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2.5等比数列的前N项和公式


2.5等比数列的前n项和
第一课时

授课教师:曾进

一、情景引入:
传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发 明者,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1 颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个 格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦 粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子。 请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得 并不难,就欣然同意了他的要求。你认为国王有 能力满足发明者的要求吗?

分析:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒
数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是:

1,2,2 ,2 ,?,2 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是

2

3

63

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 .
2 3 62 63

那么,我们怎样求这个值呢?

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2 ?2 ?
62 63

二、新课讲授 等比数列的前n项和
设等比数列

a1 , a2 , a3 ,?, an ,?

它的前n项和是 即

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an


Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1qn?1.

qSn ?
⑴-⑵,得

a1q ? a1q ? ?? a1q
2

n ?2

? a1q

n?1

? a1q .
n



?1 ? q?? Sn ? a1 ? a1qn ,

若q ? 1时,Sn ? na1,若q ? 1时,Sn ?

a1 ? ?1 ? q n ? 1? q

这种求和方法称为错位相减法

等比数列的前n项和表述为:
(1)当q ? 1时,Sn =na1 , a1 ? an q 1( ? 1 ? 264) 64 (2)当q ? 1时,S64 = =2 —1或Sn = . 1? 2 1? q
已知a1, q, n时
已知a1, q, an时

故事中的麦粒总数为多少?
1( ? 1 ? 264) 64 S64 = =2 —1 1? 2

约7000亿吨
大约是全世界一年粮食产量的459倍。 用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条 宽10米,厚8米的大道!

三、例题讲解
等比数列的前n项和公式的基本运算

例:在等比数列?an ?中, (1)若a1 ? 1, a 5 ? 16, 且q ? 0, 求s7 . (2)若sn ? 189, q ? 2, an ? 96, 求a1和n.

(1)s7 =127 (2)a1 =3、n=6

[活学活用] 1.在等比数列{an}中, (1)若 q=2,S4=1,求 S8.
17

5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 a4 和 S5; 1 4

31/2

四、巩固练习
1.数列{2n-1}的前 99 项和为( A.2100-1 C.299-1

C )
B.1-2100 D.1-299

2. 等比数列{an}中, a3=3S2+2, a4=3S3+2, 则公比 q 等于( C ) A.2 C.4 1 B. 2 1 D. 4

3. 已知等比数列{an}中, q=2, n=5, Sn=62, 则 a1=________. 2

五、课堂小结
一、等差数列的前n项和公式:

(1)当q ? 1时,Sn =na1 , a1 ? an q a ( 1 1? q ) (2)当q ? 1时,Sn = 或Sn = . 1? q 1? q
n

二、错位相减法思想

作业:同步练习册P27
第1---6题、第13题、第14题


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