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2015高考数学优化指导第6章 第4节


数学(文用)

第六章 数 列

第四节

数列求和

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第六章 数 列

考纲

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方 法.

要求

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一 、 公 式 法 求 和 1. 等 差 数 列 前

n?a1+an? n?n-1? a1n+ 2 d , 2 n项 和 Sn=__________ =______________

倒序相加法 推导方法;________________ ;
na1 , q=1, ?____ ? a1-anq 等比数列前 n 项和 Sn=?a1?1-qn? = ,q≠1. ? 1 - q 1 - q ?
推导方法:乘公比,错位相减法.

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第六章 数 列

2.常见数列的前 n 项和公式 n?n+1? ( 1 ) 1 +2+3+4+?+n= _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2
2 n ( 2 ) 1 +3+5+7+?+2n-1=_ _ _ _ . 2 ( 3 ) 2 +4+6+8+?+2n=_ _ _ _ _ _ _ _n n +

.

( 4 ) 1 ( 5 ) 1

2

n?n+1??2n+1? +2 +?+n = 6
2 2

3

+2 +?+n

3

3

?n?n+1?? ?2 =? ? 2 ? ? ?

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第六章 数 列

二、裂项相消法 把数列的通项分解为两项之差,在求和时产生前后相互 抵消的项的求和方法. 三、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列

的对应项之积构成的,那么这个数列的前 n项和即可用此法
来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的. 四、分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列来求和的方 法.
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第六章 数 列

五、倒序相加法

如果一个数列中距首末两项等“距离”的两项的和相等
或等于同一常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相 加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的. 六、并项求和法 一个数列的前 n项和中,如果可两两结合求解,则称之 为并项求和.形如an=(-1)nf(n)的类型,求和时可采用两项 合并求解. 例如, Sn = 1002 - 992 + 982 - 972 +?+ 22 - 12 = (100 +

99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050.

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第六章 数 列

判 断 下 面 结 论 是 否 正 确

(请 在 括 号 中 打

“√”或“ × ” ) n项 和 时 使

1. 如 果 已 知 等 差 数 列 的 通 项 公 式 , 则 在 求 其 前 n?a1+an? 用 公 式 Sn= 较 为 合 理 . ( 2 )

2.如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n a1-an+1 项和 Sn= .( 1-q ) )

1 ? 1 1? ? 1 3.当 n≥2 时, 2 =2?n-1-n+1? ?.( n -1 ? ?
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4.求 Sn=a+2a2+3a3+?+nan 时 , 只 需 在 等 号 两 边 同 时 乘 以 a然 后 根 据 错 位 相 减 法 求 得 . ( ) 1 anan+1

5. 如 果 数 列 {an}是 公 差 d≠0 的 等 差 数 列 , 则 1 ? 1? ?1 =d?a -a ? ?.( + n n 1? ? )

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【 答 案 及 提 示 】 1.√ 2.√ 3.√ 4.× 当 a=1 时 不 能 用 错 位 相 减 法 求 和 , 故 不 正 确 . 5.√

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1 .在等差数列 {an} 中, Sn 表示前 n 项和, a2 + a8 = 18 -

a5,则S9=________.
解析:54 由条件知 a2+a8+a5=3a5=18,所以 a5=6, 9?a1+a9? 9×2a5 因此 S9= = 2 =9a5=54. 2

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2 . (2014· 郑州一中模拟 ) 已知数列 {an} 中, an =- 2n +

1,等比数列{bn}的公比q满足q=an-an-1(n≥2),且b1=a1,
则|b1|+|b2|+?+|bn|=________.

解析:2n-1 因为 q=an-an-1=-2,b1=a1=-1,所以 bn=b1qn 1=(-1)×(-2)n 1,所以|bn|=|(-2)n 1|=2n 1,即数列
- - - -

1-2n {|bn|}是公比为 2 的等比数列,所以|b1|+|b2|+?+|bn|= = 1-2 2n-1.

