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数学必修五 第三章不等式 单元质量评估(一)


第三章

单元质量评估(一)

时限:120分钟 满分:150分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a>b,则下列各式中正确的是( A.a2>b2 1 1 C.a<b )

B.a3>b3 D.log2a<log2b

解析:∵a>b,取 a=1,b=-2,可排除 A,C,D,故选 B. 答案:B 2. 已知集合 A={x|x2-x-2<0, x∈R}, B={x|x2-1≥0, x∈R}, 则 A∩B 等于( )

A.{x|-1<x<2} B.{x|x≤-1 或 1≤x<2} C.{x|1<x<2} D.{x|1≤x<2} 解析:A= {x|- 1<x<2}, B= {x|x≥1,或 x≤-1},则 A∩B= {x|1≤x<2},故选 D. 答案:D 3.直线 3x+2y+5=0 把平面分成两个区域,下列各点与原点位 于同一区域的是( A.(-3,4) C.(0,-3) ) B.(-3,-4) D.(-3,2)

解析:当 x=y=0 时,3x+2y+5=5>0,所以原点一侧的平面区 域对应的不等式是 3x+2y+5>0,可以验证仅有点(-3,4)的坐标满足 3x+2y+5>0,故选 A.

答案:A 2 8 4.若 x>0,y>0,且x+y=1,则 xy 有( A.最大值 64 C.最小值 64 )

1 B.最小值64 1 D.最小值2 28 x· y .∴ xy≥8,

2 8 2 8 解析:∵x>0,y>0, x+y =1,∴1=x +y ≥2 当且仅当 x=4,y=16 时取等号. ∴xy≥64. 答案:C

5.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,2] C.(-2,2) ) B.(-2,2] D.(-∞,-2)

解析:当 a-2=0 时,a=2,不等式显然恒成立.
? ?a-2<0, 当 a-2≠0 时,需? 2 ?4?a-2? +16?a-2?<0, ?

解得-2<a<2. 综上可知,-2<a≤2.故应选 B. 答案:B x2+2x+2 6.函数 y= (x>-1)的图象的最低点坐标是( x +1 A.(1,2) C.(1,1) B.(1,-2) D.(0,2) )

解析:求函数图象最低点坐标,即求 x 为何值时,y 最小.y=

?x+1?2+1 1 1 =(x+1)+ ≥2,当且仅当 x+1= ,即 x=0 时取等 x+1 x+1 x+1 号,∴当 x=0 时,y 最小=2.∴图象最低点的坐标为(0,2).故选 D. 答案:D 7.已知点 P(x,y)到 A(0,4)和 B(-2,0)的距离相等,则 2x+4y 的 最小值为( A.2 C.8 2 解析:∵|PA|=|PB|, ∴ x2+?y-4?2= ?x+2?2+y2,即 x+2y=3.∴2x+4y≥2 2x×4y 3 3 =2 2x+2y=4 2,当且仅当 2x=4y,即 x=2,y=4时等号成立,故选 D. 答案:D 8.若四个正数 a,b,c,d 成等差数列,x 是 a 和 d 的等差中项, y 是 b 和 c 的正的等比中项,则 x 和 y 的大小关系是( A.x<y C.x=y a+d b+c 解析:x= 2 = 2 ,y= bc. b+c ∵b, c 都为正数, ∴ 2 ≥ bc(当且仅当 b=c 时, 取“=”). ∴ x≥y. 答案:D 9.已知?ABCD 的三个顶点为 A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点 (x,y)在?ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是( A.(-14,16) B.(-14,20) ) B.x>y D.x≥y ) ) B.4 D.4 2

C.(-12,18)

D.(-12,20)

2x z 解析:如图,当直线 y= 5 -5过(3,4)时,z 最小,zmin=-14,当 2x z 直线 y= 5 -5过(0,-4)时,z 最大,zmax=20,因此 z 的取值范围是 (-14,20).

