一些三角函数问题, 题目看似简单, 但如果方法 不对,都不是很容易就能得出相应的正确的结果,因此,我认为熟练的掌握中学里的和差化 积、积化和差、万能公式以及倍角公式等的应用在解决一些三角函数问题是十分重要的;同 时,我们知道,在三角函数问题中,无外乎都是一些求值、化简、求范围等等之类的问题, 这就要求广大读者在做题的过程中, 不但要清晰的了解三角函数的知识体系, 还要做到细心, 这样才不会出错。个人认为,读者如果想要学好三角函数这一章节的数学知识,还需要从多 角度做不同的类型题目,以便更好的掌握三角函数知识。


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