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3.(课本习题改编)等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1, 其前 n 项和为 A.120 C.75
解 析 : 选C 2),
? Sn ?Sn? ? ? ∴ =n+2.∴数列 n ?的前 10 项的和为(1+2+?+10)+ n ? ? ? ?

? ?Sn? ? ? Sn,则数列 n ?的前 ? ? ? ?

10 项的和为(

)

B.70
n?3+2n+1? ∵a1=2×1+1=3,Sn= =n(n+ 2

D.100

20=75.
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第六章 数 列

4.( 2 0 1 1 · 天津高考)已知{an}为等差数列,其公差为-2, 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( A.-110 C.90 ) B.-90 D.110

2 解析: 选 D 由题意知 a7 =a3· a9, ∴(a1+6d)2=(a1+2d)· (a1

+ 8d) ,即 (a1 - 12)2 = (a1 - 4)· (a1 - 16) ,解得 a1 = 20. ∴ S10 = 10×9 20×10+ 2 ×(-2)=110.

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5. ( 2 0 1 2 · 大 纲 全 国 高 考

)已 知 等 差 数 列

{an}的 前 n项 和 为 Sn, )

? ? 1 ? ? ? a5=5,S5=15,则数列 a a ?的前 ? ? n n+1? ?

100 项和为(

100 A. 101 99 C.100

99 B. 101 101 D.100

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解 析 : 选A 设 等 差 数 列 {an}的 首 项 为 a1, 公 差 为 d. ∵a5=5,S5=15, ?a1+4d=5, ? ∴? 5×?5-1? 5a1+ d=15. ? 2 ?
? ?a1=1, ∴? ? ?d=1.

1 1 1 1 ∴an=a1+(n-1)d=n.∴ = =n- . anan+1 n?n+1? n+1
? ? 1 ? ? ? ∴数列 a a ?的前 ? ? n n+1? ?

1 1 1 1 100 项和为 1-2+2-3+?+100-

1 1 100 101=1-101=101.
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公式法求和

(2012· 山东高考)已知等差数列{an}的前 5 项和 为 105,且 a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式;

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解:设数列{an}的 公 差 为 d,前 n 项和为 Tn. 5×?5-1? ? ?5a1+ d=105, 2 ? 由 T5=105,a10=2a5, 得 到 ? ?a1+9d=2?a1+4d?, 解得 a1=7,d=7. 因此 an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).

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第六章 数 列

(2)对任意m∈N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记
为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

解: 对 m∈N*,若 am=7n≤72m,则 n≤72m-1. 因此 bm=72m-1, 所以数列{bm}是首项为 7 公比为 49 的等比数列, b1?1-qm? 7×?1-49m? 故 Sm= = 1-q 1-49 7×?72m-1? 72m+1-7 = = . 48 48

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第六章 数 列

1 . 当已知数列为等差数列或等比数列,以及由等差数 列和等比数列通过加、减构成的数列时,可利用公式法求 和. 2 .当已知数列的奇数项和偶数项分别为等差数列或等 比数列时,可用公式法求和. 3 .运用公式法求和时要分清数列的首项及项数,准确 套用公式求解.

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1.( 2 0 1 4 · 昆 明 质 检 )已 知 等 差 数 列 ∈N*,a3=5,S10=1 0 0 . ( 1 ) 求 数 列 {an}的 通 项 公 式 ;

{an}的 前 n项 和 为 Sn,n

( 2 ) 设 bn=2an+2n, 求 数 列 {bn}的 前 n项 和 Tn.

解( 1 ) 设等差数列{an}的公差为 d,由题意,得 ?a1+2d=5, ? ? ?a1=1, ? 解得? 所以 an=2n-1. 10×9 ? 10a1+ 2 d=100, ?d=2, ? ?

