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吉林省吉林市第一中学2015-2016学年高二数学11月月考试题(奥班)


吉林一中 14 级高二上学期月考(11 月份) 数学(奥班)试卷
一、选择题:(每个小题 5 分,共计 60 分) 1.已知ξ ~ B(4, ) ,并且 ? ? 2? ? 3 ,则方差 D? ? (

1 3



8 16 C. 9 9 2.极坐标 ? cos? ? 2 sin 2? 表示的曲线是(
A. B. A.一条射线和一个圆 B.两条直线
5

32 9

D. )

4 9

C.一条直线和一个圆 D.一个圆 )

3. (1 ? x3 )(1 ? x)10 的展开式中, x 的系数是( A. ?297 B. ?252 C.297 D.207

4. 抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A: “甲骰子的点数大于 4” ;事件 B: “甲、乙两骰子的点数之和等于 7” ,则 P ( B | A) 的值等于( A.



1 3

B.

1 18

C.

1 6

D.

1 9

5.下列命题正确的是(



A.方差是标准差的平方,方差是正数 B.变量 X 服从正态分布,则它在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 以外几乎不发生

C.相关指数 R ? 1 ?
2

?(y ?(y
i ?1 i ?1 n

n

i

?)2 ?y
的值越小,拟合效果越好

i

? y)

2

D.残差和越小,拟合效果越好 6.如图,ABCD 是边长为 1 的正方形,O 为 AD 中点,抛物线 F 的顶点为 O 且通过点 C,则阴 影部分的面积为 ( )

2 A. 5

3 B. 10

1 C. 3

3 D. 8

C O A

B

7. 某学校为了迎接市春季运动会,从 5 名男生和 4 名女生组成的田径运动队中选出 4 人参 加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为( ).

1

A.85 8.下列点在曲线 ?

B.86

C.91

D.90 )个

? x ? sin ? ( ? 为参数)上的有( ? y ? cos? ? sin ?

①(

1 3 1 ,? 2 ) ② (? , ) 2 4 2
B. 2 个

③( 2, 3 ) ④( 1, 3 )⑤(3,2)

A.1 个

C. 3 个 D. 4 个

9. 抛 物 线 y 2 ? 8x 的 焦 点 为 F , 直 线 y ? k ( x ? 2) 与 此 抛 物 线 相 交 于 P, Q 两 点 , 则

1 1 ? ?( | FP | | FQ |
A.

)

1 2

B. 1

C.

2

D. 4

10.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左焦点 F (?c,0) 做圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切 a2 b2

点为 E,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P ,点 E 是线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为 ( ) A. 5 ? 1 B.

5 ?1 2

C. 5

D.

5 2

2 11. 设 X ~ N (?1 , ?12 ) , Y ~ N (?2 , ? 2 ) ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中

正确的是(



A. P(Y ? ?2 ) ? P(Y ? ?1 ) B. P( X ? ? 2 ) ? P( X ? ?1 ) C.对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t ) D.对任意正数 t , P( X ? t ) ? P(Y ? t ) 第 11 题图 12. 设椭圆

x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的上顶点为 A ,点 B、C 在椭圆上,且左、右焦点 F1 , F2 2 a b

2

2

分别在等腰三角形 ABC 两腰 AB 和 AC 上. 若椭圆的离心率 e= ( ) A . 外心

3 ,则原点 O 是△ABC 的 3
D .垂心

B .内心

C .重心

二、填空题: (每小题 5 分,共计 20 分) 13.如图,在极坐标系中,过点 M (2,0) 的直线 l 与极轴的夹角 ? ?

?
6

,若将 l 的极坐标方程

2

写成 ? ? f (? ) 的形式,则 f (? ) ?

.

14.如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,

AB 且 BC ? 3PB ,则 ? AC

P

B

C

.
A

第 14 题图 15. 在 1,2,3,4,5,6,7 的任一排列错误!未找到引用源。中,使相邻两数都互质的排 列方式 种数共有_______________ 16. 设椭圆 C 的两个焦点是 F1 , F2 ,过点 F1 的直线与 C 交与点 P, Q ,若 | PF2 |?| F1 F2 | , 且 3 | PF 1 |? 4 | QF 1 | ,则椭圆的短轴与长轴的比值为_____________ 三、解答题: (17 题 10 分,其余每题 12 分,共计 70 分) 17. 如图,在圆 O 中, 相交于点 E 的两弦 AB , CD 的中点分别是 M , N ,直线 MO 与直线 CD 相交于 F 点,证明: (1) ?MEN ? ?NOM ? 180? (2) FE ? FN ? FM ? FO

18. 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线 C 参数方程为? π? ? 数),直线 l 的极坐标方程为 ρ cos?θ - ?=2 2. 4? ? (1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.

?x= 3cos θ , ?y=sin θ

(θ 为参

19. 在一个不透明的盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三个大小相同的小球,现从这个盒 子中,有放回 地先后取得两个小球,其标号分别为错误!未找到引用源。 ,记错误!未 ... 找到引用源。 . (1)求随机变量错误!未找到引用源。的最大值,并求事件“错误!未找到引用源。取 得最大值”的概率;
3

(2)求随机变量错误!未找到引用源。的分布列和数学期望.

20. 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率 e ? ⑴求椭圆 C 的方程;

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) . 2

⑵设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得向量 OP ? OA与 FA 共线?若存 在,求直线 AP 的方程;若不存在,简要说明理由.

21. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销 售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i =1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

年 销 售 量
/t

年宣传费(千元)

? x

? ? y

?? w

?
i ?1

8

(x1- x )

?

2

?
i ?1

8

(w1- w )

??

2

?
i ?1

8

(x1- x )(y-

?

