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2012年高考题----必修1第二章


2012 年高考题----必修 1 第二章
一、选择题 1. (2012 年高考(安徽文) ) log 2 9 ? log 3 4 ?

基本初等函数
( )

A.

1 4

B.

1 2

C. ?

D. ? (



2. (2012 年高考(广东理) )(函数)下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数的是

A. y ? ln ? x ? 2 ?

B. y ? ? x ? 1

?1? C. y ? ? ? ?2?

x

D. y ? x ?
2

1 x
x

3

.( 2012 年 高 考 ( 重 庆 文 )) 设 函 数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, g ( x) ? 3 ? 2, 集 合

M ? { x ? R|
A. (1, ??)

f( g ( x )? )

0 N}?,{x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M
C.(-1,1)

N为





B.(0,1)

D. ( ??,1) )

4 . (2012 年高考 (天津文) ) 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为 (

A. y ? cos 2 x

B. y ? log 2 | x |
x

C. y ?

e x ? e? x 2

D. y ? x ? 1
3

5 . (2012 年高考(四川文) )函数 y ? a ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是

6 . (2012 年高考(山东文) )函数 f ( x) ?

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)





A. [?2,0)

(0, 2]

B. (?1,0)

(0, 2]

C. [?2, 2]

D. (?1, 2] ( D. y ? ln x 2 ? 1 )

7. (2012 年高考(广东文) )(函数)下列函数为偶函数的是

A. y ? sin x

B. y ? x 3

C. y ? e x

8. (2012 年高考(安徽文) ) 设集合 A ? {x

?3 ? 2 x ? 1 ? 3} ,集合 B 是函数 y ? lg( x ? 1) 的
( )

定义域;则 A A. (1, 2)

B?
B. [1, 2] C. [?, ?) D. (?, ?]

1

9 . (2012 年高考(新课标理) )设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 2
( ) D. 2(1 ? ln 2)

最小值为 A. 1 ? ln 2 B. 2(1 ? ln 2)
x

C. 1 ? ln 2

10 . (2012 年高考(四川理) )函数 y ? a ?

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

11. (2012 年高考(江西理) )下列函数中,与函数 y=

3

1 定义域相同的函数为 x
x





A.y=

1 sin x

B.y=

1nx x

C.y=xe

D.

sin x x

12 . ( 2012 年高 考(湖南理) ) 已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 : y=

8 (m>0), l1 与函数 2m ? 1

y ? log2 x 的图像从左至右相交于点 A,B , l2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交
于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时,

b 的最小值为 a
( )

A. 16 2
二、填空题

B. 8 2

C. 8 4

D. 4 4

13. (2012 年高考(上海文) )方程 4 ? 2
x

x ?1

? 3 ? 0 的解是_________.

x, x
14. (2012 年高考(陕西文) )设函数发 f ( x )

0, 0,
,则 f ( f ( 4)) =_____

1 ( )x , x 2

? m ? 3 15 . ( 2012 年 高 考 ( 北 京 文 ) ) 已 知 f ( x) ? m( x? 2 m) ( x ,) g ( x) ? 2 ? 2 . 若
x

?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是________.
16 .( 2012 年 高 考 ( 北 京 文 )) 已 知 函 数 f ( x)?

l gx, 若 f ( ab) ? 1 , 则

f (a 2 ) ? f (b 2 ) ? _________.
2

17. (2012 年高考(上海春) )函数

y ? log 2 x ?

4 ( x ? [2, 4]) 的最大值是______. log 2 x

18. (2012 年高考(江苏) )函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为____.

三、解答题 19. (2012 年高考(上海文理) )已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) .

(1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数

y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

3

基本初等函数参考答案 一、选择题 1. 【解析】选 D log 2 9 ? log 3 4 ?

lg 9 lg 4 2 lg 3 2 lg 2 ? ? ? ?4 lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

2.解析:A. y ? ln ? x ? 2 ? 在 ? ?2, ?? ? 上是增函数. 3.

【答案】:D
2 x 【解析】:由 f ( g ( x)) ? 0 得 g ( x) ? 4 g ( x) ? 3 ? 0 则 g ( x) ? 1 或 g ( x) ? 3 即 3 ? 2 ? 1

x 或3 ? 2 ? 3

x x 所 以 x ? 1 或 x ? log 3 5 ; 由 g ( x ) ? 2 得 3 ? 2 ? 2 即 3 ? 4 所 以 x ? l o g 故 3 4

M

N ? (??,1)

【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本 题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.
4.

【解析】函数 y ? log2 x 为偶函数,且当 x ? 0 时,函数 y ? log2 x ? log2 x 为增函数, 所以在 (1,2) 上也为增函数,选 B.

