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第5讲导数及其应用(整理)


P(1,4),则 b 的值为________. 第5讲 导数及其应用 π (2)若曲线 f(x)=xsin x+1 在 x= 处的切线与直线 ax+ 2 2y+1=0 互相垂直,则实数 a=________.

【高考考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用 的基础,这是高考重点考查的内容.考查方式以客观 题为主, 主要考查: 一是导数的基本公式和运算法则, 以及导数的几何意义;二是导数的应用,特别是利用 导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以 及讨论方程的根等,已成为高考热点问题;三是应用 导数解决实际问题.

考点二 利用导数研究函数的性质 3 2 例 2 设函数 f(x)=x -x +x(k∈R),求函数 f(x)的 单调区间。

1. 导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值就是曲线 y=f(x)在 点(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程是 y-f(x0) =f′(x0)(x-x0). 2. 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件, 如函数 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件,当函 数在某个区间内恒有 f′(x)=0 时,则 f(x)为常数,函 数不具有单调性. 3. 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值 是对整个定义域而言的, 是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个, 而函数的极值可能不止一个,也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数 不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函 数的最值. 4. 四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x)′=cos x. (2)(cos x)′=-sin x. (3)(ax)′=axln a(a>0,且 a≠1). 1 (4)(logax)′= (a>0,且 a≠1). xln a (5)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (6)? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 考点一 导数几何意义的应用 例 1 (1)过点(1,0)作曲线 y=ex 的切线,则切线方程 为________. (2)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是曲线 C1:y=ax3 5 +1(a>0)与曲线 C2:x2+y2= 的一个公共点,若 C1 2 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直, 则实数 a 的值是________.

已知 a∈R,函数 f(x)=2x -3(a+1)x +6ax. 若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

3

2

考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题 x 例 3 已知函数 f(x)=e ,x∈R. (1)求 f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程; 1 2 (2)证明: 曲线 y=f(x)与曲线 y= x +x+1 有唯一公 2 共点;

(1)直线 y=kx+b 与曲线 y=ax2+2+ln x 相切于点

已知函数 f(x)=e -ax,其中 a>0. (1)若对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,求 a 的取值集合; (推荐时间:60 分钟) 一、填空题 1 2 1. 函数 y= x -ln x 的单调递减区间为______. 2 2. 已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线, 则 k 的值是__. 3. 已知函数 f(x)=ax +bx +cx, 其导函数 y=f′(x) 的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法 中所有不正确的序号是____. 3 ①当 x= 时,函数 f(x)取得极小值; 2 ②f(x)有两个极值点; ③当 x=2 时,函数 f(x)取得极小值; ④当 x=1 时,函数 f(x)取得极大值. 4. 已知函数 y=x -3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公 共点,则 c=_______. 5. 已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的 1 x 1 导函数 f′(x)< , 则 f(x)< + 的解集为__________. 2 2 2 6. 设函数 f(x)=x +2ax +bx+a,g(x)=x -3x+ 2(其中 x∈R,a,b 为常数).已知曲线 y=f(x)与 y =g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l,则 a,b 的值分 别为________.
3 2 2 3 3 2

x

1. 已知函数 f(x)=x-

1 ,g(x)=x2-2ax+4,若对 x+1

任意 x1∈[0,1],存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),则实 数 a 的取值范围是__________. 1-a 2 2. 设函数 f(x)= x +ax-ln x(a∈R). 2 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 a≥2 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)若对任意 a∈(2,3)及任意 x1,x2∈[1,2],恒有 ma+ ln 2>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数 m 的取值范围.

7. 设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极 值点,则 a 的取值范围为________. 1 2 8. 已知函数 f(x)=- x +4x-3ln x 在[t,t+1] 2 上不单调,则 t 的取值范围是____________.

x

9. 若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2, 2 且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x)) +2af(x)+b =0 的不同实根个数是________.

3

2

10.已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是________. 二、解答题 2 x 11.已知函数 f(x)=(x +ax+2)e (x,a∈R). (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的图象在点 A(1,f(1)) 处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)为单调函数, 求实数 a 的取值范围; 5 (3)当 a=- 时,求函数 f(x)的极小值. 2

12.已知函数 f(x)= ,g(x)=2aln x(e 为自然对数 e 的底数). (1)求 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间, 若 F(x)有最值, 请求出最值; (2)是否存在正常数 a,使 f(x)与 g(x)的图象有且只 有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存 在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若 不存在,请说明理由.

x2

13.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司 一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千 件的销售收入为 R(x)万元,且

?10.8-30x R(x)=? 108 1 000 ? x - 3x
1
2 2

x x



(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解 析式;

(2)年产量为多少千件时, 该公司在这一品牌服装的生 产中所获得利润最大?(注: 年利润=年销售收入-年 总成本)


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