答案:B 10.已知点 O 为直角坐标系原点,P,Q 的坐标均满足不等式组 4x+3y-25≤0, ? ? ?x-2y+2≤0, ? ?x-1≥0, ( ) π A.2 C.2π 解析: B.π π D.4

则 cos ∠ POQ 取最小值时的∠ POQ 的大小为

3 作出不等式组的线性规划区域,如图,可求得 A(1,7),B(1,2), C(4,3),由图知∠POQ 为锐角,由余弦函数的单调性知,当∠POQ 最大时,cos∠POQ 取最小值,即∠POQ=∠AOC 时满足条件. 由距离公式计算,可得 OA2=50,OC2=25,AC2=25, OA2+OC2-AC2 由余弦定理得 cos∠AOC= 2· OA· OC = 50+25-25 2 π = 2 ,∠AOC=4. 2×5 2×5

答案:D 11. (2012· 福建高考)若函数 y=2x 图象上存在点(x, y)满足约束条 x+y-3≤0, ? ? 件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m, 1 A.2 3 C.2

则实数 m 的最大值为(

)

B.1 D.2

解析:可行域如图中的阴影部分所示,函数 y=2x 的图象经过可
x ? ? ?y=2 ?x=1 行域上的点,由? ,得? ,即函数 y=2x 的图象与直 ?x+y-3=0 ? ? ?y=2

线 x+y-3=0 的交点坐标为(1,2),当直线 x=m 经过点(1,2)时,实数 m 取到最大值为 1,应选 B.

答案:B 12.某金店用一杆不准确的天平(两臂不等长)称黄金,某顾客要 买 10 g 黄金,售货员先将 5 g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之 平衡后给顾客;然后又将 5 g 的砝码放入右盘,将另一黄金放入左盘 使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( A.大于 10 g C.大于等于 10 g )

B.小于 10 g D.小于等于 10 g

解析:设天平的两边臂长分别为 a,b,两次所称黄金的重量分 别为 x g,y g.
? ?5a=xb, 5a 5b 则? 所以 x+y= b + a >2 ?ya=5b, ?

5a 5 b b· a =10.故选 A.

答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 ________. ax <1 的解集是{x|x<1,或 x>2},则实数 a 的值为 x-1

ax 1 解析:∵2 是方程 =1 的根,∴2a=1,a=2. x-1 1 答案:2
2 ? ?x +1,x≥0, 14. 已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x) ?1,x<0, ?

的 x 的取值范围是________. 解析:作出函数 f(x)的图象如图所示.

由图象可知不等式 f(1-x2)>f(2x)可化为 1-x ≥0, ? ? ?2x≥0, ? ?1-x2>2x,
2

?1-x2>0, 或? ?2x<0.

解得 0≤x<-1+ 2或-1<x<0. ∴-1<x<-1+ 2. 答案:(-1, 2-1) 15.若 a>2 010,0<b<1,则 logab+logba 的取值范围是________. 解析:∵a>2 010,0<b<1, ∴logab<0,logba<0. ∴-(logab+logba)=(-logab)+(-logba)≥

2 ?-logab?· ?-logba?=2 ∴logab+logba≤-2. 答案:(-∞,-2]

1 ?logab?· logab=2,

16.已知点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x-3y+1=0 的两侧,给 出以下三个命题: ①2a-3b+1>0; b ②a≠0 时,a有最小值,无最大值; b 1 2 ③a>0 且 a≠1,b>0 时,则 的取值范围为(-∞,-3)∪(3, a-1 +∞).请将正确命题的题号填在横线上________. 解析:∵P,Q 两点在直线 2x-3y+1=0 的两侧,∴(2a-3b+ 1)(2-0+1)<0, 即 2a-3b+1<0.故①不成立. P(a,b)所在区域如下图阴影.

b a可理解为 P 与原点 O 的连线的斜率,它们不存在最值,所以② b 错; 可理解为点 P 与点 Q(1,0)连线的斜率, 设直线 2x-3y+1=0 a-1 1 2 与 y 轴交点为 A,由图知 k∈(-∞,-3)∪(3,+∞),故③正确.

答案:③ 三、解答题(共 70 分) 17. (本小题 10 分)已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1, 或 x>b}. (1)求 a,b; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0. 解:(1)因为不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1,或 x>b}, 所以 x1=1 与 x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实数根, 且 b>1. 3 ? 1 + b = ? a, 由根与系数的关系得,? 2 ? 1 × b = ? a,
? ?a=1, 解得? ? ?b=2.