5.

[答案]C [解析]采用特殊值验证法. 函数 y ? a ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),只有 C 选项符合.
x

[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易 用.
6.

解析 : 要使函数 f ( x ) 有意义只需 ? 且 x ? 0 .答案应选 B.

? x ? ?1, x ? 0 ?ln(x ? 1) ? 0 ,即 ? , 解得 ? 1 ? x ? 2 , 2 ? ?2? x? 2 ?4 ? x ? 0

7.解析:D. f ? ? x ? ? ln 8. 【解析】选 D 9.

??x?

2

? 1 ? ln x 2 ? 1 ? f ? x ? .

A ? {x ?3 ? 2 x ? 1 ? 3} ? [?1, 2] , B ? (1, ??) ? A B ? (1, 2]

【解析】选 A 函数 y ?

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2
设函数 g ( x) ?

1 x 1 1 ? ln 2 e ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 2 2 2
4

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2d min ?
10.

2(1 ? ln 2)

[答案]C [解析]采用排除法. 函数 y ? a ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),选项只有 C 符合,故选 C.
x

[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易 用. 11. D 【解析】 本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数 y ?

1 的 定 义 域 为 ? ??, 0? 3 x

? 0,?? ? ,而答案中只有 y ?

s i nx 的定义域为 x

? ??, 0? ? 0, ?? ? .故选 D.
【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其 求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真 数大于 0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函 数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域 的求法. 12. 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y=

8 (m>0), y ? log 2 x 图像如下图, 2m ? 1
8 ? 8 2 m?1 ,得 x3 ? 2 2 m?1 , x4 ? 2 . 2m ? 1
8
8 2 m?1

?m m 由 log 2 x = m,得 x1 ? 2 , x2 ? 2 , log 2 x =

依照题意得 a ? 2

?m

?2

?

8 2 m ?1

,b ? 2 ? 2
m

8 2 m?1

b , ? a

2 ?2
m

2? m ? 2

?

8 2 m ?1

? 2m 2

8 2 m?1

?2

m?

8 2 m ?1

.

m?

b 8 1 4 1 1 1 ? m? ? ? ? 4 ? ? 3 ,? ( ) min ? 8 2 . 1 a 2m ? 1 2 m? 2 2 2 2

y ? log 2 x

C
A B
1

D

y?

8 2m ? 1

y?m
x

O

5

【点评】 在同一坐标系中作出 y=m,y=

8 (m>0), y ? log 2 x 图像,结合图像可解得. 2m ? 1

二、填空题 13. [解析] (2 ) ? 2 ? 2 ? 3 ? 0 , (2 ? 1)(2 ? 3) ? 0 , 2 ? 3 , x ? log2 3 .
x 2 x

x

x

x

14.解析: f ( 4)

1 ( ) 2

4

16 , f ( f ( 4))

f (16)

16

4

15. 【答案】 ( ?4, 0)

【 解 析 】 首 先 看 g ( x )? 2 ? 2 没 有 参 数 , 从 g ( x) ? 2 ? 2 入 手 , 显 然 x ? 1
x

x

时, g ( x) ? 0 , x ? 1时, g ( x) ? 0 ,而对 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立即可,故只要

?x ? 1 时 , f ( x ) ? 0 (*) 恒成立即可. 当 m ? 0 时 , f ( x) ? 0 , 不符合 (*), 所以舍去 ; 当 m ? 0 时,由 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 得 ?m ? 3 ? x ? 2m ,并不对 ?x ? 1 成立,
x? 1 舍 去 ; 当 m ? 0 时 , 由 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 , 注 意 ?2m ? 0 , ,故

x ? 2m ? 0 , 所以 x ? m ? 3 ? 0 , 即 m ? ?( x ? 3) , 又 x ? 1 , 故 ?( x ? 3) ? (??, ?4] , 所
以 m ? ?4 ,又 m ? 0 ,故 m ? (?4, 0) ,综上, m 的取值范围是 ( ?4, 0) . 【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小, 涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对 m 进行 讨论. 16. 【答案】 2 【解析】

f ( x) ? lg x, f (ab) ? 1 ,? lg( ab) ? 1

? f (a 2 ) ? f (b 2 ) ? lg a 2 ? lg b 2 ? 2lg(ab) ? 2
【考点定位】 本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时 也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.
17.

5

18. 【答案】 0, 6 ? .

?

?

【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ? ? ? 0< x ? 6 . 1 ? ? 1 ? 2 ?1 ? 2log 6 x ? 0 ?log 6 x ? ? 2 ?x ? 6 = 6 ?