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第六章 数 列

1 n ( 2 ) 因 为 bn=2an+2n=2×4 +2n, 所 以 Tn=b1+b2+?+bn 1 = (4+42+?+4n)+2(1+2+?+n) 2 4n 1-4 2 = +n +n 6


2 n 2 2 = ×4 +n +n- 3 3 22n 1 2 2 = +n +n- . 3 3


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第六章 数 列

裂项相消法求和

(2014· 重庆模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1=an +c(c 为常数,n∈N*),且 a1,a2,a5 成公比不等于 1 的等比 数列. (1)求 c 的值;

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第六章 数 列

解: ∵an+1=an+c, a1=1, c 为常数, ∴an=1+(n-1)c, ∴a2=1+c,a5=1+4c. 又 a1,a2,a5 成 等 比 数 列 , ∴(1+c)2=1+4c, 解 得 c=0 或 c=2, 当 c=0 时,an+1=an 不 合 题 意 , 舍 去 , ∴c=2.

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第六章 数 列

1 ( 2 ) 设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. anan+1
解:由( 1 ) 知,an=2n-1, 1 ? 1 1 1? ? 1 ∴bn= = =2?2n-1-2n+1? ?, anan+1 ?2n-1??2n+1? ? ? ∴Sn=b1+b2+?+bn
? 1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? =2??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? ? ?? ? ??

1 ? 1? n ? ? = ?1-2n+1?= . 2? ? 2n+1

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第六章 数 列

1 . 使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时消去 了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被 消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的 根源与目的.

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第六章 数 列

2. 常 见 的 裂 项 公 式 1 1 1 ( 1 ) = - ; n?n+1? n n+1 1 ? 1 1? ? 1 ( 2 ) =2?2n-1-2n+1? ; ? ?2n-1??2n+1? ? ? (3) = n+1- n. n+ n+1 1

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第六章 数 列

2.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括 两 个 端 点 )有 n(n>1,n∈N*)个 点 , 相 应 的 图 案 中 总 的 点 数 记 为 9 9 9 9 an, 则 a a +a a +a a +?+a a =( 2 3 3 4 4 5 2 0 1 3 2 0 1 4 )

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2 010 A. 20 1 1 2 012 C. 2 013

20 1 1 B. 2 012 2 013 D. 2 012

解 析 : 选C

由 已 知 图 形 , 可 知

a2=1+2,a3=1+2+3,

a4=1+2+2+4,a5=1+2+2+2+5, 故 an 等于 n 个 数 的 和 , 其 中 第 一 个 数 为 1, 最 后 一 个 数 为 n, 中 间 的 n-2 个 数 为 2,

所 以 an=1+2(n-2)+n=3n-3=3(n-1).

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9 9 1 1 1 故 = = = - (n≥2). anan+1 3?n-1?×3n n?n-1? n-1 n
? 1? ? 1 1? 9 9 9 9 所以 + + +?+ = ?1-2? + ?2-3? + a2a3 a3a4 a4a5 a 2013a2 014 ? ? ? ? ?1 1? ? ? - ?+?+? ?3 4? ?2

1 1 ? 1 2 012 ? - 012 2 013?=1-2 013=2 013.选 C.

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1 3.已知数列{an},an= ,其前 n 项和 Sn=9, n+1+ n 则 n=______.
解 析 : 99 1 因 为 an= = n+1- n, n+1+ n

所以 Sn=a1+a2+a3+?+an-1+an=( 2-1)+( 3- 2) +( 4- 3)+?+( n- n-1)+( n+1- n)= n+1-1.由 n+1-1=9, 解 得 n=99.

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错位相减法求和

(2012· 天津高考 ) 已知 {an} 是等差数列,其前 n 项和为 Sn , {bn} 是等比数列,且 a1 = b1 = 2 , a4 + b4 = 27 , S4 - b4 =

10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

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解 :设 等 差 数 列 {an}的 公 差 为 d, 等 比 数 列 {bn}的 公 比 为 q, 由 a1=b1=2, 得 a4=2+3d,b4=2q3, S4=8+6d.由 条 件 得
? ?d=3, 解得? ? ?q=2.
3 ? ?2+3d+2q =27, ? 3 ? ?8+6d-2q =10,

所以 an=3n-1,bn=2n,n∈N*.

