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数列复习知识点


数列复习

数列定义及分类

基本概念 数 列

数列通项公式

定义
通项及求和公式 判定与证明 性质

数列递推公式
等差数列

基本数列
等比数列
累加法

定义 通项及求和公式 判定与证明 性质 通项分解法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法

求通项 求和

累乘法 构造法 an与sn的关系

应用

公式法

大于 小 于 大于 小 于

练习:写出下面数列的一个通项公式, 使它的前几项分别是下列各数:

1 ) ?1,1, ?1,1, ?1,1???
2) 6 ) 5,55,555,5555, ??? 3) 2,3, 2,3, 2,3,???

an ? ? ?1? 5 n an ? ?10 ? 1? 9
n

?2 n 为正奇数 an ? ? ?3 n 为正偶数

5 ? ? ?1? an ? 2

n

知识点:

a, b, a, b,

, a, b,

a?b n ?1 a ? b an ? ? ? ?1? ? 2 2

二、等差数列
1、定义:{an }为等差数列? an ?1 ? an

? 常数

2、 通项公式: an

?

推广: an ?

( 1 ) {an }为等差数列 ? an ?

n ( a ? a ) 1 n 3.前n项和公式: Sn ? 2 n(n ? 1) ? na1 ? d 4.重要结论: 2

am ? (n ? m)d

a1 ? (n ? 1)d

kn ? b
2

( 2){an }为等差数列 ? S n ? An ? Bn

5.等差数列性质: (1) an

? am ? ? n ? m? d

an ? am d? n?m

(2)若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? ap ? aq
(3)若数列 {an } 是等差数列,则

S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k , S 4 k ? S3k , ? ? 2 也是等差数列 d ?k d
(4)等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列 仍为等差数列

? 等差数列判定方法: (1)定义法: an?1 ? an ? 常数 (2)等差中项法: 2an ? an?1 ? an?1 (3)看通项法:

an ? kn ? (其中 b k , b为常数)
Sn ? An ? Bn( A、B为常数)
2

(4)看前n项和法:

练习: ?an ?为等差数列
1. a3 ? a11 ? 4, a5 ? 7, 求a9 , a7 , d , s13

-3;2;-5/2;26
2.a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2, 求s15 =-30

3.s10 ? 0, 则a2 ? a9 ?

0

4.a7 ? m, a14 ? n,求a21.? 2n ? m
5.在等差数列{an}中,S10=100, S100=10,求S110 =-110

7. 已知 ?an ? ,?bn ? 是两个等差数列,前

an A2 n ?1 ? bn B2 n ?1

An 7n ? 2 a 分别是 An 和 Bn ,且 ? , 求 8. Bn n?3 b8

n

项和

a8 A15 7 ?15 ? 2 107 ? ? ? b8 B15 15 ? 3 18

A2 n?1 ? 2n ? 1?? a1 ? a2 n?1 ? ? B2 n?1 ? 2n ? 1?? b1 ? b2 n?1 ?

2n ? 1?? 2an ? an ? ? ? ? 2n ? 1?? 2bn ? bn

an ?1 ? 常数 1、定义: {an }为等比数列? ________ an

三、等比数列

an ? a1q 2.通项公式:an ? _______
n?m

n ?1

am q 推广:an ? _________ n 3.前n项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) ? (q ? 1) ? 1? q ? ? na1 (q ? 1) 4.重要结论:
若{an }是等比数列? an ? kq
n

5.等比数列的性质
n? m

( 1) a n ? a m ? q an n? m 求q q ? am (2)若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq
(3)若数列 {an } 是等比数列,则 也是等比数列

S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k , S 4 k ? S3k , ?

q ?q

?

k

(4)等比数列{an}的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列

? 等比数列判定方法: (1)定义法: an ?1 ? 常数

an

(2)递推公式法:
2

(3)看通项法:

an ? an ?1 ? an ?1
n

an ? kq

(4)看前n项和法:

Sn ? k ? kq

n

练习:
1、在等比数列 ?an ?中,
(1)若 a4

a6 ? 30 50 (2)若 a5 ? 2, a10 ? 10, 则 a15 ?
(3)已知 a3 ? a4 ? a5 ? 8,求

? 5, a8 ? 6, 则 a2 ? a10 ? 30

a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 .
= 32

(4)若 a1 ? a2 ? 324, a3 ? a4 ? 36, 则 a5 ? a6 ? 4

五、已知数列递推公式求通项公式:
an?1 ? an ? f (n)
an ?1 ? f ( n) an

累加法
取倒数:如

累乘法

b kb ? ? an ?1 ? ? k ? an ? ? k ?1 k ?1 ? ?

an?1 ? kan ? b

3an?1 a1 ? 3, an ? (n ? 2) 3 ? an?1

构造法
分解因式:如

an与sn的关系
2 2 n

a1 ? 1, an ? 0, (n ? 1)an?1 ? na ? an?1an ? 0, n ? N

*

练习:求数列 ?an ? 通项公式 1 1 (1) 1.已知a1 ? , an ?1 ? an ? 1(n ? N ) 2 2 (构造新数列) 求an .
2 (2)a1 ? 1, an ? 3an ?1 ( n ? 2)

(分解因式)

2an (3)a1 ? 1, an?1 ? (n ? 1)(取倒数、累加) nan ? 2

设数列 ?an ? 前 n 项的和 求 ?an ?的通项公式.

Sn ? 2n ? 3n ? 1,
2

? 6, n ? 1 an ? ? ?4n ? 1, n ? 2

知和求项:

设 Sn 数列 ?an ?的前 n 项和, 即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an

? ? n ? 1? ? S1 则 an ? ? ? ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2 ?

数列 求

中,

,前n项的和

设正项数列 求数列

满足



(n≥2).

的通项公式.

的前n项和为Sn, 设各项均为正数的数列 对于任意正 整数n, 都有等式: 成立,求 的通项an.

数列
通项公式

中前n项的和

.

,求数列的

(2009年高考题) 设数列的前项和为 Sn , 已知 a1 ? 1,

Sn?1 ? 4an ? 2
(I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列。 (II)求{an } 数列的通项公式。

倒序相加法

通项分解法
1 1 1 2. 求 sn ? 1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 4 ) ? ... ? 1 1 1 (1 ? ? ? ... ? n?1 ) 的值 2 4 2

错位相减法

(3)an ? (2n ?1) ? 3 , 求sn
n

1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

an ? ( ?1) ( 2n ? 1)
n

1 S n ? ? k ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? n(n ? 1) 2 k ?1
1 Sn ? ? k ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1
2 2 2 2 2 n

n

1 2 S n ? ? k ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? [ n(n ? 1)] 2 k ?1
3 3 3 3 3

n

六、应用问题:
1.某布匹批发市场一布商在10月20日投资购 进4000匹布,21日开始销售,且 每天他都能 销售前一天的20%,并新进1000匹新布. 设n 天后所剩布匹的数目为 an(第一天为20日). (1)计算a1 , a2, 并求 an ; (2)若干天后,布商所剩布匹能否稳定在 4900到5000匹之内?若能,说出是几天后; 若不能,说明理由. (lg 2 ? 0.3010 )

总结方法比做题重要! 方法产生于具体数学内 容的学习过程中. 祝同学们学习进步!


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