?
i ?1

8

(w1- w )(y-

??

? ? y)
1.6 1469

? ? y)
108.8

46.6

56.3

6.8

289.8

表中 wi ?

xi

, ,

?? 1 w = 8

?w
i ?1

8

i

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+ d

x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的

回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答 当年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?
4

附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 距的最小二乘估计分别为:

vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和截

??

?

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

? ? ,? ? v ? ? u

2

22.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平 行于 OM 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。 (1)求椭圆的方程;

???? ???? MA MB (2)已知 e ? (t ,0), p ? ? ( ???? ? ???? ) ,是否对任意的正实数 t , ? ,都有 e ? p ? 0 成 | MA | | MB |
立? 请证明你的结论。

5

吉林一中 14 级高二上学期月考(11 月份) 数学(奥班)答案 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 B 6 C 7 B 8 A 9 A 10 B 11 D 12 D

二、填空题:

13.

1 sin(

?
6

14 .

??)

1 2

15.

864

16 .

2 6 7

三、解答题: 17. 因为 MN 是中点,所以 OM ? AB, ON ? CD ,所以(1)成立 (2)由(1)可知 OMEN 四点共圆,由割线定理可知显然成立 π? ? 18. 解:(1)由 ρ cos?θ - ?=2 2得 ρ (cos θ +sin θ )=4, 4? ? ∴l:x+y-4=0. 由?

?x= 3cos θ , ?y=sin θ
x2
2

得 C: +y =1. 3

x2

2

(2)在 C: +y =1 上任取一点 P( 3cos θ ,sin θ ), 3 则点 P 到直线 l 的距离为 | 3cos θ +sin θ -4| d= 2 ?2sin?θ +π ?-4? ? ? ? 3? ? ? ? ? = ≤3 2. 2 π? 7 ? ∴当 sin?θ + ?=-1,即 θ = π 时,dmax=3 2. 3 6 ? ?

19. :(1)∵ x、 y 可能的取值为 1、2、3, ∴ | x ? 2 |? 1, | y ? x |? 2 ∴ ? ? 3 ,且当 x ? 3 , y ? 1 或 x ? 1 , y ? 3 时, ? ? 3 . 因此,随机变量 ? 的最大值为 3. ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9 种, ∴ P(? ? 3) ?

2 . 9
6

∴随机变量 ? 的最大值为 3,事件“ ? 取得最大值”的概率为 (2) ? 的所有取值为 0,1,2,3. ∵ ? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况,

2 . 9

? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况, ? ? 3 时,有 x ? 3 , y ? 1 或 x ? 1 , y ? 3 两种情况,
1 2 2 , P (? ? 2) ? , P(? ? 3) ? , 9 9 9 1 2 2 4 ? P(? ? 1) ? 1 ? ? ? ? 9 9 9 9
∴ P(? ? 0) ? 则随机变量 ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

P

1 9

4 9

2 9

2 9

1 4 2 2 14 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 9 9 9 9 9 . x2 y 2 20. 解:⑴设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
因此,数学期望

? 椭圆 C 的离心率 e ?

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) , 2

?c?
a

3 , c ? 3 ,3 分 2

? a 2 ? b2 ? c 2 ,

? a ? 2, b ? 1, c ?
故椭圆 C 的方程为

3,

x2 ? y 2 ? 1. 4

⑵假设椭圆 C 上是存在点 P ( x0 , y0 ) ,使得向量 OP ? OA与 FA 共线,

??? ? ??? ? ??? ? ? OP ? OA ? ( x0 , y0 ?1) , FA ? (? 3,1) ,

?

x0 ? 3

?

y0 ? 1 ,即 x0 ? ? 3( y0 ?1) , (1) 1

8分

又? 点 P ( x0 , y0 )在椭圆

x2 x2 ? y 2 ? 1上,? 0 ? y0 2 ? 1 4 4

(2)

7

? 8 3 x0 ? ? ? x ? 0 ? 0 ? 7 , 由⑴、⑵组成方程组解得 ? ,或 ? y ? ? 1 1 ? 0 ?y ? 0 ? 7 ?

? P(0, ?1) ,或 P(? 8

3 1 , ), 7 7

13 分

当点 P 的坐标为 (0, ?1) 时,直线 AP 的方程为 y ? 0 , 当点 P 的坐标为 P(?

8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7

故直线 AP 的方程为 y ? 0 或 3x ? 4 y ? 4 ? 0 . 21.可以判断 y ? c ? d x 比较适合 (2)令 w ?

x ,先建立 y 关于 w 的回归方程

? ? 68 由于 d

?x ? 100.6 , ? ? y ?d 所以 c

所以 y ? 100 .6 ? 68w ? 100.6 ? 68 x (3)66.32

22. 解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 则? 4 , 解得 1 ? 2 ? ? 1 ? b ? 2 ? ? ?a2 b2
∴椭圆方程

x2 y2 ? ?1 8 2 .

(2)若 e ? p ? 0 成立,则向量 p ? ? (

MA | MA |

?

MB | MB |

) 与 x 轴垂直,

由菱形的几何性质知, ?AMB 的平分线应与 x 轴垂直.为此只需考察直线 MA,MB 的倾 斜角是否互补即可. 由已知,设直线 l 的方程为: y ?

1 x?m 2

8

1 ? y ? x?m ? ? 2 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0

设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2, 只需证明 k1+k2=0 即可, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 可得,

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4 ,而

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ? ?0 , ( x1 ? 2)(x2 ? 2)
∴k1+k2=0, 直线 MA,MB 的倾斜角互补. 故对任意的正实数 t , ? ,都有 e ? p ? 0 成立

(

9


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