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( 2 ) 记 Tn=a1b1+a2b2+?+anbn,n∈N*, 求 证 : Tn-8=an
-1

bn+1(n∈N*,n≥2).
证 明 : 由( 1 ) 得 Tn=2×2+5×22+8×23+?+(3n-1)×2n, ①

∴2Tn=2×22+5×23+?+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n+1. ② ①-②,得 -Tn=2×2+3×22+3×23+?+3×2n-(3n-1)×2n 6×?1-2n? = -(3n-1)×2n+1-2 1-2
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+1

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= - (3n-4)×2n+1-8, ∴Tn=(3n-4)· 2n+1+8 ∴Tn-8=(3n-4)×2n 1.


而当 n≥2 时,an-1bn+1=(3n-4)×2n 1,


所以 Tn-8=an-1bn+1,n∈N*,n≥2.

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【 互 动 探 究 】 在 本 例 ( 2 ) 中 , 若 将 条 件 改 为 Tn , 求 证 : Tn<5”, 则 如 何 求 解 ? “若 数 列
? ?an? ? ? ?的 前 ?bn? ? ?

n 项 和 为

an 3n-1 证 明 : 由( 1 ) 知 = n , bn 2 3n-4 3n-1 2 5 ∴Tn= + 2+?+ n-1 + n . 2 2 2 2 3n-4 3n-1 1 2 5 ∴2Tn=22+23+?+ 2n + n+1 . 2 ①-②得
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① ②

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?1 1 1 ? 3n-1 1 T n=1+3? 2+ 3+?+ n?- n+1 2 2? 2 2 ?2

1 ? 1? ? ? 1 - - n 1 2 ? 22? ? ? 3n-1 =1+3× 1 - 2n+1 1- 2 5 3n+5 =2- n+1 . 2 3n+5 ∴Tn=5- 2n <5.

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1.错位相减法求和的方法为 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 {bn} 的 公 比 为

q(q≠1)
设Sn=a1b1+a2b2+?+anbn①, 则qSn=a1b2+a2b3+?+an-1bn+anbn+1②,

①-②得: (1 - q)Sn = a1b1 + d(b2 + b3 + ? + bn) - anbn +
1,进而转化为等比数列求和的问题.

2 .错位相减法是数列求和的一种重要方法,是高考中 的热点问题,值得注意的是,这种方法运算过程复杂,运算 量大,应加强对解题过程的训练,重视运算能力的培养.
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4.( 2 0 1 2 · 浙 江 高 考 )已 知 数 列 {an}的 前 n 项 和 为 Sn , 且 Sn =2n2+n,n∈N*, 数 列 {bn}满 足 an=4 l o g 2bn+3,n∈N*. ( 1 ) 求 an,bn; ( 2 ) 求 数 列 {an· bn}的 前 n项 和 Tn .

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解:( 1 ) 由 Sn=2n2+n,得 当 n=1 时 , a1=S1=3; 当 n≥2 时 , an=Sn-Sn-1=4n-1. 当 n=1 时 也 满 足 an=4n-1 所 以 an=4n-1,n∈N*. 由 4n-1=an=4 l o g 2bn+3, 得 bn=2n-1,n∈N*.