6

三、解答题 19. [解](1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0
2?2 x x ?1 2 3

2x ? 1 得1 ? 由 0 ? lg(2 ? 2 x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x?? 1

? 10
?x?1 . 3

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2x ? 10x ? 10 , ? 由?

? ?1 ? x ? 1 ?x? 得? 2 3 2 1 ? ? x ? 3 ? 3

1 3

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)
由单调性可得 y ? [0, lg 2] . 因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? [0, lg 2]
y

x

高考专题训练二 基本初等函数 的图象与性质 班级_______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:75 分 总得分________ 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项填在答题卡上.[来源:Z&xx&k.Com] 1.(2011〃课标)下列函数中,既是偶函数又是在(0,+∞)上单调递增的函数是( A.y=x3 C.y=-x2+1 B.y=|x|+1 D.y=2-
|x|

)

解析:由偶函数排除 A,由在(0,+∞)上单调递增,排除 C、D. 答案:B 2.(2011〃广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的 是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析:令 F(x)=f(x)+|g(x)|,∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
7

∴F(-x)=f(-x)+|g(-x)| =f(x)+|-g(x)| =f(x)+|g(x)|=F(x). ∴F(x)在 R 上是偶函数. 答案:A 3.(2011〃湖北)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+ 2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( A.2 17 C. 4 解析:f(x)+g(x)=ax-a-x+2 ) 15 B. 4 D.a2 ①

f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2
∴-f(x)+g (x)=a-x-ax+2 由①②可得:g(x)=2,f(x)=ax-a-x 15 ∵g(2)=a=2,∴f(2)=22-2-2= . 4 答案:B 4.(2011〃山东)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x) 是奇函数”的( ) ②

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:y=f(x),x∈R“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称” 构造函数 f(x)=x2,y=|f(x)|关于 y 轴对称,但 f(x)=x2 是偶函数. 又 y=f(x)是奇函数,则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称, ∴选 B. 答案:B

? 5? 5.(2011〃全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?- ?= ? 2?
8

(

) 1 A.- 2 1 C. 4 1 B.- 4 1 D. 2

1 ? 1? 1 ? 5? ? 1? ?1? 解析:f?- ?=f?- ?=-f? ?=-2× ×?1- ?=- . 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 答案:A 6.在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意给定的 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数, 且具有性质: (1)对任意 a,b∈R,a*b=b*a; (2)对任意 a∈R,a*0=a; 1 (3)对任意 a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数 f(x)=(3x)* 的性质,有 3x 如下说法: ①函数 f(x) 的最小值为 3 ;②函数 f(x) 为奇函数;③函数 f(x) 的单调递增区间为 1? ?1 ? ? ?-∞,-3?,?3,+∞?.其中所有正确说法的个数为( ? ? ? ? A.0 C.2 解析:f(x)=f(x)*0=? B.1 D.3 )

? ?

x

1? 1 1 ? 1 ? ?*0=0*(3x×3x)+[(3x)*0]+?0*3x ?-2×0=3x×3x+ 3x? ? ?

1 1 1 3x+ =3x+ +1.当 x=-1 时,f(x)<0,故①错误;因为 f(-x)=-3x- +1≠-f(x),所 3x 3x 3x 1? 1 1 1 ? 以②错误; 令 f′(x)=3- 2>0, x> , 或 x<- , 因此函数 f(x)的单调递增区间为?-∞,- ?, 3? 3x 3 3 ?

?1 ? ?3,+∞?,即③正确. ? ?
答案:B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.

9

?-x +2x 7.已知函数 f(x)=?0 ?x +mx
2 2

x x= x

, , )为奇函数,若函数 f(x)在区间[-1,|a|

-2]上单调递增,则 a 的取值范围是________. 解析: 当 x<0 时, -x>0, ∵f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x, 又 f(x)为奇函数, ∴f(-

?-x +2x x)=-f(x)=-x -2x, ∴x<0 时, f(x)=x +2x, ∴m=2, 即 f(x)=?0 ?x +2x
2 2 2 2

x x= x


其图象为

由图象可知, f(x) 在 [ - 1,1] 上单调递增,要使 f(x) 在 [ - 1 , |a| - 2] 上单调递增,只需

?|a|-2>-1, 解得-3≤a<-1 或 1<a≤3. ? ?|a|-2≤1,
答案:[-3,-1)∪(1,3] 8. (2011〃上海)设 g(x)是定义在 R 上,以 1 为周 期的函数,函数 f(x)=x+g(x)在区间[3,4] 上的值域为[-2,5],则 f(x)在区间[-10,10]上的值域为________. 解析: 令 f(x)分别在 x1,x2(x1, x2∈[3,4])处取得最大、 最小值, 即 f(x1)=x1+g(x1)=5, f(x2) =x2+g(x2)=-2,因为 y=x 为增函数,y=g(x)的周期为 1,故 f(x1+6)是 f(x)在[9,10]上的最 大值,此即为 f(x)在[-10,10]上的最大值.f(x2-13)是 f(x)在[-10,-9]上的最小值,此即为