所以 a=1,b=2. (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0, 即 x2-(2+c)x+2c<0, 即(x-2)(x-c)<0, 所以①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 18.(本小题 12 分)解关于 x 的不等式 x2-2x+1-a2≥0. 解:原不等式等价于(x-1)2-a2≥0, 即(x-1-a)(x-1+a)≥0,其对应方程的根为 1+a 与 1-a. 由(1+a)-(1-a)=2a,得 ①当 a>0 时,1+a>1-a,所以原不等式的解集为{x|x≥1+a,

或 x≤1-a}; ②当 a=0 时,1+a=1-a,所以原不等式的解集为 R; ③当 a<0 时,1-a>1+a,所以原不等式的解集为{x|x≥1-a, 或 x≤1+a}. 19.(本小题 12 分)设 a,b,c>0,a+b+c=1,求证: 3a+1+ 3b+1+ 3c+1≤3 2. 1 证明: 不等式在 a=b=c=3时, 等号成立, 此时 3a+1= 3b+1 = 3c+1= 2.由此可考虑配凑常数 2,以便利用基本不等式. ∵ 2· 3a+1≤ 2+3a+1 3a+3 = 2 , 2

3b+3 3c+3 同理, 2· 3b+1≤ 2 , 2· 3c+1≤ 2 , 以上三式相加,并利用 a+b+c=1,得 2( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)≤6, ∴ 3a+1+ 3b+1+ 3c+1≤3 2. 1 20.(本小题 12 分)(1)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求(x+x )2+(y 1 +y)2 的最小值. 1 1 (2)若 x>0,y>0,x+y=1,求证:x +y ≥4. 1 1 解:(1)∵(x+x)2+(y+y )2 1 1 =x2+y2+x2+y2+4 1 1 =(x+y)2-2xy+x2+y2+4

1 1 =5-2xy+x2+y2. x+y 1 1 ∵xy≤( 2 )2=4,∴xy≥4. 1 1 1 2 1 25 ∴5-2xy+x2+y2≥5-2×4+xy≥5-2+8= 2 . 1 ∴当且仅当 x=y=2时,取等号, 25 ∴原式的最小值为 2 . (2)证明:∵x+y=1,x>0,y>0, y x ∴x>0,y>0, 1 1 x+y x+y ∴ x +y = x + y y x =2+x+y≥2+2 21.(本小题 12 分) yx x· y=4.

如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原 有的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多 少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 解:(1)设每间虎笼长 x m,宽为 y m,则由条件知 4x+6y=36,

即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S,则 S=xy. 由于 2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy. 27 ∴2 6xy≤18,得 xy≤ 2 , 27 即 S≤ 2 ,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.
? ? ?2x+3y=18, ?x=4.5, 由? 解得? ?2x=3y, ?y=3. ? ?

故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使其面积最大. (2)由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y. ∵2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy=24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.
? ? ?2x=3y, ?x=6, 由? 解得? ?xy=24, ?y=4. ? ?

故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使围成的四间虎笼的钢筋网总 长最小. 22.(本小题 12 分)已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万 吨和 300 万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每 年最多能运 280 万吨煤,西车站每年最多能运 360 万吨煤,甲煤矿运 往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/吨和 1.5 元/吨,乙煤矿运 往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8 元/吨和 1.6 元/吨. 煤矿应怎 样编制调运方案,能使总运费最少? 解: 设甲煤矿向东车站运 x 万吨煤, 乙煤矿向东车站运 y 万吨煤, 那么总运费 z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y),即 z=780-0.5x

-0.8y. 其中 x,y 应满足: x≥0, ? ?y≥0, ?200-x≥0, ?300-y≥0, ?x+y≤280, ? ?200-x+?300-y?≤360. 作出上面的不等式组所表示的平面区域.

设直线 x+y=280 与 y 轴的交点为 M,则 M(0,280). 把直线 l: 0.5x+0.8y=0 向上平移至经过平面区域上的点 M(0,280) 时,z 的值最小. ∵点 M 的坐标为(0,280), ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站,乙煤矿向东车站运 280 万 吨,向西车站运 20 万吨时,总运费最少.


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