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( 2 ) 由( 1 ) 知 anbn=(4n-1 ) · 2

n-1

,n∈N*,
n -1

∴Tn=3+7×2+11×22+?+(4n-1 ) · 2 ∴2Tn=3×2+7×22+?+(4n-5 ) · 2 ①-②得 -Tn=3+4 ( 2 +22+?+2n-1)-(4n-1 ) · 2 2?1-2n-1? =3+4× -(4n-1 ) · 2 1-2 =-(4n-5 ) · 2 n-5, ∴Tn=(4n-5 ) · 2 n+5 .
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n-1

+(4n-1 ) · 2 n, ②

n

n

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审题路线图系列之(三) 三审结构,确定解题方法
【典例】 (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 满 足 1 1 Sn=2-2an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+?+f(an), 1 1 1 Tn=b +b +?+b ,求 T2 014; 1 2 n (3)若 cn=an· f(an),求{cn}的前 n 项和 Un.
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[审题路线图]

1 1 等差数列{an}中,Sn=2-2an
? ? ? ?S1,n=1 ? ? ↓?an=? ? ? S - S , n ≥ 2 - ? ? n n 1 ?

1 an= an-1 3 ↓(等比数列通项公式)
? 1? an=?3?n ? ?

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↓(bn=f(a1)+f(a2)+?+f(an)及 公 式 求 和 ) n?n+1? bn= - 2 ↓(条 件 及 裂 项 求 和 T2 0 1 4 4 028 = - 2 015 )

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↓(条 件)
?1? ? ?n cn= - n· ?3?

↓(错 位 相 减 求 和 3 2n+3 Un= - + 4 4 · 3 n

)

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第六章 数 列

1 [规范解答]( 1 ) 当 n=1 时,a1= , 3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, 1 1 1 1 又 Sn=2-2an,Sn-1=2-2an-1, 1 所以 an=3an-1,(n≥2 ) 2 分 1 1 ∴数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3
?1? ∴an=?3?n. 3 ? ?



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( 2 ) 由已知,可得 f(an)=l o g

? 1? n 3? ? =-n, ? 3?

n?n+1? 则 bn=-1-2-3-?-n=- . 2
?1 1 ? 1 ? 故 =-2?n-n+1? ?. bn ? ? ?? ?1 ? 1 ? 1? ? 1 1 ? ?? ? ? ∴Tn=-2? 1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 1 ? 2n 4n ? ? 1 - =-2? ?-n+1=n+1. n + 1 ? ?

4分 5分

6分 7分

∴T 2 0 1 4

40 2 8 =-20 1 5 .
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( 3 ) 由 题 意 , 得

?1? ? ?n , cn= - n· ?3?

? ?1? ?1? - 1 ? 2 ∴Un= - ?1×3+2×?3? +?+?n-1??3?n 1 ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?n ? +n· ?3? ? ? ?1? ?1? 1 2 ∴ Un=-?1×?3? +2×?3?3+?+?n-1?· 3 ? ? ? ? ? ?1? ?1? + ? n ? ? +n· ? ?n 1? ?3? ?3? ?



②8 分

①-②得
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?1 ?1? ? 1? ?1? + ? 2 ? 2 n n 1? ? ? ? ? ? ? + + ? + - n · U = - ?3 ?3? ? 3 n ? 3? ?3? ? ?

1? ? 1? ? ? ? 1 - n ? 3? 3 ? ?1? + ? ? ?n 1? - n · = -? ?3? ? 1-1 ? 3 ? ? 1 2n+3 1 = - + · . 2 2 3 n +1 3 2n+3 1 ∴Un= - 4+ 4 · 3n. 11 分 12 分

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[题 后 总 结 ]1.本 题 审 题 的 关 键 有 两 个 : 一 是 根 据 的 特 征 , 确 定 利 用 中 , 要 分 别 根 据 数 列 Sn 与 an 的 关 系 求 通 项 公 式 . 二 是 在
? ?1? ? ? ?,{an}的 通 项 公 式 的 特 征 , 分 b ? ? ? n?

1 1 Sn=2-2an ( 2 ) 、( 3 ) 别 采 用 裂

项 相 消 法 和 错 位 相 减 法 来 求 数 列 的 前

n项 和 .

2. 在 审 题 过 程 中 , 要 根 据 条 件 中 所 给 数 、 式 的 结 构 特 征 来 确 定 解 题 的 方 案 和 方 法 .

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