f(x)在[-10,10]的最小值. f(x1+6)=x1+6+g(x1+6)=x1+g(x1)+6=11.[来源:学科网 ZXXK] f(x2-13)=x2-13+g(x2-13)=x2+g(x2)-13=-15.故值域为[-15,11].
答案:[-15,11] 9.对方程 lg(x+4)=10x 根的情况,有以下四种说法:①仅有一根;②有一正根和一负
10

根;③有两个负根;④没有实数根.其中你认为正确说法的序号是________. 解析:在同一坐标系中作出它们的图象,如图.

当 x=0 时,y1=lg4,y2=100=1,y1<y2; 当 x=-2 时,y1=lg2,y2=10-2=0.01,y1>y2. 故这两个函数图象的交点均在 y 轴左侧,原方程应有两个负根,应填③. 答案:③ 10.(2011〃福建)设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f:V→R 满足: 对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ∈R,均有 f[λa+(1-λ)b]=λf(a) +(1-λ)f(b),则称映射 f 具有性质 P. 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有性质 P 的映射的序号) 解析:a=(x1,y1),b=(x2,y2).

f1[λa+(1-λ)b]=f1[λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2]=λx1+(1-λ)x2-λy1-(1-λ)y2. λf1(a)+(1-λ)f1(b)
=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2) =λx1-λy1+(1-λ)x2-(1-λ) y2[来源:Zxxk.Com] =λx1+(1-λ)x2-λy1-(1-λ)y2. ∴f1 具有性质 P

f2[λa+(1-λ)b]=f2[(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2]=[λx1+(1-λ)x2]2+λy1+(1-λ)y2
2 2 2 λf2(a)+(1-λ)f2(b)=λ(x1 +y1)+(1-λ)(x2 +y2)=λx1 +(1-λ)x2 2+λy1+(1-λ)y2

≠f2[λa+(1-λ)b]
11

f2 不具有性质 P f3[λa+(1-λ)b]=λx1+(1-λ)x2+λy1+(1-λ)y2+λf3(a)+(1-λ )f3(b)
=λ(x1+y1+1)+(1- λ)(x2+y2+1) =λx1+(1-λ)x2+λy1+(1-λ)y2+1[来源:学|科|网 Z|X|X|K] =f3[λa+(1-λ)b].

f3 具有性质 P.
答案:①③ 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.(2011〃广东清远市高三测试) 已知函数 f(x)=ax2+bx+c,x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点,如图所示,且函数 f(x) 的值域为[0,9].过动点 P(t,f(t))作 x 轴的垂线,垂足为 A,连接 OP.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)记△OAP 的面积为 S,求 S 的最大值. 解:(1)由已知可得 函数 f(x)的对称轴为 x=3,顶点为(3,9).[来源:学科网 ZXXK]

? ?-2ba=3 法一:由? 4ac-b ? ? 4a =9
2

f

=0

得 a=-1,b=6,c=0 得 f(x)=6x-x2,x∈[0,6]. 法二:设 f(x)=a(x-3)2+9 由 f(0)=0,得 a=-1
12

f(x)=6x-x2,x∈[0,6].
1 1 (2) S(t)= |OA|〃|AP|= t(6t-t2),t∈(0,6) 2 2

S′(t)=6t- t2= t(4-t)
列表

3 2

3 2

t S′(t) S(t)

(0,4) +

4 0 极大值

(4,6) -

由上表可得 t=4 时,三角形面积取得最大值. 1 即 S(t)max=S(4)= ×4×(6×4-42)=16. 2 12.(13 分)(2011〃上海)已知函数 f(x)=a〃2x+b〃3x,其中常数 a,b 满足 a〃b≠0. (1)若 a〃b>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 a〃b<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围. 解:(1)当 a>0,b>0 时,任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2 x2)+b(3 x1-3
x
2

) ∵2 x1<2 x2,a>0?a(2 x1-2 x2)<0,3 x1<3 x2,b>0?b(3 x1-3 x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 同理,当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a〃2x+2b〃3x>0

a ?3? 当 a<0,b>0 时,? ?x>- , 2b ?2?
则 x>log1.5?- ?; ? 2b?

?

a?

a ?3? 当 a>0,b<0 时,? ?x<- , 2b ?2?
则 x<log1.5?- ?. ? 2b?

?

a?

13

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